III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МАТЕМАТИКИ НА ЗАЩИТЕ ОТЕЧЕСТВА
Шадрин А.С.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Дни Великой Отечественной войны стали достоянием истории, а вместе с ними достоянием истории становились и подвиги народа, совершенные на фронте и в тылу.

Актуальность данного исследования состоит в том, что реальных участников тех событий почти не осталось в жизни. Но память человеческая несовершенна, многие события забываются. Мы должны знать реальных людей, которые приближали победу и подарили нам будущее.

Объект исследования - Великая Отечественная война.

Предмет исследования - математики и математика в Великой Отечественной войне.

Цель: показать, какой вклад вносили и вносят ученые на защиту Отечества, а также важность знания математики в решении научных и инженерно-технических проблем.

Задачи:

  1. Расширить знания о деятельности русских ученых и изобретателей с их научными разработками, которые осуществлялись в предвоенные годы и в годы войны на защиту нашего Отечества.

  2. Рассмотреть ряд прикладных задач, иллюстрирующих приложение математической теории.

Метод исследования: работа с научно-популярной литературой, сравнительный анализ полученной информации, ее отбор для работы и изучение задач, которые могли бы решаться в годы войны.

Гипотеза: научные разработки учёных-математиков сыграли большую роль в победе над фашизмом.

В процессе работы был изготовлен буклет, выпущен сборник «В годы Великой Отечественной войны», организована встреча с участником ВОВ Юриным Виктором Михайловичем, заслуженным учителем школы РСФСР в п.Арти, у которого взяли интервью с видео фрагментами для школьного музея. Выступали перед учащимися родной школы на классных часах.

ГЛАВА 1. История развития математических знаний в военном деле

Начало использования математических знаний в военном деле относится к глубокой древности. Известно, что в Древнем Вавилоне арифметические сведения употреблялись при подсчете необходимых запасов для армии, геометрия же использовалась при строительстве укреплений и подсчете объема необходимых земляных работ.

Реформы Петра Ӏ, направленные на усиление мощи государства Российского, на ликвидацию его экономической отсталости, поставили новые задачи в области образования. Для государственного аппарата, преобразуемой армии и морского флота была необходима подготовка специалистов. В 1701 году по указу Петра Ӏ в Москве открылась школа математических и навигационных наук. Она размещалась в Сухаревой башне.

В России еще не было общеобразовательных школ, и навигационная школа стала прежде всего давать учащимся общее образование. В школе учили грамоте и арифметике с элементами алгебры и геометрии. Школа математических и навигационных наук сыграла значительную роль в истории русской культуры. Многие ее воспитанники стали государственными деятелями, видными военачальниками, педагогами, инженерами. История школы неразрывно связана с жизнью и трудами Л.Ф.Магницкого, отдавшего ей 40 лет своей жизни. Здесь он воспитал новые кадры учителей, которые продолжили его деятельность по улучшению преподавания математики в России.

В начале Великой Отечественной войны плечом к плечу с рабочими, крестьянами, инженерами встали на защиту Родины и педагоги, и ученые.

Одним из многих факторов, способствовавших победе, с полным основанием следует считать то, что примерно за 15 лет до начала Великой Отечественной войны в нашей стране началась ликвидация безграмотности среди населения, а в30-х гг. уже была создана стройная система народного образовании. Она позволила с первых же месяцев войны быстро организовать подготовку большого числа военных специалистов.

ГЛАВА 2. Проблемы, выдвинутые Великой Отечественной войной

2.1. Научные и инженерно-технические проблем

Великая Отечественная война выдвинула перед всеми видами деятельности огромное число сложнейших проблем. Математика не осталась в стороне. Перед ней возникли многочисленные новее задачи, зачастую совершенно необычные. Нередко же появлялись вопросы, которые в принципе могли быть решены задолго до того, как они потребовались, но о них не думали, им придавали значения. Например, перед войной все были увлечены созданием авиации, которая летала бы с огромными для того времени скоростями, на большой высоте и отличалась бы при этом большой маневренностью. Однако уже в первый период войны стало ясно, что при определенных условиях оказываются незаменимыми бомбардировщиками тихоходные самолеты, которые ранее использовались лишь как учебные. Но для них не было таблиц бомбометания, поскольку никто не помышлял о таком их использовании. Пришлось срочно эти таблицы составлять, а для этого было необходимо для ускорения и упрощения вычислений придумывать хорошие формулы. Позволяющие с большой точностью сводить вычисления кратных интегралов к вычислению одномерных интегралов.

