III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЗА СТРАНИЦАМИ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Андреева К.А.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF



ВВЕДЕНИЕ

...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Однажды на уроке геометрии в 7 классе при изучении темы «Параллельные прямые» учитель произнесла фразу о том, что параллельные прямые не всегда являются непересекающимися, чем вызвала удивление и недоверие со стороны учеников, среди которых оказался и автор данной работы.

И действительно, каждый выпускник школы твердо уверен, что существует три признака равенства треугольников, что сумма углов треугольника равна 1800, а квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти сведения являются одними из основных при изучении треугольников и решения элементарных задач планиметрии. Но как же быть с тем произнесенным учителем фактом? Неужели возможны какие-либо другие варианты взаимного расположения параллельных прямых?

В учебнике «Геометрия.7 – 9 классы» автора Атанасяна Л.С. информации о том, что существует возможность другого взаимного расположения параллельных прямых, отличного от общеизвестного, не нашлось, однако в разделе «Некоторые сведения о развитии геометрии» автором было найдено описание попыток построения новой геометрии учеными-математиками, в числе которых был наш соотечественник, знаменитый ученый Н.И. Лобачевский. Узнав, что геометрия Н.И. Лобачевского изучается только студентами физико-математических направлений, и на уроках в школе информации об этом разделе предмета получить невозможно, автор и решил самостоятельно исследовать вопрос, воспользовавшись помощью учителя.

Наибольший интерес у автора работы вызвали свойства треугольников геометрии Н.И. Лобачевского, отличные от свойств треугольников, изученных в школьном курсе геометрии.

Следовательно, целью данной работы является исследование свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского.

Соответственно, задачами данной работы являются следующие:

  • изучить историю возникновения геометрии Н.И. Лобачевского;

  • рассмотреть основные факты данной геометрии, вникнув в новую для школьника терминологию;

  • подробно изучить свойства треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского;

  • рассмотреть модели интерпретации гиперболической геометрии, предлагаемые учеными;

  • исследовать вопрос применения геометрии Н.И. Лобачевского в современной науке.

Перед началом выполнения исследования автором была выдвинута гипотеза о том, что геометрия Н.И. Лобачевского – это абсолютно новая геометрия, состоящая из фактов, противоречащих геометрии Евклида. Аргументированию этого предположения и посвящена данная работа.

Новизной исследовательской работы автор считает ее основную часть, заключающуюся в рассмотрении вопроса построения геометрии Н.И. Лобачевского и изготовлении наглядных моделей для демонстрации параллелей по Лобачевскому и одной из моделей поверхности, на которой существуют треугольники «воображаемой» геометрии.

Для отбора нужной информации в книгах о геометрии Н.И. Лобачевского автор обращал внимание на язык изложения материала, подробность и конкретность представления искомых сведений. Первым подходящим изданием оказалась книга Лаптева Б.Л. «Н.И. Лобачевский и его геометрия», которая оказалась пособием для учащихся. В книге доступным языком объяснялись предпосылки для возникновения геометрии Н.И. Лобачевского, основные факты данного раздела геометрии, однако этих сведений оказалось недостаточно, так как они были поверхностны. Ясность в теорию треугольников геометрии Н.И. Лобачевского внесла книга Костина В.И. «Основы геометрии», содержащая теоремы планиметрии гиперболической геометрии и интересные теоретические замечания о свойствах фигур.

Оказалось, что меньше всего информации в книгах содержится о практике решения задач в геометрии Н.И. Лобачевского. В соответствии с подобными выводами автором была поставлена задача применения гиперболической геометрии для решения задач из школьного учебника, и сравнение полученных решений.

  1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИЛИ ГЕОМЕТРИЯ Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

  1.  
    1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

В конце XIX в. математиками были выявлены некоторые недочёты в «Началах» Евклида, хотя до этого его труд считали совершенным изложением геометрической системы. Особое внимание привлек постулат о параллельности прямых. Утвердился ошибочный взгляд, что постулатам и аксиомам нужно верить на слово. Их считали простыми и очевидными. Но пятый постулат отличался от остальных более сложной формулировкой. Учеными были высказаны предположения, что постулат так сильно отличается потому, что Евклид просто не сумел его доказать.

