III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЖИЗНЕННЫХ СИТУАЦИЯХ.
Бойко С.С.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF



Введение

«Правильному применению методов можно

научиться, только применяя их на разнообразных примерах»

Иероним Георг Цейтен

Практически каждый день любому человеку в повседневной жизни приходится сталкиваться с математическим понятием - проценты. Так, мы часто читаем в газетах или слышим по телевизору, что, например, предпраздничные скидки в магазине составляют 50%, пенсии повысят на 4,2%, сельское хозяйство возросло на 1,3%, уровень инфляции не превысит 5% в год, кредит под 18% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т. д.

Всё что вокруг нас меняется, измеряется в процентах. Изучение процента продиктовано самой жизнью.

Проценты - это одна из важнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов, и умение производить процентные расчёты, необходимы для каждого человека.

Одно из важнейших потребностей современной школы является воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Если раньше экономические проблемы искусственно отодвигались от школьника, и он порою до выпуска из школы оставался в стороне от них, то сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы ученик имел развитое математически-экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Многие жизненные ситуации требуют знания вычисления процентов: получение кредитов в банке, вклады сбережений, покупка товара в кредит, расчёты налогообложений, рекламные акции: расчёты скидок в процентном соотношении и т.д.

Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.

Объект исследования: как используются проценты в нашей жизни и нужны ли проценты человеку в повседневной жизни.

Предмет исследования: использование процентов в различных сферах деятельности человека.

Цель: расширить знания о применении процентных вычислений в задачах из различных сфер жизни человека, проанализировать и показать широту применения в повседневной жизни процентных вычислений.

Задачи:

1. Подобрать и изучить специальную литературу по теме исследования.

2. Рассмотреть основные типы задач на проценты.

3. Показать необходимость использования процентов, исследовать сферы деятельности человека, в которых используются проценты.

4. Создать сборник задач для учащихся «Проценты вокруг нас».

Актуальность и практическая значимость данного проекта заключается в том, чтобы расширить знания учащихся по процентным вычислениям, которые они будут применять не только в учебно-познавательном процессе, но и в повседневной жизни.

Методы исследования: поиск, изучение, сравнение необходимой научной литературы, поиск информации в сети Интернет, анализ полученных в ходе исследования данных, практический метод.

Гипотеза: знание процентов и их вычисление, является необходимостью для каждого современного человека не только в профессиональной деятельности, но и в повседневной жизни.

История возникновения понятия проценты и знака %

Сотую долю числа называют процентом числа и обозначают знаком %.

Слово «процент» имеет латинское происхождение и произошло от двух слов: «pro centum» - «на» и «центум», то есть в буквальном переводе на русский язык процент означает «на сто».

Проценты были известны индийцам ещё в V в., так как именно в Индии с давних пор счёт велся в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяли тройное правило, пользовались пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву, т.е деньги сверх того, что дали в долг. При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». Например, Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары, реализуемые на аукционе, это было известно как Centesima Rerum Venalium (сотая доля продаваемых вещей).

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты, как называют их в наше время.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Стевин Симон. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу для расчета процентов. Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали встречаться в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и в технике.

Символ «%» происходит, от итальянского слова «cento» (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Основные типы задач на проценты

Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно, когда выпускник читает задание ЕГЭ, и ставят его в тупик.

Причина в том, что тема «Проценты» изучается в младших 5-6 классах, этой теме уделен всего один параграф в учебнике математике, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени.

Единственно, что нужно запомнить - что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Один процент - это одна сотая часть какого-то числа.

1% = 1/100 = 0,01

Существует три основных типа задач на проценты:

  1. Нахождение процента от данного числа. Чтобы найти, а % от b, нужно b ∙ а : 100 или нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Задача.Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 30% - костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: 1200 ∙ 30 : 100 = 36000 : 100 = 360 или 30 : 100 = 0,3 1200 ∙ 0,3 = 360.

  1. Нахождение числа по процентам. Чтобы найти число х, а % которого равны b, нужно х = b : а ∙ 100.

Задача: За тест по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников выполняло тест?

Решение:12 : 30 ∙100 = 40.

  1. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на 100%.

Задача: Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году - только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Pешение: 36000 : 40000 · 100 = 90%.

Задачи на проценты, используемые в ГИА и ЕГЭ

Одними из наиболее востребованных типов задач в рамках государственного экзамена являются задачи на проценты.

Изучив сборники для подготовки к ЕГЭ, я выяснила, что задачи с применением процентов встречаются в двух заданиях № 1 и № 11. В своей работе я хотела бы более подробно рассмотреть виды и способы решения этих задач (Приложение 1).

Наиболее сложные задачи, так называемые экономические № 17.

Виды экономических задач:

- Задачи на проценты, доли, части.