Тогда на первом месте стояли проблемы, связанные с полетом самолета. Теория полета позволила рассчитывать аэродинамические свойства конструкций до их постройки и испытания в воздухе. Эту работу возглавил выдающийся ученый Н.Е.Жуковский (1847-1921гг). В ЦАГИ долгое время работали такие выдающиеся ученые, как М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш и многие другие. В связи с исследованием механики полета при больших скоростях М.А.Лаврентьев разработал новую математическую теорию квазианалитических функций, позволяющую учитывать сжимаемость воздуха.

Другие проблемы были связаны с новыми аспектами теории стрельбы: стрельба из танка, стрельба из самолета и по самолету, рассеивание при бомбометании и т.д. Большое значение приобрели вопросы устойчивости движения (самолета, снаряда, корабля, торпеды и пр.). Военное дело потребовало широкого привлечения ряда новых методов математики, в частности теории устойчивости движения, начало которой было положено еще в прошлом веке А.М.Ляпуновым (1857 – 1918 гг).

Чтобы поднять самолет в воздух, требуется создать легкую и одновременно прочную конструкцию корпуса и фюзеляжа. Вот почему большое значение для авиации, а также для морского дела получила проблема создания прочных и одновременно легких и тонких конструкций. Для ее решения необходимы не только физические эксперименты, но и математические расчеты, а также создание математических моделей интересующих нас реальных явлений.

С глубокой древности в военном деле применялись различные способы передачи информации, в том числе и такие, которые недоступны для понимания противником. История использования различного рода кодов для расшифровки сообщений насчитывает тысячелетия. Вспомним, что математику Ф.Виету (1540-1603 гг) удавалось с большей легкостью разгадывать шифры, использовавшиеся испанским королем для передачи секретных сведений, направляемых посланнику при французском дворе и некоторым другим лицам.

Для решения проблем обороны страны еще перед Великой Отечественной войной начали широко использоваться математические методы.

В 30-х гг. стало ясно, что для проведения больших и сложных вычислений, связанных с созданием новых конструкций, строительством заводов и руководством промышленностью, абсолютно необходима новая вычислительная техника. Вычислительные бюро, вооруженные ручными арифмометрами, счетами, таблицами и логарифмическими линейками, уже не удовлетворяли потребностей страны. Были необходимы новые принципы организации и производства вычислительных работ. Остро назрела необходимость в вычислительных машинах универсального типа, к тому же таких, которые позволяли бы практически неограниченно увеличивать точность вычислений в зависимости от потребностей самой проблемы.

  1.  
    1. Подготовка военных специальностей

Как уже говорилось выше, система народного образования позволила с первых же месяцев войны быстро организовать подготовку большого числа военных специалистов.

Задача ускоренной подготовки молодежи по гражданским и военным специальностям успешно решалась потому, что все молодые люди прошли среднюю школу или ремесленные училища, а потом многие из них окончили вузы.

Приведем два примера.

В Коврове, где выпускали различные модификации ручного пулемета, созданного В.А.Дегтяревым (с 1927г. он был принят на вооружение Красной Армии), фабрично-заводское училище (ФЗУ) выросло в мощный самостоятельный цех завода.

В 1918г. на вновь открытые курсы при Военно-Морской академии пришли слушатели, принимавшие активное участие в революции 1917г. и не имевшие сколько-нибудь серьезного образования к А.Н.Крылову – знаменитому корабелу, математику и механику.

Преподавать теорию корабля людям, не имеющим математических знаний, да еще преподавать так, чтобы они искренне заинтересовались нужными им в дальнейшем отделами математики, - это педагогический подвиг. Но подвигом было и привлечение к науке многих тысяч людей, еще вчера почти или вообще безграмотных. И этот подвиг ежегодно совершали многие тысячи педагогов России.

В предвоенные годы молодые люди получили возможность изучать устройство сложной техники. Через систему обществ типа «Осоавиахим», в авиаклубах они могли получить основы летной техники, заниматься парашютным спортом, учиться метко стрелять.

Размышляя сегодня об истоках нашей победы в ВОВ, мы, прежде всего, обязаны отдать дань уважения нашим советским учителям, авторам школьных учебников и рационально построенных программ учебных дисциплин.

