III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО ПИ
Шемякина Е.М., Губинская М.С.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

В бесконечном множестве чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией.

Переходя из класса в класс, мы познакомились с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными числами. В этом году мы изучили иррациональные. Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Оно встретилось нам ещё в 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». Было акцентировано внимание на то, что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Услышав об этом числе много интересного, мы решили путём изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы:

- Как давно люди знали о числе пи?

- Для чего необходимо его изучение?

- Какие интересные факты с ним связаны?

- Верно ли, что значение пи равно приближённо 3,14?

Проблема: Некоторые данные достаточно трудно запоминаются. Но с помощью открытия новых фактов, характеризующих число π, можно лучше запомнить это число и понять темы, связанные с числом π.

Цель работы: исследование истории числа π и значимость числа π на современном этапе развития математики.

Задачи:

1) Изучить историю числа Пи;

2) Узнать, как рассматривается число p в школьном курсе;

3) Получить информацию об известных людях, имеющих отношение к числу p;

4) Провести измерение предмета округлой формы, вычисление числа p практическим путём;

7) Сравнить значение исторического числа с полученным практическим результатом;

8) Провести опрос на тему: "Что такое число p?".

Объект исследования: Число Пи.

Предмет исследования: История и значимость числа p.

Гипотеза: При правильном понимании и применении числа p:

– возможно легкое запоминание тем и изучение дисциплин школьного курса;

– возможно существование интересных фактов, связанных с числом p.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;

2. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия;

3. Опрос.

1. Теоретическая информация о числе Пи

1.1. История числа Пи

Число Пи (греч. p, первая буква греческого слова «периферия», букв. — «окружность») — математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У. Джонсон в 1706 г. Общеупотребительным введённое Джонсоном обозначение стало после работ Л. Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: «И сделал литое из меди море, — от края его и до края его десять локтей, — совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Царств, гл. 7, ст. 6). Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа p, которое получается из формулы площади круга диаметра d: S = (d–1/9d)2 = (1–1/9)2d2.

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение p =4(8/9)2 = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4 ½». Исследователи толкуют её по-разному, поскольку p в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа p берётся то же самое приближённое значение 4(8/9)2. Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение p = 3. В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

С VI века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга — к построению равновеликого квадрата.

Архимед в III веке до н.э., занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами и , а это означает, что p = 3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа: 3,1408 < p < 3,1428.

Значение до сих пор считается вполне хорошим приближением числа p для прикладных задач. Более точное приближение (p =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (II в.), но оно не вошло в употребление.

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий Индии) имеется указание, из которого следует, что число Пи принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик VII века Брахмагупта.

Китайские учёные в III в. н.э. использовали для p значение , которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чунчжи получил приближение (p = 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Спустя полтора столетия после ал-Каши в Европе Франсуа Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, но при этом он сделал открытие, позволившее вычислять p с какой угодно точностью. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540–1610) — некоторые историки называют его Л.ван Кейлен – нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации — 1615) значение числа p с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа p: число Пи не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И, тем не менее, история числа на этом не закончилась.

В конце XIX в. профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что p — число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. В память об открытии трансцендентности числа p в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква p.

Число Пи является иррациональным и трансцендентным, и корень из этого числа также является бесконечной непериодической десятичной дробью.

Квадратный корень числа p (с точностью до до 40 знаков):

1,7724538509055160272981674833411451827975

1.2. Число Пи в школьном курсе

Первое знакомство с числом π в рамках школьного курса математики происходит в 6-ом классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». При изучении этой темы учащиеся получают наглядное представление о длине окружности и площади круга. Здесь же делается вывод о том, что для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом, которое обозначают греческой буквой π ≈ 3,14... При изучении этой же темы в курсе геометрии 8 класса добавляется следующая информация об этом числе:

1.π является бесконечной десятичной дробью, т. е. иррациональным числом.

2.π ≈ 22/7 с точностью до 0,002.

Число p нашло свое применение во многих науках:

  • Алгебра: π - иррациональное и трансцендентное число.

  • Тригонометрия: радианное измерение углов.

  • Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

  • Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

  • Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.

  • Теориявероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

  • Кроме этого, в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике и мн.др.

1.3. Известные люди, имеющие отношение к числу Пи

Архимед (287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.)

Архимед из Сиракуз первым предложил использовать математический метод вычисления числа пи, определяющего зависимость длины окружности от её диаметра. Он построил вписанный и описанный вокруг окружности многоугольники по 96 сторон каждый, вычислил длины их периметров. Так мир получил первое приближённое значение числа p, равное на глаз Архимеда 22/7. При вычислении такой дроби ошибка обнаруживается уже на третьем знаке после запятой (3,142 вместо истинных 3,141).

Чжан Хэн (78—139 г.)

Во II-ом веке философ и мыслитель Чжан Хэн дал своё определение числу пи, предложив два его эквивалента: (3,17) и (3,16), что однако было дальше от истины, чем у его греческого предшественника.