- Задачи на кредиты, вклады, ссуды, займы.

- Задачи на экстремальные свойства функций.

- Задачи на свойства целых чисел.

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента: , где a - исходное число; p - числовое значение процента; x - результат, n = 1,2,…. Данная формула является основной и наиболее используемой в процентных исчислениях.

Дифференцированный платеж - это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени. Если в задаче присутствуют слова «равными частями», или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то, скорее всего речь идет о дифференцированном платеже. Формула дифференцируемого платежа: если клиент берет в кредит А рублей на n лет при годовой процентной ставке, равной r%, то при дифференцированном платеже он выплатит за n лет всего A∙(1+) руб.

Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн. руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру: 10∙(1+) = 20,5 млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита. Такие задачи рассмотрены в (Приложение 2).

Проценты в мире профессий

Проценты нужны людям в зависимости от их профессии: повару, продавцу, банкиру, бухгалтеру, медику, учителю. Люди этих профессий сталкиваются с процентами, каждый день при выполнении своих служебных обязанностей, и им приходиться решать задачи на проценты. Можно сказать, что без всех этих знаний в современном мире прожить невозможно. Чтобы быть хорошим специалистом, нужно уметь разбираться в большом потоке информации и соответственно знать проценты.

Нужны ли знания о процентах повару? Не стоит недооценивать эту профессию. Повар - это не просто человек, который может быстро сделать суши или пельмени. Он творец, способный из кучки самых простых продуктов создать шедевр, при этом учтя все погрешности и характер изменения пищи в процессе термообработки. Учет потери веса продуктов в процессе обработки. Например, 250 г говядины и 250 г готового стейка - это разные вещи, так как при обжарке мясо теряет процент веса. Причем в зависимости от влажности продукта и срока/вида термообработки потеря веса меняется. Таким образом, знания процентов в профессии повара играют главную роль наравне с практическими умениями.

Приходится ли работать с процентами продавцам? Мы узнали, что продавцу постоянно приходится решать следующие задачи: задачи на повышение цен; расчёт реального дохода от торговли; изменение товарооборота по сравнению с предыдущим периодом. Также продавцу приходится ежемесячно сдавать отчёты по торговле. Нужно подсчитать, насколько % выполнен план. Вывод: в магазине тоже применяются проценты.

Нужны ли знания процентов в работе бухгалтера? Ежемесячно от зарплаты работников отчисляется: 22% - отчисляется в Пенсионный Фонд России на страховую часть; 5,1% - в Федеральный Фонд Обязательного Медицинского Страхования; 2,9% - в Фонд Социального Страхования. Вывод: большая часть работы бухгалтера включает математические расчеты, связанные применением процентов.

Нужны ли знания о процентах медицинским работникам? Для обработки медицинских инструментов мед. работнику требуется приготовить 5%-ный раствор самаровки (дезинфицирующего средства). Поврежденный участок кожи обрабатывают 3%-ным спиртовым раствором йода. Ежеквартально медицинские работники составляют отчёты по своей работе использую проценты.

Банковское дело - наиболее близкая к процентам сфера деятельности человека. Банкиру каждый день приходится принимать вклады под проценты и выдавать ссуды (кредиты) под различное обеспечение.

Даже людям с редкой профессией, как синоптики нужны знания о процентным вычислениях. В процентных выражениях им легко выражать предсказания будущего состояния погоды.

Перечислять профессии, связанные с процентами, можно до бесконечности. Задаваясь вопросом, какую роль играют проценты в моей будущей профессии, юные умы должны понимать, что проценты будут встречаться везде, кем бы они не стали. Самостоятельно или же в симбиозе с другими математическими понятиями проценты образует фундамент решения различных задач.

Проценты в повседневной жизни

В силу возрастных особенностей учащиеся средней школы еще не могут получить полноценное представление о процентах, об их роли в повседневной жизни. С процентами нам приходится сталкиваться не только на уроках математики, химии, физики, но в повседневной жизни: при приготовлении выпечки кулинарных изделий и лакомств, солений и варений, в магазине (особенно во время предпраздничных скидок), на работе (повышение и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, Интернете и многом другом.

Начиная работу над проектом, нами был проведен социологический опрос среди учащихся 7-х классов, с целью выяснить, часто ли вы в повседневной жизни встречаетесь с понятием процента. Необходимо ли современному человеку уметь решать задачи на проценты, в каких сферах жизни чаще всего встречаются проценты и имеются ли у вас трудности с решением задач на проценты.