Геометры поставили задачу доказать эту теорему, используя только аксиомы и постулаты, предшествующие пятому. Но в каждом доказательстве находили или грубые ошибки, или большие неточности. Таким образом, математики нашли несколько вариантов, которыми можно заменить пятый постулат, но проблема так и осталась нерешённой.

Обычно пятый постулат трактуют так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна параллель к этой прямой.

В начале своей педагогической деятельности Лобачевский также предпринял попытку доказать постулат Евклида, но неудачно. Хотя ему удалось привнести в абсолютную геометрию много нового во время работы над доказательством постулата. В 1826 г. Н.И.Лобачевский впервые сообщил научному сообществу о найденном решении проблемы и создании новой, «воображаемой» геометрии, как он сам ее называл, в которой была заменена аксиома параллельных прямых.

Лобачевский развивал свою геометрию, исходя из предположения, что сумма углов в треугольнике меньше π. В следующих работах он сразу начинает различать два класса прямых.

Аксиому Лобачевского трактуют так: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную.

Все предположения и понятия, связанные с параллельностью прямых, в геометрии Н.И. Лобачевского, сильно отличаются от геометрии Евклида, а остальные совпадают. Те теоретические сведения, которые справедливы и в той, и в другой геометрии, принято называть «абсолютной геометрией».

Новая аксиома параллельности создает много непривычных свойств прямых, таких, каким нет места в евклидовой геометрии. Подобные свойства рассмотрены в следующих разделах основной части данной работы. «Воображаемая» геометрия не была признана при жизни Н.И. Лобачевского, и долгое время оспаривалось его первенство на ее создание. В научном сообществе наряду с Н.И. Лобачевским первыми создателями неевклидовой геометрии считали Я. Больаи и К.Ф. Гаусса, однако в конечном итоге авторство было признано за нашим соотечественником.

  1.  
    1. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ В ГЕОМЕТРИИ Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

Прежде чем понять смысл «воображаемой» геометрии, нужно разобрать суть трактовки пятого постулата и терминологию, вводимую Н.И. Лобачевским.

Параллельными в школьном учебнике «Геометрия. 7 – 9» Атанасяна Л.С. и др. называются прямые, которые не пересекаются, а при изучении темы «Параллельные прямые» в качестве аксиомы принимается следующее утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной», т.е. прямая a является единственной прямой, параллельной прямой b и проходящей через точку М, не лежащую на прямой b (рис. 1). Изобразить подобное расположение двух прямых под силу абсолютно любому школьнику, изучившему тему параллельности на уроках геометрии.

   

Рис.1. Иллюстрация аксиомы параллельных прямых в учебнике «Геометрия.7-9» Атанасяна Л.С. и др.

Рис. 2. Параллель в геометрии Н.И. Лобачевского

Теперь попробуем представить графическую интерпретацию параллельных прямых, или параллельных линий, как их называл сам Н.И. Лобачевский, в гиперболической геометрии (рис.2) с помощью модели, спроектированной автором (рис.3).

   

Рис. 3. Модель для демонстрации параллельности по Н.И. Лобачевскому

Рис. 4. Положение перемещающейся точки М

Пусть AA – произвольная прямая на плоскости, точка Р – точка, не лежащая на данной прямой, а луч PQ – перпендикуляр к прямой AA(рис. 3). Прямая BB, очевидно, является той самой прямой, которая считается прямой, параллельной AA в геометрии Евклида. Но для Н.И. Лобачевского это не единственно возможный вариант.

Точка М взята в качестве точки, перемещающейся по прямой AAк точке А от точки Q(рис. 4, 5, 6, 7).

   

Рис. 5. Положение точки в М1

Рис. 6. Положение точки в М2

   

Рис.7.Точка М стремится к некоторой точке А

Рис. 8. Предельное положение прямой РМ

Тогда прямая PM также перемещается до некоторого положения, обозначенного как прямая PT на рис.2. Такое положение названо предельным (рис. 8). Прямая, находящаяся в таком положении, в «воображаемой» геометрии считается прямой, не пересекающей данную прямую, а угол α между PT и PQ Н.И. Лобачевский назвал углом параллельности. Градусная мера этого угла принята в пределах 0 < α < π/2, т.е. угол острый, не принимающий значений 00 и 900.