Людольф ван Цейлен (1540—1610 г.)

С развитием математического анализа в середине II-ого тысячелетия поиск числа p вновь обрёл свою актуальность. Голландец Людольф ван Цейлен посвятил десять лет своей жизни вычислению пи при помощи рядов. Применяя всё тот же метод Архимеда, он использовал многоугольник c 60×229 сторон, и тем самым точно вычислил 20 знаков числа после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Людольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше».

После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа p. Людольф завещал, чтобы найденные им 35 знаков были высечены на его надгробном камне. В честь него число p иногда называли «Людольфовым числом».

Франсуа Виет (1540—1603 г.)

В это же время знаменитый француз Франсуа Виет, увлечённый анализом и определением бесконечных рядов, представил одну из красивейших формул вычисления приближённого значения числа p:

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716 г.)

В 1673 году в возрасте 27 лет Готфрид Лейбниц на заседании Королевского общества в Лондоне продемонстрировал созданный им механический калькулятор (арифмометр), позволявший не только складывать, но делить и умножать числа. Восхищённые изобретением, Лейбница избрали членом Общества, в котором от Ольденбурга он получил изложение открытий И. Ньютона: анализа бесконечно малых и теории бесконечных рядов. Сразу оценив мощь метода, Лейбниц вывел первый ряд для числа p:

Леонард Эйлер (1707—1783 г.)

Хотя впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера, опубликованных только через 30 лет. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов «периферия» (окружность) и «периметр».

Вильям Шенкс (1812—1882 г.)

15 лет своей жизни в конце XIX века посвятил вычислению числа p английский математик Вильям Шенкс, и установил новый рекорд, указав уже 707 знаков после запятой, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров только в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков числа p.

Фердинанд Линдеманн (1852—1939 г.)

Согласно личным воспоминаниям Линдеманна в день своего тридцатилетия — 12 апреля 1882 г. — он пришел к идее доказательства трансцендентности числа p. Это означало, что количество знаков после запятой в числе p бесконечно, и постичь это число целиком невозможно. Тем самым Линдеманн разрешил и известную еще со времен античности классическую проблему «квадратуры круга» (попытки построения квадрата той же площади, что и круг).

Джон фон Нейман (1903—1957 г.)

Праотец современной архитектуры компьютеров Джон фон Нейман впервые применил к вычислению числа пи электронику. Для расчётов использовался один из первых компьютеров ЭНИАК размером с читальный зал средней библиотеки. За 70 часов эта махина перебила все рекорды человека за предыдущие тысячелетия, и подарила миру 2037 точных знаков после запятой.С эпохой развития компьютеров количество известных знаков числа пи после запятой стало стремительно расти, и на сегодняшний день известно уже несколько их триллионов. Тогда как на поиск первых семи понадобилось две тысячи лет.

1.4. Интересные факты о числе p

1. В практических расчетах редко бывает нужда знать более трех – пяти цифр числа Пи. Если со временем они забудутся и надо вспомнить, задайте себе вопрос:

«Что я знаю о кругах?»

3, 1 4 1 6

В вопросе скрыто – по числу букв в каждом слове – содержится ответ:

 3,1416.

2. Существуют стихи, в которых первые цифры числа Пи зашифрованы в виде количестве букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:

3 1 4 1 5 9

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся звеньям громадным

Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

3. Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу, примечать (3,14159265358)

4. Гимназистам дореволюционной России предлагалось двустишие (с твердым знаком):

Кто и шутя и скоро пожелаетъ

3, 1 4 1 5 9

Пи узнать – вмигъ уж знаетъ.

2 6 5 2 6

5. Стихотворение для запоминания:

Раз у Коли и Арины

Разпороли мы перины

Белый пух летал, кружился,

Кружился,

Ублажился,

Нам не дал,

Головную боль старух

Ух, опасен пуха дух!

Георгий Александров

6. Стихотворение для запоминания в памяти 8 – 11 знаков числа Пи:

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

  • Неофициальный праздник «День числа p» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа p. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Лари Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа p= 3,14159. Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков Альбертом Эйнштейном.

  • Ещё одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа p» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа p.

  • В 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием "Пи". Фильм получил множество наград.

  • Существует памятник числу p на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

  • Мировой рекорд по запоминанию знаков числа p после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки.В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число pдо 100-тысячного знака после запятой,однако проверить это официально не удалось.

  • В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа p равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.

  • «Число p для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.

  • Среди самых известных памятников архитектуры, Египетских пирамидах, замечена закономерность числа p в отношении площади к высоте.

  • Можно, также проверить, что в Колизее, в Пизанской и Эйфелевой башнях замечена знаменитая закономерность в отношении диаметра к длине окружности.

  • В настоящее время вычислено 10 триллионов знаков после запятой. Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени.

  • Германский король Фридрих Второй был настолько очарован эти числом, что посвятил ему …целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить p. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

  • 2. Практическая часть

  • Путем практической работы попробуем вычислить число p.