Опрос показал, что с понятием процента в повседневной жизни встречаются около 90% опрошенных, только 60% потвердели, что современному человеку необходимо уметь решать задачи на проценты, остальные 40% ответили, что в дальнейшей жизни им не пригодится умение решать задачи на проценты, только при сдаче итоговых экзаменов. Из этого следует, что большая часть учащихся знает, что такое процент, но не все понимают, как с ними работать. На вопрос: «В каких сферах повседневной жизни вам приходится сталкиваться с процентами?» 100% ребят ответили, что сталкиваются с процентом на своем мобильном телефоне. Уровень заряда батареи на экране мобильного телефона показывается в процентах.

Мы живем в мире современных технологий. Сотовый телефон приносит немало пользы современному человеку. С помощью сотового телефона родители контролируют передвижение своего ребенка. Ребенок находится всегда на связи и родители чувствуют себя спокойно, зная, что с их ребенок всё в порядке: дошёл до школы, во сколько пришел со школы и т.д. Но зачастую бывает, что проболтал с другом продолжительное время по телефону и села батарея. В результате телефон выключился, родители не могут дозвониться, начинают переживать. В этом случае, как важно научиться решать задачи с процентами, чтобы просчитать на какое время работы сотового телефона хватит оставшихся процентов уровня заряда батареи. Такую простую задачу, я предложила решить своим одноклассникам.

Задача. На какое время работы вашего сотового телефона хватит 25% уровня заряда батареи, если известно, что в среднем 100% уровня заряда батареи хватает на 8 ч работы телефона без подзарядки и за 1 ч работы телефона 5% зарядки расходуется установленными приложениями.

Решение:

  1. 480 ∙ 5 : 60 = 40% - тратится встроенными приложениями.

  2. 480 ∙ 25 : 60 = 200 мин. или 3 ч 20 мин. – оставшееся время для работы телефона.

Результаты, показали, что у ребят в классе, в котором я учусь, есть проблемы с задачами на проценты, 35% учащихся сумели решить задачу на проценты, остальные испытывают трудности с решением таких задач.

Я мечтаю о новом современном сотовом телефоне. Но в данный момент в расходы нашей семьи дорогостоящая покупка не вписывается. Как осуществить свою мечту? Чтобы купить телефон, необходимо иметь средства. Где их взять? В данный момент у меня есть только один способ осуществить свою мечту: накопить самой. В январе месяце телефон в магазине стоил 6 тыс. руб. В неделю на карманные расходы родители мне дают 500 руб. Четыре раза в неделю я занимаюсь танцами в ДК «Дружба». В неделю я трачу на проезд до ДК «Дружба» 200 руб. На перекус (сок+булочка) между занятиями на танцах тратится 200 руб., что составляет 40% от всей суммы. Остальные 100 руб. или 20% тратятся на различные мелочи. Я решила откладывать 45% от карманных денег, сок заменить на морс из домашнего варенья и домашнее печенье. В месяц от сэкономленных денег у меня будет получаться 4 ∙ 225 рублей = 900 руб. Телефон я хотела бы приобрести к окончанию учебного года, это около шести месяцев. За 6 мес. я накоплю 5 тыс. 400 руб. По прогнозам экономистов в 2017 г. инфляция составит 4,5% в год, значит в июне месяце телефон будет стоить уже 6 тыс.135 руб. (6000 + 2,25%(4,5 : 12 ∙ 6)). До покупки телефона мне не хватает 735 руб. или 11,98%. Значит, я должна найти способ сэкономить ещё приблизительно 2%. Один раз в неделю дойти до танцев туда и обратно я могу пешком и сэкономить на проезде 50 руб. В месяц получится 200 руб. В итоге за шесть месяцев я смогу накопить 6 тыс. 600 руб., это на 7,58% больше от запланированной суммы. Вот так с помощью простых процентных вычислений каждый ребенок может осуществить маленькую свою мечту.

У взрослых желания реалистичные, да и дорогостоящие. Кто-то мечтает о новой машине, о поездке в отпуск, кто-то о покупке собственного жилья. Как тогда, взрослым возможно осуществить свои мечты. Есть два выхода: накопить или занять. Поинтересовавшись у родственников и знакомых родителей, выяснилось, что большинство предпочитает приобретать дорогостоящие покупки в кредит, а способ накопления не берут в расчет. А так ли это на самом деле?

О приобретении собственного автомобиля мечтает каждая вторая семья нашей страны. Однако далеко не у всех имеется достаточное количество собственных средств для приобретения машины. Чтобы накопить нужную сумму, уйдет много времени, да и сэкономленные деньги быстро обесценятся. Занять крупную сумму у знакомых - нереально, ведь их надо отдавать, а кто же столько может ждать? Значит надо искать другие выходы. Какие? Способов выгодно вложить деньги или получить недостающую сумму немало. Они различаются по степени риска, действенности, сроком достижения результата. У каждого есть свои «плюсы» и «минусы». Рассмотрим наиболее распространенные способы получения необходимой суммы на покупку машины.

