III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ИНТЕРЕСНОЕ О ДРОБЯХ
Балбуцкая А.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Изучение дробей продиктовано самой жизнью. Умение выполнять различные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с дробями мы сталкиваемся в повседневной жизни. Я захотела узнать, откуда появилось название этих чисел; кто придумал эти числа, нужна ли тема «Дроби», которую мы изучаем в школе, в моей жизни.

Объект исследования: история возникновения обыкновенных дробей.

Предмет исследования: обыкновенные дроби.

Гипотеза: если бы не было дробей – могла бы развиваться математика?

Цель работы: оформление в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях.

Задачи:

  1. Изучить историю возникновения дробей в математике;

  2. Отобрать наиболее интересные факты о дробях, которые можно использовать для составления разделов стенда.

  3. Оформить стенд в кабинете математики.

Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. Тем не менее, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине. Просыпаясь утром, мы смотрим на будильник и встречаемся с дробями. Мы используем дроби, когда взвешивают товар в магазине. В измерениях, когда определяют объем груза. Дроби окружают нас везде. С помощью дробей мы можем измерять длины, делить целое на части. А как измерить рост человека или расстояние между объектами, не зная дробей? Всё вокруг – дроби!

Актуальность: Современная жизнь делает задачи на дроби актуальными, так как сфера практического приложения дробей расширяется.

Методы исследования:

1. Поиск информации о дробях в различных источниках: интернете, художественной литературе, учебниках.

2. Анализ, сравнение, обобщение и систематизация информации.

1. Из истории обыкновенных дробей

1.1. Возникновение дробей

С самых древних времён для решения жизненных практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы «Сколько?»: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от уездного центра и т. д. Так появились числа. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Когда человеку понадобилось придумать новые – дробные – числа, появились дроби. В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал основатель афинской Академии Платон.

Во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. «fractura», который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.

1.2. Дроби на Руси

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии: его стали использовать и арабы.

В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 - полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».

1.3. Дроби в других государствах древности

Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида1/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m∙ n.

Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. (Приложение 3)

Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.

Египтяне уже в глубокой древности знали, как поделить 2 яблока на троих: для этого числа у них был даже специальный значок. Между прочем это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе 1 (так называемый основные дроби): 1/2, 1/3, 1/17, ... и т. д. Такое отношение к дробям присутствовало очень долго. Уже погибла цивилизация древнего Египта, некогда зелёный край поглотили пески Сахары, а дроби всё раскладывали в сумму основных – вплоть до эпохи Возрождения!

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека.

Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань:

бань («половина») –12;

шао бань («малая половина») –13;

тай бань («большая половина») –23. Интересно, что вавилоняне предпочитали, постоянный знаменатель (равный 60, потому, видимо, что их система счисления была шестидесятиричной).

Римляне тоже пользовались лишь одним знаменателем, равным 12.

Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.

Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX в. в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хорезми). В торговой практике стран Ислама широко пользовались единичными дробями, в науке применяли шестидесятиричные дроби и в гораздо меньшей мере обыкновенные дроби.

  1. Занимательные дроби

«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!» (Цицерон)

Когда бы люди ни использовали деньги, они обязательно встречаются с дробями: в средневековье, 1 английский пенс = 1/12 шиллинга; в настоящее время, российская копейка =1/100 рубля.

Мерные системы несут в себе дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.

В любые времена в моде присутствовали дроби. Всегда актуален фасон рукава три четверти. А укороченные брюки 7/8 - это прекрасная деталь гардероба.

С дробями можно встретиться на разных уроках. Например, в географии: «Во времена существования СССР, Россия занимала одну шестую часть суши. Теперь Россия занимает одну девятую часть суши». В изобразительном искусстве – при изображении фигуры человека. В музыке – ритм, размер музыкального произведения.

Человек встречается со словом «дробь» в жизни:

- Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья - дробь.

- Частые, прерывистые звуки - барабанная дробь.

- На флоте, команда «дробь!» — прекращение огня.

- Нумерация домов. Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.

- Дробь в танце. Русский народный танец невозможно представить без дробей и бега.

- Выбивать дробь зубами – стучать зубами (дрожа от холода, испуга).

В художественной литературе. Дениска, герой рассказа Виктора Драгунского «Надо иметь чувство юмора», задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих поровну? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!» Мишка с Денисом ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится?

Собственно говоря, «сварить компот» - это действия с дробями. Порежем яблоки на кусочки и будем количества этих кусочков складывать и вычитать, умножать и делить – кто нам помешает?.. Нам важно только помнить, сколько мелких кусочков составляют целое яблоко…

Но это не единственное решение данной задачи! Надо, каждое яблоко поделить на три части и раздать всем троим по две таких части.

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Например, нужно разделить поровну что-то, например, конфету, яблоко, кусочек сахара и т. п. Для этого кусочек сахара надо расколоть или разломить на две равные половины. Так же и с числами, чтобы получить половину, надо разделить или "разломить" одну единицу на две части. Отсюда и пошло название "ломанные" числа.

Различают три вида дробей:

  1. Единичные (аликвоты) или доли (например,1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).

  2. Систематические, т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).

  3. Общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое число.

Существуют дроби «ложные» – неправильные и «реальные» – правильные.

Дробь в математике - форма представления математических величин с помощью операции деления, первоначально отражающая концепцию нецелых чисел, или долей. В простейшем случае - числовая дробь - отношение двух чисел.

m :n =m/n

В дроби m/n(читается: «эм энных») число m, находящееся над чертой, называется числителем, а число n, находящееся под чертой – знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Черту дроби можно понимать как знак деления.

Первым европейским учёным который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский).

В 1202 году он ввёл слово «дробь».

Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд – греческий монах, ученый, математик.

Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби как сейчас стали арабы. Действия над дробями в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Обыкновенные дроби сыграли свою роль и в музыке. И сейчас в определённой нотной записи длинная нота –целая – делится на половинки(вдвое короче), четверти, шестнадцатые и тридцать вторые. Таким образом, ритмичный рисунок любого музыкального произведения, каким бы он сложным ни был, определяется обыкновенными дробями. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль европейцев: «Число правит миром».

«Человек подобен дроби: числитель - это он сам, а знаменатель то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь» (Л.Н. Толстой) [9].

  1. Основные результаты исследования

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

При работе я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. В процессе выполнения работы я узнала много нового, думаю, что эти знания пригодятся в учебе.

Вывод: Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человека. В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди измеряли длины, площади земельных участков, объемы, массы тел, время, вели расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Так появились дроби и правила обращения с ними.

Практическая значимость работы:

Я освоила навыки работы в текстовом редакторе и поработала с ресурсами Интернета. Отобрала материал для оформления в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях(Приложение 1). И оформила стенд (Приложение).

В результате исследования я подтвердила гипотезу: не могли люди обойтись без дробей, без дробей – не могла бы развиваться математика.

Список литературы

  1. Анищенко Е. А. Число как основное понятие математики. Мариуполь, 2002.

  2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений/- 26-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. - 280 с.

  3. Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

  4. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений. [СМ. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин]. — 11-е изд, дораб. — М.: Просвещение, 2016. — 272 с. — (МГУ — школе).

  5. Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.

Электронные ресурсы удаленного доступа (Интернет)

  1.  
    1. Драгунский В. «Надо иметь чувство юмора». Режим доступа: http://peskarlib.ru/lib.php?id_sst=248

    2. Из истории дробей. Режим доступа: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm -

3. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki

  1. Цитаты. Режим доступа: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Приложения

Стенд «Математика вокруг нас»

Таблица «Запись дробей в Египте»