Так какая же прямая из представленных на рис. 2 является прямой, параллельной к АА? Оказывается, это прямая PT, которую Н.И. Лобачевский назвал параллелью. Такая прямая для АА существует не одна, что можно проследить на следующих рисунках:

   

Рис. 9. Иллюстрация пятого постулата геометрии Н.И. Лобачевского

Рис. 10. Два симметричных предельных положения прямой РТ

Оказывается, у параллели PT есть направление, определяемое направлением приближения данной линии к данной прямой, и оно указывается при названии данной параллели. Прямая PU, симметричная прямой PT, также является параллелью к прямой AA’, но в направлении к точке A. Отсюда можно сделать вывод, что параллелей для данной прямой существует две, и пятый постулат можно сформулировать иначе, чем у Евклида: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную.

В соответствии с предложенными обозначениями, Н.И. Лобачевский выделил два класса прямых, проходящих через точку P и расположенных по отношению к AA’ по-разному: прямые, пересекающие AA’(содержатся в объединении вертикальных углов T’PU и U’PT и включают перпендикуляр PQ) и прямые, расходящиеся с AA’ (содержатся в объединении вертикальных углов T’PU’ и UPT и включают прямую BB). Отметим, что параллели TT’ и UU’ в эти группы не входят.

  1.  
    1. ОСНОВНЫЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ «ВООБРАЖАЕМОЙ» ГЕОМЕТРИИ

Итак, перечислим основные факты, относящиеся к параллельности прямых в геометрии Н.И. Лобачевского.

  1. Если прямая CD параллельна прямой АВ в направлении от А к В относительно точки С, то она параллельна ей и относительно любой другой своей точки Е (рис. 11).

  2. Две прямые a и b, образующие равные соответственные углы с третьей секущей их прямой c, всегда расходятся. Отсюда верно утверждение о том, что два перпендикуляра к одной и той же прямой всегда расходятся.

  3. Любая пара расходящихся прямых всегда имеет один и только один общий перпендикуляр, по обе стороны которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.12).

 

А

В

С

D

E

 

 

Рис. 11.

Рис. 12.

Отсюда следует следующее утверждение.

  1. Средняя линия треугольника всегда расходится с основанием, причем их общий перпендикуляр проходит через середину основания.

В гиперболической геометрии в зависимости от вида пар прямых, имеющих место на плоскости Н.И. Лобачевского (параллельные, пересекающиеся и непересекающиеся), выделены три вида пучков прямых, покрывающих всю плоскость:

  1. Пучок первого рода – множество всех прямых, проходящих через одну точку – центр пучка (рис. 13).

  2. Пучок второго рода – множество прямых, перпендикулярных одной прямой – базе пучка (рис. 14).

  3. Пучок третьего рода – множество прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении (рис. 15).

     

Рис. 13. Пучок первого рода

Рис. 14. Пучок второго рода

Рис. 15. Пучок третьего рода

Если построить линию, перпендикулярную к каждой из прямых пучка третьего рода, можно получить аналог окружности, привычной на плоскости Евклида, называемой предельной линией, или орициклом (AB и A’B’) (рис. 16).

   

Рис. 16. Предельная линия, или орицикл

Рис. 17. Четырехугольник Саккери

Примечательно, что если построить не один, а два орицикла для одного пучка третьего рода, то длины отрезков данных прямых, заключенных между предельными линиями, будут равны: AA= SS = BB. На плоскости Евклида такой рисунок выглядел бы иначе, и каждый из образовавшихся четырехугольников был бы прямоугольником.

Очевидно, что и трапеция, и параллелограмм как вид четырехугольников, привычные для нас в геометрии Евклида, не существуют в гиперболической геометрии. Вместо них в изложении теории площадей геометрии Н.И. Лобачевского применяется понятие «четырехугольника Саккери», названного по фамилии ученого, использовавшего данный четырехугольник при попытке доказать пятый постулат Евклида. Четырехугольник Саккери – это четырехугольник, у которого две равные стороны перпендикулярны одному из оснований. В «воображаемой» геометрии четырехугольник Саккери выглядит так, как показано на рисунке 17.

Очевидно, что теорема Фалеса также не имеет места в гиперболической геометрии.