Семья мечтает о покупке нового автомобиля за 400 тыс. руб. В год они могут откладывать 100 тыс. руб. Смогут ли они купить автомобиль? Какой из способов покупки автомобиля им лучше использовать?

Способы приобретения автомобиля.

  1. Банк «Сбербанк» предлагает долгосрочный вклад «Сохраняй» для надежного сохранения сбережений и получения гарантированного стабильного дохода.

Проценты начисляются по истечении каждого месячного периода, определяемого с даты открытия счета по вкладу, а также по истечении основного срока. Возможность частичного снятия средств с вклада не предусмотрена, но можно пополнять счёт.

За 4 года семья сможет накопить 460 тыс. 956 руб. и приобрести долгожданный автомобиль (Приложение 3).

  1. Автокредит, как способ получения заемных средств на приобретение автомобиля.

Что такое автокредит?

Кредитование на покупку автомобиля является формой потребительского кредита, где автомобиль служит залогом и до момента выплаты кредита ПТС автомобиля находится в банке. В случае отказа заемщика от выплаты кредита банк имеет право погасить кредит путем востребования залога. При этом автомобиль продается по согласованию заемщика с банком, а деньги от его продажи направляются на погашение кредита. Кредит может предоставляться в рублях или валюте, как на новые автомобили, так и бывшие в употреблении.

На данный момент во всех крупнейших банков действуют программы с государственной поддержкой граждан, которые предусматривают погашение некоторой части процентной ставки государством. Но такое предложение актуально только при покупке автомобилей Российского производства. По государственной программе минимальная ставка составляет 13,67%, а максимальная сумма на покупку автомобиля установлена в 800 тыс. руб. Срок такой программы кредитования лимитирован 3 годами, а первоначальный платеж должен быть в размере 20%.

Ещё одним главным условием банка является оформление страховки по программе КАСКО и страхование жизни и здоровья.

При выборе покупки автомобиля по программе «Автокредит» переплата по кредиту составит 71 тыс. 882 руб. и стоимость автомобиля увеличится на 22,46%. Ежегодная покупка страховки по программе КАСКО будет обходится 36 тыс. руб. (Приложение 4).

  1. Потребительский кредит.

Когда речь идет о покупке недорого автомобиля стоимостью до 400 тыс. рублей, оформление страховки КАСКО становится весьма затратным мероприятием. В этом случае можно обратиться в банк за стандартным потребительским займом, который в сравнении с автокредитом имеет следующие преимущества: автомобиль не попадает в залог и с момента приобретения переходит в собственность владельца; заемщик вправе сам решить авто какой марки, года выпуска и цвета он себе приобретет; отсутствие необходимости осуществлять платежи по страховке КАСКО существенно снижают полную стоимость займа. Однако следует помнить о системе погашения кредитной задолженности: дифференцированными или аннуитетными платежами.

Аннуитетный платеж предполагает выплаты равными суммами задолженности банку в течении всего срока погашения пользования кредитом.

Переплата по кредиту аннуитетными платежами составит 67 тыс. 439 руб. и стоимость автомобиля увеличится на 21,07%. По сравнению с дифференцированными платежами экономия составит 1,39% (Приложение 5).

Практические советы. Даже самый стандартный автокредит может оказаться выгодным вариантом покупки машины, если при его использовании учесть следующие нюансы: заплатить максимально возможный первоначальный взнос в автосалоне, благодаря которому можно рассчитывать на низкую ставку процента в обслуживающем банке; оформлять кредит следует на минимально возможный срок, что сократит итоговую переплату по займу; отказаться от страхования жизни и здоровья, поскольку они не являются обязательными. Это позволит сэкономить порядка 10% полной стоимости займа. Не следует ориентироваться на займы с условиями оформления в кратчайшие сроки: проценты по ним, как правило, выше.

Для того чтобы получить наиболее выгодные условия, следует особенно серьезно и внимательно подойти к вопросу сбора документов. Лучше потратить несколько дней на сбор бумаг, чем потом на протяжении многих месяцев переплачивать на обслуживание долга. Таким образом, купить машину можно не только посредством автомобильного кредита, но и на базе потребительского займа. Главное заблаговременно оценить все имеющиеся варианты и подготовить полный пакет всех необходимых для оформления сделки бумаг.

Я рассмотрела разные способы покупки автомобиля. Выходит, что из трёх предложенных вариантов решением данной проблемы, т.е. самым выгодным вариантом, является накопление средств на накопительном счёте, пополняя его ежегодно. Учитывая инфляцию, есть большой риск, что накопленные деньги могут обесцениться. Покупая товары в кредит есть свои преимущества и недостатки. Преимущества покупки заключаются в том, что товары каждый год дорожают, и через определенный промежуток времени, этот товар будет стоить на много дороже.