ГЛАВА 3. Математические задачи для фронта и тыла

3.1. Эффективность стрельбы

Математические знания были нужны и непосредственно в бою. Известно, что такой род войск – артиллерия без расчетов не мог бы существовать. На фронте были и специальные расчетные части. Проблемы пристрелки, разработанные еще в XIX веке, в связи с появлением новых типов артиллерии потребовали в период Великой Отечественной войны дополнительных исследований и составления таблиц.

Стрельба с самолета по самолету и по наземным целям также привела к математическим задачам, которые нужно было срочно решить. Ими упорно занимались как специалисты в области артиллерии, так и математики. Проблемы бомбометания привели к необходимости составления таблиц, позволяющих находить оптимальное время для сброса бомб на цель, а также область, которую накроет бомбовой удар. Такие таблицы были составлены еще до начала войны, но для самолетов, обладающих большими скоростями. Во время войны были созданы специальные полки ночных тихоходных бомбардировщиков, но для них не было таблиц бомбометания. На кафедре теории вероятностей МГУ были рассчитаны таблицы бомбометания с малых высот при малых скоростях самолета. Они оказали несомненную помощь нашим летчикам.

Традиционная область деятельности ученых нашей страны - исследование артиллерийских систем. В апреле 1942 году коллектив математиков под руководством основателя конструктивной теории функции действительного переменного и первого аксиоматика теории вероятностей академика С. Н. Бернштейна(1880-1968) разработал и вычислил таблицы для определения местонахождения судна по радиопеленгам. Таблицы ускоряли штурманские расчеты примерно в 10 раз. В 1943 году были подготовлены штурманские таблицы, которые нашли широкое применение в боевых действиях дальней авиации, значительно повысили точность самолетовождения. Штаб авиации дальнего действия, дал высокую оценку работе математиков, отметив, что ни в одной стране мира не были известны таблицы, равные этим по простоте и оригинальности.

В результате решения сложной математической задачи член - корреспондент АН СССР Н. Г. Четаев (1902-1959) определил наивыгоднейшую крутизну нарезки стволов орудия. Это обеспечивало максимальную кучность боя, и скорость снаряда при полете.

Видную роль сыграли в годы войны математики Московского университета. Существенное значение для решения некоторых практических задач имело развитие в Московском университете одного из разделов математики - номографии, изучающей теорию и способы построения особых чертежей-номограмм. Номограммы позволяют значительно экономить время вычислений, максимально упрощают расчеты ряда задач. Добровольцем ушел на фронт и участвовал в боях с фашистскими захватчиками в Крыму, на Украине, в Прибалтике и в Восточной Пруссии выдающийся математик и педагог А.А. Ляпунов (1911 - 1973). Он храбро воевал и внес много значимого в правила стрельбы; уже после войны (с 1964 г.) был избран член - корреспондентом АН СССР.

Эту же проблему решал и академик А.Н. Колмогоров (1903-1987). Используя свои работы в области теории вероятностей, он дал определение наиболее выгодного рассеяния артиллеристских снарядов. Полученные им результаты помогли повысить меткость стрельбы и тем самым увеличить эффектность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

Все они могли бы стать гордостью нашей науки, но война прервала и зачеркнула развитие так славно начатого ими научного пути. Сколько замыслов осталось не осуществленными, какие россыпи математических сокровищ они унесли с собой.

3.2. Статистика в военном производстве

Имеется еще один аспект работы советских математиков на помощь фронту - это работа по организации производственного процесса, направленная на повышение производительности труда и на улучшение качества продукции. Здесь было огромное число проблем, которые нуждались в математических методах и в усилиях математиков. Одна из проблем – контроль качества продукции и управления качеством в процессе производства. Ведь военные действия невозможны без патронов, снарядов, бомб и мин, причём все это было необходимо в огромных количествах.

Некачественный патрон мог испортить пушку и причинить вред стрелявшему.

