III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ И ЧЕВЫ
Хоснуллина Т.И.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

На уроках геометрии мы часто разбирали темы, связанные с треугольниками. Геометрия треугольника считается одним из интереснейших разделов геометрии. Треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны. Но, несмотря на это треугольник имеет множество свойств, к которым сводятся свойства более сложных фигур.

Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит, прежде всего, в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых вошли в историю только благодаря треугольникам. Это теорема Чевы и Менелая.

Цели:

  • Изучение теоремы Чевы и Менелая;

  • применение теорем при решении геометрических задач;

  • проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;

  • подготовка к ОГЭ и олимпиадам.

Задачи:

1. Сравнение теорем Чевы и Менелая;

2. Выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими теоремами по геометрии.

Историческая справка

Менелай Алекснадрийский – древнегреческий астроном и математик. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Он является автором работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики».

Джованни Чева – итальянский математик и инженер. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики. В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему «О взаимно-пересекающихся прямых» о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы. Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Теорема Менелая

Теорема: Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда выполняется соотношение .

Где обозначает соотношение длин отрезков.

В

С1 А1

К

А С В1

Доказательство:

1. Проведем через точку прямую, параллельную . Обозначим через ее точку пересечения с прямой

2.Треугольники и подобны

Следовательно,

3. Треугольники и также подобны

().

Значит,

4.Из каждого равенства выразим :

откуда что и требовалось доказать.

Обратная теорема Менелая

Теорема: Пусть дан треугольник . Пусть точка лежит на стороне , точка – на стороне , а точка – на продолжении стороны , причем выполняется соотношение

Тогда точки и лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. , поскольку, по условию, это выражение равно . Следовательно, прямые и не параллельны.

2. Проведем прямую через точки и . Она пересечет прямую в некоторой точке . Для точек и справедлива теорема Менелая, так что

Отсюда следует, что

3.Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше , а левее оно строго больше .

4.Пусть .

Тогда, учитывая, что и , перепишем полученное равенство в виде

Из равенства следует, что , и доказано, что точка , совпадающая с , лежит на прямой ., что и требовалось доказать.

Теорема Чевы

Теорема: Пусть точки лежат на сторонах и треугольника АВС соответственно. Тогда отрезки , пересекаются в одной точке. Тогда выполняется равенство

В

О А1

С1С

В1

А

Доказательство:

1.Точка Опересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно.

2.Треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :

3. Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

4.Аналогично получаем

и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Обратная теорема Чевы

Теорема: Пусть точки лежат на сторонах ВС, АВ и АС треугольника АВС соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1.Пусть – точка пересечения отрезков и и прямая пересекает сторону в некоторой точке . Достаточно доказать, что .

2.По теореме Чевы для точек и имеем

Но тогда

Значит, точки и делят отрезок в одном и том же отношении.

3.Пусть .

Тогда откуда

то есть точки и совпадают.

Что и требовалось доказать.

Решение задач с помощью теоремы Менелая

Задача 1.На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки М и N так, что . Отрезки ВNи СМ пересекаются в точке К. Найдите отношение отрезков .

Решение:

1.Применим теорему Менелая к треугольнику АВС и секущей СМ. Тогда мы получим

2.

, следовательно, =

Ответ: 0,75

Задача 2.В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

Решение:

1.Пусть BD = DC = a, AO = OD = m.

2.Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

следовательно

Ответ: 0,5

Решение задач с помощью теоремы Чевы

Задача 1.Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

  1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

2.Так как по условию – биссектриса , то:

3. Так как по условию – биссектриса , то:

4.Так как по условию – биссектриса , то:

5.Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:

Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке – точке О, что и требовалось доказать.

Задача 2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство (с помощью теоремы Менелая и Чевы):

  1. Так как по условию – медианы , то , поэтому:

2. Итак,

Отсюда по теореме Чевы, медианы пересекаются в одной точке – точке О.3.Рассмотрим

Прямая пересекает две стороны (, ) и продол­жение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая: и следовательно4. Рассматривая теорему Менелая для и секущей , а также для и секущей , мы получим, что:

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины, что и требовалось доказать.

Заключение

Замечательные теоремы Менелая и Чевы, сложные на первый взгляд, оказались просты и интересны. Они находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов. Но решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Я думаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7–9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление учеников.

В результате проведенной работы, я узнала много интересного и познавательного, научилась применять теоремы в решении задач. Я думаю, что данное исследование, проведённая мной, поможет мне в дальнейшем при сдаче экзаменов.

Список использованной литературы
  1. http://mirznanii.com/a/276832/primenenie-podobiya-k-dokazatelstvu-teorem-i-resheniyu-zadach-obobshchenie-teoremy-falesa-teoremy-ch

  2. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9 кл. М. Просвещение, 1991.

  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Менелая

  4. https://infourok.ru/teorema-chevi-i-menelaya-1309340.html

  5. Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9` авторов Л.С.Атанасяна

  6. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30