Н.И. Лобачевский доказал при построении своей «воображаемой» геометрии, что площадь треугольника связана с суммой его углов, и может быть равна площади четырехугольника Саккери, удовлетворяющего определенным требованиям. Остановимся подробнее на свойствах треугольников, имеющих место в геометрии Н.И. Лобачевского.

  1.  
    1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

В своих публикациях, посвященных изложению основ гиперболической геометрии, Н.И. Лобачевский рассматривает два вида треугольников: прямолинейные и сферические, и для каждого вида рассматривает уравнения, описывающие измерение треугольников и решение задач о параллельных.

Очевидно, что под прямолинейными треугольниками следует понимать привычные для любого школьника фигуры, а вот что можно понимать под сферическими треугольниками?

Дело в том, что если попытаться изобразить модель геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве, то в литературе можно встретить несколько вариантов такой интерпретации.

  1. Модель Клейна, в которой точками плоскости являются точки некоторого круга, а прямыми являются хорды круга. Расстояние между любыми двумя точками и углы между двумя прямыми в данной модели выражается через формулы, связанные с понятиями высшей математики.

  2. Модель Пуанкаре в круге, получаемой при построении для каждой точки X круга Клейна точки X1, где прямыми являются дуги окружностей (рис. 18).

  3. П севдосфера, понятие которой применимо разве что только к геометрии Н.И. Лобачевского. Представить псевдосферу можно, если приложить две «воронки» раструбами друг к другу (рис. 19).

 

A

C

X1

X

 

 

Рис. 18. Модель Пуанкаре

Рис. 19. Псевдосфера

Последний вариант, по мнению автора, самый наглядный (рис. 20), так как сферический треугольник легче представить, если попробовать мысленно очертить его на одной из воронок псевдосферы (рис. 21). Главное здесь учесть, что данная плоскость имеет некоторую кривизну, и именно поэтому все математические выкладки, связанные с геометрией сферического треугольника сложны и связаны с этой кривизной, а точнее с ее радиусом.

   

Рис. 20. Модель псевдосферы

Рис. 21. Треугольник на поверхности псевдосферы

Итак, рассмотрим основные положения теории треугольников «воображаемой» геометрии, заметив, что отличительные особенности сведений о треугольниках расходятся лишь в том случае, если при доказательстве теорем использовался пятый постулат.

  1. Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности Евклида, и являющаяся одной из ключевых теорем. Но в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°, что можно наглядно увидеть на модели Пуанкаре (рис. 22).

Из рисунка видно, что сумма углов B и С явно меньше суммы соответствующих углов в плоскости Евклида, а значит и сумма всех трех углов меньше 1800.

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Н.И. Лобачевского нет понятия подобных треугольников. Кроме того, Н.И. Лобачевский вывел четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны, но если эти треугольники являются сферическими.

  2. Разность между 180° и суммой углов треугольника в геометрии Н.И. Лобачевского положительна; она называется дефектом δ этого треугольника, или угловым дефектом, т.е. δ = π – α – β – γ, где α, β, γ – углы данного треугольника. Оказывается, что в гиперболической геометрии площадь треугольника связана с этим дефектом, и выражается формулой: , где k – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения площадей и углов. Н.И Лобачевский доказывает также, что площадь любого треугольника будет равна площади четырехугольника Саккери, у которого верхнее основание равно одной из сторон этого треугольника, а сумма острых углов при нем равна сумме углов треугольника.

  3. Как известно, в геометрии Евклида около любого треугольника можно описать окружность. В «воображаемой» геометрии эта теорема неверна. Покажем, почему. На рис. 23 серединный перпендикуляр MH к стороне AB треугольника ABC не пересекается с лучом AA1, также как и серединный перпендикуляр NH1 к стороне AC. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удаленной от точек A, B и C, т.е. ΔABCне имеет описанной окружности.

  4. В

    A

    геометрии Н.И. Лобачевского существует так называемый асимптотический треугольник, т.е. треугольник, стороны которого попарно параллельны в смысле гиперболической геометрии (рис. 24).

     

 

C

 

   

Рис. 22. Модель Пуанкаре

Рис. 23

Рис. 24. Асимптотический треугольник

Величина площади такого треугольника считается самой большой согласно формуле площади треугольника, т.к. углы данного треугольника бесконечно малы и могут быть фактически приравнены к нулю.