Задача контроля качества изготовленной продукции состоит в следующем. Пусть изготовлено N изделий, они должны удовлетворять некоторым требованиям. Скажем, снаряды должны быть определенного диаметра, не выходящего за пределы отрезка [D1, D2], иначе они будут непригодны для стрельбы. Они должны обладать определенной кучностью при стрельбе, иначе будут затруднения при стрельбе по цели. И если с первой задачей справиться легко - нужно замерить диаметры изготовленных снарядов и отобрать те из них, которые не удовлетворяют требованиям, то с другим требованием положение значительно сложнее. Действительно, чтобы проверить кучность стрельбы, необходимо провести стрельбы. А что же останется после испытаний? Испытания нужно произвести так, чтобы подавляющая часть продукции осталась пригодной для дальнейшего использования. Была поставлена задача - как по испытанию малой части изделий научиться судить о качестве всей партии. Методы, которые были для этой цели предложены, получили название статистических.

Во время войны их совершенствованием занялся А.Н. Колмогоров и его ученик Б.В. Гнеденко (1912-1995).

3.3. Совершенствование военной техники

Богатый опыт математиков в годы войны весьма поучителен. В период Великой Отечественной войны техника была разнообразной и сложной. Она требовала широкого использования математических расчетов для ее изготовления и эксплуатации. Только с июля по декабрь 1941 года штаб Ленинградского фронта принял 422 изобретения и рацпредложения.

Не менее важными явились достижения изобретателей и в других областях военной техники, благодаря чему фронт получал новое, передовое вооружение. Увеличение скорости полета самолетов требовало не только повышения мощности двигателей, но выбора оптимального профиля фюзеляжа и крыльев, а также решения многих других вопросов. Достижение блестящих результатов в совершенствовании боевых самолетов позволило А. С. Яковлеву и С.А. Лавочкину создать грозные истребители, С. В. Илюшину - неуязвимые штурмовики, А.Н. Туполеву, Н. Н. Поликарпову и В. М. Петлякову - мощные бомбардировщики. Например, за время войны в серийное производство были запущены 25 новых типов самолетов и 23 типа авиационных моторов. В каждом из них было заложено немало принципиально новых технических решений, что являлось результатом творческого труда не только авиаторов, но и специалистов других областей.

Но, овладевая большими скоростями, авиаконструкторы столкнулись с неизвестным ранее явлениями в поведении самолета. В определенных режимах работы моторов в конструкциях самопроизвольно возникало возбуждение, причем с большой амплитудой, и это явление (флаттер) вело к разрушению самолета в воздухе. Опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете и посадке самолета колеса вдруг начинали вилять из стороны в сторону. Это явление, названное шимми, нередко вызывало катастрофы самолетов на аэродромах. Выдающийся советский математик М. В. Келдыш (1911-1978) и возглавляемый им коллектив ученых исследовали причины флаттера и шимми. В результате наша авиация во время войны не знала случаев разрушения самолетов по причине неточного расчета конструкций, тем самым были спасены жизни многих летчиков.

Видная роль в деле обороны нашей страны принадлежит выдающемуся математику – академику А. Н. Крылову, чьи труды по теории непотопляемости и качки корабля были использованы нашими Военно-Морскими силами. Он создал таблицу непотопляемости, по которой можно было рассчитать, как повлияет на корабль затопление тех или других отсеков, какие номера отсеков нужно затопить, чтобы ликвидировать крен и насколько это затопление может улучшить устойчивость корабля. Изобретательский талант, непрерывный поиск более совершенных решений и неистовый труд конструктора М.И. Кошкина были заложены в прославленный танк Второй мировой войны Т-34.

Сконструированный Ю.Б. Кобзаревым, П.А. Погорелко, Н.Я. Черенцовым на базе изобретения П.К. Ощепкова прибор позволял обнаруживать вражеские самолеты. Трал П.М. Мугалева дал возможность проходить минные поля противника. Большую роль в развитии авиации сыграли работы академика Н.Е. Кочина, отдавшего последние годы своей научной деятельности МГУ. Значительным вкладом Н.Е. Кочина в победу явились разработка и решение комплекса задач «теории круглого крыла», и он дал практическое решение задачи по теории полетов самолетов на малой высоте.

Важная для ПВО задача об устойчивости формы аэростата воздушного заграждения, а также прочности тросов заграждения была решена профессором Х.А. Рахматулиным.

В осажденном Ленинграде великий математик Яков Исидорович Перельман прочитал десятки лекций воинам-разведчикам Ленинградского фронта, Балтийского флота и партизанам о способах ориентирования на местности без приборов.