Чтобы быть современным человеком, необходимо иметь возможность самому вычислять возможные выплаты по кредиту или хотя бы примерно знать, стоит ли брать такой кредит.

Заключение

Тема «Процентные вычисления в жизненных ситуациях» является актуальной и универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Учащиеся встречаются с процентами на уроках математики, физики, химии, а так же при чтении газет, просмотре телепередач, в магазинах, в библиотеках, музеях и других учреждениях. В последнее время экзамен по математике проводится в форме ГИА и ЕГЭ, и в контрольно-измерительных материалах присутствует задача на проценты. В работе проводится анализ таких задач, дается классификация и описываются трудности, с которыми сталкивается обучаемый в процессе подготовки.

Также в своей работе я показала применение понятия процента при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека. Процентный метод наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребёнку.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду. В современном мире прожить без знаний процентов невозможно.

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. Учебник Математика 6/ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков. - М.: Мнемозина, 2009.-288 с.

  2. Вклад «Сохраняй» Электронный ресурс // Сбербанк. М., 2017. http://www.sberbank.ru/ru/person/contributions/deposits/save. (Дата обращения: 09.02.2017).

  3. Как выгодно купить автомобиль в кредит – все способы и практические советы Электронный ресурс, - http://111999.ru/koshelek/vygodnaya-pokupka-mashiny/ - статья в интернете.

  4. Минаева С.С. Дроби и проценты. 5-7 классы/ С.С. Минаева Дроби и проценты. 5-7 классы. – М.: Экзамен, 2016.-128 с.

  5. Процент Электронный ресурс // Википедия. М., 2017. http://ru.wikipedia.org/wiki/Процент. (Дата обращения: 06.02.2017).

  6. Шестаков С.А. Задачи ОГЭ и ЕГЭ с экономическим содержанием. Тема 2/ С.А. Шестаков // Журнал «Математика».-2017.- №2 (779). – С. 32-38.

  7. Ященко И.В., Шестаков С.А. Я сдам ОГЭ! Математика. Модульный курс. Методика подготовки. Ключи и ответы/ И. В. Ященко, С. А. Шестаков. - М.: Просвещение, 2017.-143 с.

  8. Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2017 году. Профильный уровень. Методические указания. 19 задач/ И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С., А.С. Трепалин - М.: МЦНМО, 2017.-246 с.

Приложение 1

Задача № 1

  1. Же­лез­но­до­рож­ный билет для взрос­ло­го стоит 720 руб. Сто­и­мость би­ле­та для школь­ни­ка со­став­ля­ет 50% от сто­и­мо­сти би­ле­та для взрос­ло­го. Груп­па со­сто­ит из 15 школь­ни­ков и 2 взрос­лых. Сколь­ко руб­лей стоят би­ле­ты на всю груп­пу?

Решение: 720 ∙ 50 : 100 = 360 руб. - стоимость билета для школьника.

15 ∙ 360 + 720 ∙ 2 = 5400 + 1440 = 6840 руб. Ответ: 6840.

  1. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

Решение: 100 + 16 = 116% - стал стоить чайник, т.е. 3480 руб. составляют 116%, значит 3480 : 116 ∙100 = 3000 руб. Ответ: 3000.

  1. Мо­биль­ный те­ле­фон стоил 3500 руб. Через не­ко­то­рое время цену на эту мо­дель сни­зи­ли до 2800 руб. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена?

Ре­ше­ние: Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 3500 – 2800 = 700 руб­. Раз­де­лим 700 на 3500. 700 : 3500 = 0,2 0,2 ∙ 100% = 20%. Зна­чит, цену сни­зи­ли на 20%. Ответ: 20.

  1. Кли­ент взял в банке кре­дит 12 000 руб. на год под 16%. Он дол­жен по­га­шать кре­дит, внося в банк еже­ме­сяч­но оди­на­ко­вую сумму денег, с тем, чтобы через год вы­пла­тить всю сумму, взя­тую в кре­дит, вме­сте с про­цен­та­ми. Сколь­ко руб­лей он дол­жен вно­сить в банк еже­ме­сяч­но?

Ре­ше­ние: Через год кли­ент дол­жен будет вы­пла­тить 12000 + 0,16 · 12000 = 13920 руб­. Раз­де­лим 13920 руб. на 12 мес.: 13920 : 12 =1160 руб./мес. Ответ: 1160.

  1. В школе 800 уче­ни­ков, из них 30% - уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ют не­мец­кий язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют не­мец­кий язык, если в на­чаль­ной школе не­мец­кий язык не изу­ча­ет­ся?

Ре­ше­ние: Уче­ни­ков на­чаль­ной школы 800 ∙ 0,3 = 240, а уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы - 800 − 240 = 560. Зна­чит, не­мец­кий язык в школе изу­ча­ют 560 ∙ 0,2 = 112 уче­ни­ков. Ответ: 112.