  1. В геометрии Н.И Лобачевского справедлива теорема Пифагора, но она имеет видоизмененное уравнение и связана с понятием гиперболического косинуса – показательной функции от экспоненты: , где ch – гиперболический косинус, a, b, c – катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

  2. Теоремы синусов и косинусов также имеют место в геометрии Н.И. Лобачевского и справедливы для любого треугольника, однако математическая запись этих теорем также связана с гиперболическим косинусом, как и интерпретация теорем Чевы и Менелая.

  1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перед проведением исследования, описанного в данной работе, автор планировал посвятить ее рассмотрению практического применения гиперболической геометрии к решению задач из школьного учебника, проанализировав их решение в геометрии Евклида и Н.И. Лобачевского. Однако в процессе сбора информации по основам «воображаемой» геометрии выяснилось, что математические выкладки, описанные в работах всемирно известного русского ученого настолько сложны, что воспользоваться ими в настоящее время не представляется возможным.

Работа посвящена рассмотрению вопроса построения геометрии, в основе которой лежит изменение одного из фундаментальных «кирпичиков» геометрической теории, построенной еще в далеком прошлом древним ученым, – Евклидом – пятого постулата. Оказалось, что такое, на первый взгляд, небольшое изменение в исходных аксиоматических данных повлекло за собой изменение огромного пласта теории параллельных линий, на которой строятся многие важные факты, изучаемые в школьном курсе геометрии.

Для более детального разбора и наглядного представления вводимых Н.И. Лобачевским понятий, связанных с определением параллельных прямых, автором совместно с научным руководителем были разработаны и с помощью педагогов-технологов сконструированы следующие модели:

  1. Модель демонстрации определения «параллель» по Н.И. Лобачевскому.

  2. Модель поверхности по Н.И. Лобачевскому, на которой существуют сферические треугольники.

В процессе работы над исследованием гипотеза, сформулированная во введении, о том, что геометрия Н.И. Лобачевского – это абсолютно новая геометрия, все факты которой противоречат геометрии Евклида, оказалась неверна. Оказалось, что в гиперболической геометрии неактуальны теоремы, доказываемые при использовании теории параллельных линий, а все остальные справедливы и в той, и в другой геометрии, и они получили наименование «абсолютной геометрии».

После ознакомления с сочинением Н.И. Лобачевского «О началах геометрии», представленной в книге Нордена А.П. «Об основаниях геометрии», автор убедилась в уникальности изложения так называемой самим ученым «воображаемой» геометрии, аргументированности фактов и доказательности всех математических выкладок. Труд, проделанный Н.И. Лобачевским, просто огромен, и для любого увлеченного математикой человека кажется даже титаническим.

В процессе работы над исследованием, по мнению автора,цель, поставленная в начале и заключающаяся в исследовании свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, была достигнута. Задачи, сформулированные во введении к данной работе, также были решены. Как оказалось, геометрия Лобачевского применяется при вычислении определенных интегралов, в теории относительности, в теории чисел.

Перед автором работы обозначена перспектива детального разбора формул, по которым возможно проводить вычисления для треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, после изучения тригонометрии в старшей школе. Не меньший интерес вызывает рассмотрение пространственных сведений в геометрии Н.И. Лобачевского, что становится актуальным после изучения стереометрии.

В целом, работа над исследованием позволила автору по-новому взглянуть на геометрию как науку, и убедиться в том, что существует другой вариант изложения пятого постулата, выдерживающий всякую критику и являющийся истинным так же, как и геометрия Евклида.

  1. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Геометрия.7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.). – М.: Просвещение, 2011. – 384 с.

  2. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 304 с.

  3. Костин В.И. Основы геометрии (издание второе). – М.: Государственное уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1948. – 305 с.

  4. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия (пособие для учащихся). – М.: Просвещение, 1976. – 112 с.

  5. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории геометрических линий. – М.: Изд-во Академии наук СССР, 1945. – 178 с.

  6. Норден А.П. Об основаниях геометрии. – М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – 531 с.

  7. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. – М.: Изд-во МЦНМО, 2004. – 89 с.

  8. Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. – М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1957. – 69 с.