ГЛАВА 4. Ученые математики и их труды

Советские математики разрабатывали вопросы аэродинамики в связи с увеличением скоростей боевых самолетов и их маневренности, вопросы баллистики, теории полета реактивных снарядов, теории колебаний и теории устойчивости движения, теории автоматического регулирования и т.д.

Назовем несколько работ оборонной тематики, выполненных отечественными учеными в предвоенные и военные годы. Теория крыла, теория удара тел о воду, теория струй, волн, устойчивости стержней, теория взрыва – таков неполный перечень вопросов механики, при разработке которых применил новые математические методы М.А.Лаврентьев. Его ученик М.В.Келдыш выполнил исследования по устранению разного рода вибраций в самолете. М.В.Келдыш и его сотрудники исследовали причины флаттера и шимми и создали математическую теорию, которая позволила своевременно защитить от этих явлений конструкции скоростных самолетов.

На рубеже ХӀХ-ХХвв. Великий русский математик и механик А.А.Ляпунов создал общую теорию устойчивости движения. В 30-40-х гг.ХХв. это направление исследований подхватил и развил Н.Г.Чатаев. Проблемы автоматического регулирования, гироскопии, управления летательными аппаратами оказалось теперь уже невозможным решать без теоретически обоснованных расчетов по Ляпунову – Четаеву. Н.Г.Четаев определил также наивыгоднейшую крутизну нарезки стволов орудий, что обеспечивало оптимальную кучность при стрельбе.

В 30-40-х гг. В.В.Голубев развил теорию механизированного крыла. Разрезанные части самолета (предкрылок, щиток и др.) повышают аэродинамическиекие качества самолета. Определение теоретическим путем механических свойств этих разрезанных секций крыла была задачей большого промышленного и оборонного значения.

Работы Голубева по теории вихреобразования за обтекаемым в потоке телом, например, крылом или фюзеляжем самолета, помогли выработать меры по выведении самолета из состояния «штопор».

В.В.Степанов выполнил математический расчет динамики взвешенных частиц, позволивший определять наиболее поражаемые места лопастей вентиляторов турбин.

Х.А.Рахматулин решил задачу об устойчивости формы аэростата воздушного заграждения, а также о прочности тросов аэростата.

Н.А.Глаголев занимался проблемами оптимального размещения зенитных батарей вокруг Москвы.

Л.В.Канторович предложил методы рационального раскроя металла и применения теории вероятностей к некоторым задачам оборонного значения.

Работы Л.В.Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности, легли в основу нового научного направления – теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

ГЛАВА 5. Две задачи теории внешней баллистики

Рассмотрим две задачи, относящиеся к теории баллистик.

Задача о максимальной дальности полета снаряда. Представим себе, что в начале координат стоит пушка (рис.2), которая стреляет снарядами, вылетающими из ствола со скоростью v. Артиллерист может направить ствол пушки под любым углом к горизонту. При разных углах получаются разные траектории. Применим механику. Найдем закон движения снаряда. По оси Ох движение будет равномерным (ввиду отсутствия сил, действующих вдоль оси Ох, Fx = 0) с начальной скоростью vcos. По оси Оу движение будет равнозамедленным (на снаряд действует Fx = - mg) с начальной скоростью: vsin:. Закон движения имеет вид: . Уравнение линии содержит только переменные х и у и не содержит t: и подставить во второе: ,т.е. (1) – это уравнение параболы вида (а .

Рис.2

 

В практике боевых действий часто стояла такая задача: «С какого наибольшего расстояния до противника можно открывать стрельбу на поражение?» На языке баллистики эта задача формулируется так: «Найти характеристики стрельбы, при которых дальность полета снаряда будет максимальной». Горизонтальная дальность полета снаряда х =l есть абсцисса точки падения снаряда, ордината у = 0. Подставляя в уравнение (1): (2). Уравнение (2) имеет два решения: 1). l = 0, что при у = 0 дает точку вылета снаряда; 2). (3).

Откуда (4)

Начальная скорость v полета снаряда для каждой пушки, стреляющей одними и теми же снарядами практически одна и та же, поэтому на дальность полета l влияет лишь угол стрельбы . Таким образом, свое наибольшее значение l в формуле (4) принимает одновременно с наибольшим значением , т.е. при , откуда .

Значит, угол наибольшей дальности полета снаряда равен .