  1. В сен­тяб­ре 1 кг ви­но­гра­да стоил 60 руб., в ок­тяб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 25%, а в но­яб­ре еще на 20%. Сколь­ко руб­лей стоил 1 кг ви­но­гра­да после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре?

Ре­ше­ние: В ок­тяб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 60 ∙ 0,25 = 15 руб. и стал сто­ить 60 + 15 = 75 руб­. В но­яб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 75 ∙ 0,2 = 15 руб. Зна­чит, после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре 1 кг ви­но­гра­да стоил 75 + 15 = 90 руб. Ответ: 90.

  1. Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Пакет ке­фи­ра стоит в ма­га­зи­не 40 руб. Пен­си­о­нер за­пла­тил за пакет ке­фи­ра 38 руб. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

Ре­ше­ние:Ма­га­зин сни­зил цену на пакет ке­фи­ра на 40 − 38 = 2 руб. Раз­де­лим 2 на 40: 2 : 40 = 0,05. Зна­чит, скид­ка для пен­си­о­не­ров со­став­ля­ет 5%. Ответ: 5.

Задача № 11

  1. В по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство про­цен­тов, а во втор­ник по­де­ше­ве­ли на то же самое ко­ли­че­ство про­цен­тов. В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на 4% де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник. На сколь­ко про­цен­тов по­до­ро­жа­ли акции ком­па­нии в по­не­дель­ник?

Ре­ше­ние:Обо­зна­чим пер­во­на­чаль­ную сто­и­мость акций за 1. Пусть в по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на с∙100%, и их сто­и­мость стала со­став­лять 1+ с∙1. Во втор­ник акции по­де­ше­ве­ли на с∙100%, и их сто­и­мость стала со­став­лять 1+ с - с (1+ с). В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на 4% де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник, то есть 0,96. Таким об­ра­зом,

1+ с - с (1+ с) = 1+ с² = 0,96; с² = 1 - 0,96 = 0,4; с = 0,2; 0,2 ∙ 100% = 20%. Ответ: 20.

  1. Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Ре­ше­ние: Сто­и­мость че­ты­рех ру­ба­шек со­став­ля­ет 92% сто­и­мо­сти курт­ки. Зна­чит, сто­и­мость одной ру­баш­ки со­став­ля­ет 23% сто­и­мо­сти курт­ки. По­это­му сто­и­мость пяти ру­ба­шек со­став­ля­ет 115% сто­и­мо­сти курт­ки. Это пре­вы­ша­ет сто­и­мость курт­ки на 15%. Ответ: 15.

  1. В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12% - ого вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние: Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен 0,12 ∙ 5 = 6 литров. При до­бав­ле­нии 7 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го раствора . Ответ: 5.

  1. Сме­ша­ли 4 литра 15% - ого вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 6 лит­ра­ми 25% - ого вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние:Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна . Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна:

. Ответ: 21.

  1. Изюм по­лу­ча­ет­ся в про­цес­се сушки ви­но­гра­да. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да по­тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 кг изюма, если ви­но­град со­дер­жит 90% воды, а изюм со­дер­жит 5% воды?

Ре­ше­ние:Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат 20 ∙ 0,95 = 19 кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 кг изюма тре­бу­ет­ся 19 ∙ 0,1 = 190 кг ви­но­гра­да. Ответ: 190.

  1. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой — 40% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Ре­ше­ние: Пусть масса пер­во­го спла­ва m кг, а масса вто­ро­го – m+3 кг, масса тре­тье­го спла­ва – m+(m+3) кг. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой – 40% меди, тре­тий сплав – 30% меди. Тогда: 0,1m+0,4(m+3)=0,3(2m+3); 0,1m+0,4m-0,6m=0,9-1,2; 0,1m=0,3; m=3; 2∙3+3=9 кг. Таким об­ра­зом, масса тре­тье­го спла­ва равна 9 кг. Ответ: 9.

  1. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение: 0,35 ∙ 5 + 0,2 ∙ 4 = р ∙ (5 + 4 + 1), откуда р = 0,255, что составляет 25,5%. Ответ: 25,5.

  1. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: 22 . 0,1 = 2,2 кг - грибов по массе в свежих грибах; 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих. Ответ: 2,5.

Приложение 2

Задача № 17

  1. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­. в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Решение: Пусть x-один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: (9930000∙1,1-x). После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной: (9930000∙1,1-x)∙1,1-х Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа: ((9930000∙1,1-x)∙1,1-х)∙1,1-х. Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю: ((9930000∙1,1-x)∙1,1-х)∙1,1-х=0. Решив уравнение получим: 9930000∙-3,31х=0; х=9930000∙/3,31; х=3993000. Ответ: 3993000 руб.