  • 1. Возьмем 10 предметов, имеющих внешне округлую форму;

  • 2. Измерим длину окружности этих предметов и диаметр;

  • 3. Проведем расчеты по предложенной формуле отношения длины окружности к диаметру ();

  • 4. Сделаем вывод о полученных значениях.

  • Таблица 1. Расчетные данные по практической работе

    • Предмет измерения

    • Длина окружности (см)

    • Диаметр (см)

    • Расчетное число

    • 1.Ведро

    • 68

    • 22

    • 3,0909

    • 2.Мяч

    • 57

    • 19

    • 3

    • 3.Ёлочный шарик

    • 23,5

    • 7,6

    • 3,0921

    • 4.Монета

    • 8

    • 2,5

    • 3,2

    • 5.Кошачья талия

    • 43

    • 18

    • 2,3888

    • 6.Голова человека

    • 53

    • 16

    • 3,3125

    • 7.Банка

    • 49

    • 15

    • 3,266

    • 8.Часы

    • 13

    • 4

    • 3,25

    • 9.Яблоко

    • 25

    • 7,5

    • 3,(3)

    • 10.Пуговица

    • 5

    • 1.5

    • 3,(3)

  • Вывод: Анализируя полученные результаты, мы сделали вывод о том, что окружающие нас предметы приближены к идеальным геометрическим фигурам, но не являются таковыми. Так, например, голова человека или талия кошки не имеют идеальную округлую форму, поэтому результат практического вычисления числа p отличается от общепринятого значения. Если рассматривать предметы автоматизированного механического производства (ведро, пуговица, елочный шар), то заметим, что эти предметы максимально приближены к идеальным формам.

  • Изучив число p, мы узнали очень много новой информации, которую раньше не знали. И поэтому мы решили выяснить, знают ли окружающие нас люди (учителя, родители, обучающиеся школы) о числе p.

  • Для этого был проведен опрос «Известность числа Пи». В опросе приняли 173 человека в возрасте от 11 до 50 лет, из них 78 человек мужского пола и 95 человек женского пола.

  • В опросе было предложено 5 вопросов, интересующих нас:

  • 1)Знаете ли Вы, что такое трансцендентное число?

  • 2) Знаете ли Вы, что такое число Пи?

  • 3) Знаете ли Вы числовое значение числа Пи?

  • 4) Где применяется число Пи?

  • 5) Кто открыл число Пи?

  • А) Архимед; Б) Пифагор; В) Леонард Эйлер; Г) Чжан Хэн; Д) Франсуа Виет.

  • Проанализировав результаты опроса, мы выяснили, что:

  • 1. Что такое трансцендентное число знают лишь 11 % опрошенных, что не очень много;

  • 2. О своих знаниях, что такое число p положительно ответили 83% опрошенных и 14 % сообщили, что когда-то слышали о таком числе;

  • 3. 80 % знают числовое значение числа p, как 3,14. Но среди предложенных значений были и другие как правильные (3,1415; 3,1415926; 3,1415926535), так и неправильные (0,14; 13,4; 3,16).

  • 4. Очень многие считают, что число p открыл Леонард Эйлер (36%), и лишь 27 % выбрали первоначального открывателя числа – Архимеда. Остальные 37 % выбрали Пифагора, Чжан Хэна и Франсуа Виета.

  • 5. О применении числа p в жизни человека участники опроса в основном отвечали про математику и физику, но были и другие варианты: в строительстве, квантовой механике, биологии и лесоведении, для изготовления головных уборов и в швейном деле.

  • Вывод: Таким образом, проведенный опрос показал, что окружающие нас люди имеют неплохое представление о числе p. Но данное представление является поверхностным («когда-то слышали», «где-то проходили», «в математике говорили»).

  • Заключение.

  • В своей работе мы подробнее познакомились с числом p – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнали некоторые аспекты его богатейшей истории. Выяснили, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру.

  • На основе практической работы вычислили приближенное значение числа различными способами. Провели обработку и анализ результатов практических расчетов.

  • В качестве популяризации числа p, провели опрос об известности данного числа, проанализировали ответы и сделали вывод.

  • Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число p. Ведь у всех первое знакомство с числом p, использование его при вычислении длины окружности, площади круга происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными и уже через год – два мало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминают численное значение числа, равное 3,14.

  • Литература:

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе IV- VI классы / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1982.

  2. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики / Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман. – М.: Просвещение, 1989.

  3. Жуков А.В. Вездесущее число «Пи» / А.В. Жуков. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

  4. Кымпан Ф. История числа «Пи» / Ф. Кымпан. – М.: Наука, 1971.

  5. Мерзляк А.Г. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2016. – 304 с.: ил.

  6. Свечников А.А. Путешествие в историю математики / А.А. Свечников – М.: Педагогика – Пресс, 1995.

  7. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика – М.: Аванта +, 1998.

  8. Интернетресурсы:

  • - http://crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

  • - http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

  • - http:// /ru.wikipedia.org/wiki/Pi

  • - http://arbuz.narod.ru/z_piclub.htm