Задача о параболе безопасности. Рассмотрим уравнение (1). Очевидно, что величина не зависит от артиллериста. Это постоянная для данного орудия величина, обозначенная через k, т.е. . Значения величин , которые встречаются в формуле(1), зависят от артиллериста. Он может направить ствол пушки под любым углом к горизонту, изменяя тем самым угол .(, ,:).Тогда уравнение (1) - у = сх – k(1+ (1*).Уравнение (1*) – это уравнение семейства парабол с параметром с, графики которых изображены на рисунке 3. Оказывается, что все параболы этого семейства касаются одной параболы. Она называется параболой безопасности. Выше нее самолетам летать безопасно (снаряды, выпущенные под любым углом из гипотетической пушки, поднимутся не выше, чем на координату у0 вершины параболы безопасности). Уравнение параболы безопасности имеет вид у = А – Вх2. Система уравнений должна иметь единственное решение при любом с. Значит, , т.е. (. Его дискриминант D = c2 – 4A(k + kc2 – B) = (1 – 4Ak)c2 – 4A(k – B)должен равняться нулю при любом с, а это возможно лишь при 1 – 4Ak = 0 и k – B=0, т.е. . Зная, что , можно записать уравнение безопасности: .

Рис.3

 

Заключение

Результаты изучения литературных источников, анализ и систематизация материалов показали, что выдвинутая нами гипотеза оказалась верной. Велик личный вклад признанных учёных и только начинающих математиков, учителей и студентов в победу, которые принимали участие в военных действиях, руководили отрядами, находились в окружении и блокаде.

Вторая мировая война оказалась, прежде всего, войной танков, соревнования моторов, огня и брони, и от того, чья конструкторская мысль оказывалась точнее и глубже, зависел исход многих сражений. Огромное значение имели труды ученых математиков в военные годы. За годы войны наблюдался прогресс теоретической математики. Нам никак нельзя забывать о том, что подвиг народа в Великой Отечественной войне не ограничивается только славными делами фронтовиков, что основы победы ковались и в тылу, где руками рабочих и разумом инженеров и ученых создавалась и совершенствовалась военная техника. Нельзя нам забывать и того, что по многим параметрам к концу войны наши танки, самолеты, артиллерийские орудия стали совершеннее тех, которые противопоставлял нам враг.

Победа в Великой Отечественной войне стала историческим рубежом в судьбах человечества. Героический порыв в годы войны получил продолжение в стремительном послевоенном восстановлении разрушенного хозяйства, развитии науки, выходе в космическое пространство, создании ядерного щита и в конечном итоге — превращении нашей страны в могучую сверхдержаву. Во всем этом — величие и историческое значение великих умов России!

Таким образом, я считаю, что тема моей работы очень актуальна в наши дни. Во-первых, она приближает математику к истории России, к жизни. Показывает, что это не просто сухие цифры, это история, человеческие судьбы. Во - вторых, эта работа помогает понять, что изучение математики необходимо, она соприкасается со всеми отраслями науки. И чем бы мы в дальнейшем ни занимались, что бы мы не выбрали, знания математики нам просто необходимы.

Список литературы

  1. Гнеденко Б.В. Математика и оборона страны, - М.: 1978.

  2. Гнеденко Б. В. Математика и контроль качества продукции М.: Знание, 1984.

  3. Левшин Б.В. Советская наука в годы Великой Отечественной Войны - М.: Наука, 1983.

  4. Оружие Победы.-2-е изд., перераб. и доп. - М: 1986.

  5. Помогайбо А.А. Тайны великих открытий, - М.: 2012.

  6. Прасолов В.В., Т.И. Голенищева-Кутузова, А.Я. Канель-Белов, Ю.Г. Кудряшов, И.В.Ященко, - М: МЦНМО, 2010.

ИНТЕРНЕТ - РЕСУРСЫ

  1. http://www.imyanauki.ru/rus/scientists/1494/index.phtml

  2. http://ru.wikipedia.org/wiki

  3. http://xreferat.ru/76/116-8-statika-korablya.html

  4. http://tula.region-news.info/news/?ID=1093

  5. http://www.famhist.ru/famhist/schelkin/0006952a.htm

  6. http://funeralspb.narod.ru/necropols/literat/tombs/krilov_an/krilov_an.html

  7. http://ru.wikipedia.org/

  8. http://www.sevsk32.ru/gpw/7/329/

  9. http://www.warheroes.ru/hero/hero.asp?Hero_id=4916