  1. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб., а еще через год снова внес 2000 руб. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

Ре­ше­ние: Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до 1,331 х (руб.), то есть до (руб). За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1x (руб). Од­на­ко, через год вклад­чик снял 2000 руб. На счету оста­лось(1,1х-2000) (руб.) В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал (1,1х-2000)∙1,1 (руб.) Од­на­ко, вклад­чик снова внес 2000 (руб.) Сумма вкла­да стала (1,1х-2000)∙1,1 +2000 (руб.) К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да ее сумма стала ((1,1х-2000)∙1,1 +2000)∙1,1= -2000∙+2000∙1,1 (руб.) И эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной ( руб.) Най­дем ис­ко­мую раз­ность:

- +2000∙-2000∙1,1=2000∙1,1∙(1,1-1)=2000∙1,1∙0,1=220 руб. Ответ: на 220 руб.

  1. Семья Ива­но­вых еже­ме­сяч­но вно­сит плату за ком­му­наль­ные услу­ги, те­ле­фон и элек­три­че­ство. Если бы ком­му­наль­ные услу­ги по­до­ро­жа­ли на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 35%. Если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 10%. Какой про­цент от общей суммы пла­те­жа при­хо­дит­ся на те­ле­фон?

Ре­ше­ние: При удо­ро­жа­нии ком­му­наль­ных услу­г на 100%, общая сумма уве­ли­чи­лась бы на 70%. А если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 100%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 20%. Зна­чит, в общем пла­те­же на ком­му­наль­ные услу­ги при­хо­дит­ся 70%, а на элек­три­че­ство - 20%. По­это­му на те­ле­фон при­хо­дят­ся остав­ши­е­ся 10%. Ответ: 10%.

Приложение 3

Расчет дохода по вкладу "Сохраняй"

Валюта вклада российский рубль

Дата открытия вклада 09.02.2017

Дата окончания вклада 09.03.2021

Капитализация процентов: Да

Досрочное закрытие вклада: Нет

При расчете дохода длительность календарного года всегда берется равной 365 дням.

Процентная ставка с учетом капитализации процентов 5,69%.

  1. Первый год накопления:

  1. Второй год накопления:

  1. Третий год накопления:

  1. Четвертый год накопления:

Приложение 4

Результаты расчета кредита по аннуитетным платежам.

Кредит 320 000,00 руб. на 36 месяцев под 13,67% годовых.

Размер ежемесячного платежа: 10 885,62 руб.

Общая сумма выплат: 391 882,42 руб.

Переплата за кредит: 71 882,42 руб. или 22,46% от суммы кредита.

Начало выплат: Февраль 2017г. Окончание выплат: Январь 2020г.

График платежей:

Дата платежа

Остаток долга после выплаты

Погашение основного долга

Начисленные проценты

Сумма платежа

1

Февраль 2017

312 759,71

7 240,29

3 645,33

10 885,62

2

Март 2017

305 436,94

7 322,77

3 562,85

10 885,62

3

Апрель 2017

298 030,76

7 406,19

3 479,44

10 885,62

4

Май 2017

290 540,20

7 490,56

3 395,07

10 885,62

5

Июнь 2017

282 964,31

7 575,89

3 309,74

10 885,62

6

Июль 2017

275 302,13

7 662,19

3 223,44

10 885,62

7

Август 2017

267 552,65

7 749,47

3 136,15

10 885,62

8

Сентябрь 2017

259 714,90

7 837,75

3 047,87

10 885,62

9

Октябрь 2017

251 787,87

7 927,04

2 958,59

10 885,62

10

Ноябрь 2017

243 770,53

8 017,34

2 868,28

10 885,62

11

Декабрь 2017

235 661,86

8 108,67

2 776,95

10 885,62

12

Январь 2018

227 460,81

8 201,04

2 684,58

10 885,62

13

Февраль 2018

219 166,35

8 294,46

2 591,16

10 885,62

14

Март 2018

210 777,40

8 388,95

2 496,67

10 885,62

15

Апрель 2018

202 292,88

8 484,52

2 401,11

10 885,62

16

Май 2018

193 711,71

8 581,17

2 304,45

10 885,62

17

Июнь 2018

185 032,79

8 678,92

2 206,70

10 885,62

18

Июль 2018

176 255,00

8 777,79

2 107,83

10 885,62

19

Август 2018

167 377,21

8 877,78

2 007,84

10 885,62

20

Сентябрь 2018

158 398,29

8 978,92

1 906,71

10 885,62

21

Октябрь 2018

149 317,09

9 081,20

1 804,42

10 885,62

22

Ноябрь 2018

140 132,44

9 184,65

1 700,97

10 885,62

23

Декабрь 2018

130 843,16

9 289,28

1 596,34

10 885,62

24

Январь 2019

121 448,06

9 395,10

1 490,52

10 885,62

25

Февраль 2019

111 945,93

9 502,13

1 383,50

10 885,62

26

Март 2019

102 335,56

9 610,37

1 275,25

10 885,62

27

Апрель 2019

92 615,71

9 719,85

1 165,77

10 885,62

28

Май 2019

82 785,13

9 830,58

1 055,05

10 885,62

29

Июнь 2019

72 842,57

9 942,56

943,06

10 885,62

30

Июль 2019

62 786,75

10 055,82

829,80

10 885,62

31

Август 2019

52 616,37

10 170,38

715,25

10 885,62

32

Сентябрь 2019

42 330,14

10 286,23

599,39

10 885,62

33

Октябрь 2019

31 926,72

10 403,41

482,21

10 885,62

34

Ноябрь 2019

21 404,80

10 521,92

363,70

10 885,62

35

Декабрь 2019

10 763,01

10 641,79

243,84

10 885,62

36

Январь 2020

0,00

10 763,01

122,61

10 885,62

Итого по кредиту:

320 000,00

71 882,42

391 882,42

Приложение 5

Результаты расчета кредита по дифференцированным платежам.

Кредит 320 000,00 руб. на 36 месяцев под 13,67% годовых.

Общая сумма выплат: 387 438,67 руб.

Переплата за кредит: 67 438,67 руб. или 21,07% от суммы кредита.

Начало выплат: Февраль 2017г. Окончание выплат: Январь 2020г.

График платежей:

Дата платежа

Остаток долга после выплаты

Погашение основного долга

Начисленные проценты

Сумма платежа

1

Февраль 2017

311 111,11

8 888,89

3 645,33

12 534,22

2

Март 2017

302 222,22

8 888,89

3 544,07

12 432,96

3

Апрель 2017

293 333,33

8 888,89

3 442,81

12 331,70

4

Май 2017

284 444,44

8 888,89

3 341,56

12 230,44

5

Июнь 2017

275 555,56

8 888,89

3 240,30

12 129,19

6

Июль 2017

266 666,67

8 888,89

3 139,04

12 027,93

7

Август 2017

257 777,78

8 888,89

3 037,78

11 926,67

8

Сентябрь 2017

248 888,89

8 888,89

2 936,52

11 825,41

9

Октябрь 2017

240 000,00

8 888,89

2 835,26

11 724,15

10

Ноябрь 2017

231 111,11

8 888,89

2 734,00

11 622,89

11

Декабрь 2017

222 222,22

8 888,89

2 632,74

11 521,63

12

Январь 2018

213 333,33

8 888,89

2 531,48

11 420,37

13

Февраль 2018

204 444,44

8 888,89

2 430,22

11 319,11

14

Март 2018

195 555,56

8 888,89

2 328,96

11 217,85

15

Апрель 2018

186 666,67

8 888,89

2 227,70

11 116,59

16

Май 2018

177 777,78

8 888,89

2 126,44

11 015,33

17

Июнь 2018

168 888,89

8 888,89

2 025,19

10 914,07

18

Июль 2018

160 000,00

8 888,89

1 923,93

10 812,81

19

Август 2018

151 111,11

8 888,89

1 822,67

10 711,56

20

Сентябрь 2018

142 222,22

8 888,89

1 721,41

10 610,30

21

Октябрь 2018

133 333,33

8 888,89

1 620,15

10 509,04

22

Ноябрь 2018

124 444,44

8 888,89

1 518,89

10 407,78

23

Декабрь 2018

115 555,56

8 888,89

1 417,63

10 306,52

24

Январь 2019

106 666,67

8 888,89

1 316,37

10 205,26

25

Февраль 2019

97 777,78

8 888,89

1 215,11

10 104,00

26

Март 2019

88 888,89

8 888,89

1 113,85

10 002,74

27

Апрель 2019

80 000,00

8 888,89

1 012,59

9 901,48

28

Май 2019

71 111,11

8 888,89

911,33

9 800,22

29

Июнь 2019

62 222,22

8 888,89

810,07

9 698,96

30

Июль 2019

53 333,33

8 888,89

708,81

9 597,70

31

Август 2019

44 444,44

8 888,89

607,56

9 496,44

32

Сентябрь 2019

35 555,56

8 888,89

506,30

9 395,19

33

Октябрь 2019

26 666,67

8 888,89

405,04

9 293,93

34

Ноябрь 2019

17 777,78

8 888,89

303,78

9 192,67

35

Декабрь 2019

8 888,89

8 888,89

202,52

9 091,41

36

Январь 2020

0,00

8 888,89

101,26

8 990,15

Итого по кредиту:

320 000,00

67 438,67

387 438,67