III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИКИ
Наумов В.А.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Построение графиков функций - одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Построение графиков является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются.» Сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности; изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер-радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Все эти люди изучают некоторые функции по их графикам. И меня заинтересовали функции.

Поэтому, объектом исследования стали дробно-рациональные функции. Дробно-рациональные функции – это функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов.

Актуальность темы. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес, т.к. часто в качестве задач повышенной сложности в учебниках или в КИМах предлагается задача, для решения которой необходимо построить график той или иной функции. Следовательно, для успешной сдачи ГИА и дальнейшего обучения на старшей ступени образования нужно знать и уметь применять способы построения графиков функций, в частности, графиков дробно – рациональных функций, в конкретных ситуациях.

При изучении обратной пропорциональной зависимости и дробно-линейной функции мы впервые столкнулись с тем, что графики этих функций имеют очень интересное свойство: при некоторых значениях х и у они не пересекаются с осями координат или с прямыми, параллельными осям координат. Но в действующих школьных учебных пособиях недостаточно теоретического и практического материала по обозначенной теме, рассматривается вопрос только об асимптотах дробно-линейной функции, ничего не говорится о том, существуют ли еще какие-либо функции, имеющие асимптоты, что явно недостаточно для исследования и построения графиков дробно- рациональных функций. В книге Шахмейстера А.Х. «Построение графиков функций элементарными методами» предлагаются задачи на исследование функций и построение графиков, при решении которых автор говорит о том, что необходимо развивать интуитивное представление, и решения строит, опираясь именно на математическую интуицию [10, с. 7]. После введения определений вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот и рассмотрения нескольких задач, автор предлагает выполнить тренировочные задания по предложенному образцу и не отвечает на вопрос, как определить вид и количество асимптот.

Проблема: Можно ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеют график и возможно ли исследование и построение графиков дробно – рациональных функций средствами элементарной математики

Цель работы – исследовать рациональные функции, выяснить, можно ли строить их графики элементарными способами и изложить данный метод построения графиков рациональных функций без общей схемы исследования, с помощью асимптотического исследования.

Задачи исследования.

  1. Изучить теоретический материал, связанный с данной темой.

  2. Выяснить когда появилось понятие «асимптота» и сколько определений имеет это понятие, что общего в этих определениях и в чем заключаются различия.

  3. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – линейные функции.

  4. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – линейная функция, а знаменатель – квадратичная функция.

  1. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – квадратичные функции.

  2. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – квадратичная функция и знаменатель – линейная функция.

  3. На основании задач исследования 2-5, вывести критерии существования асимптот.

8. Рассмотреть методы построения графиков дробно – рациональных функций.

9. Научиться применять изученные методы при решении олимпиадных, конкурсных, текстовых задач.

Методы исследования:

частично-поисковый, анализ и обобщение научной литературы по теме, составление задач.

Гипотеза исследования: если материал о дробно – рациональных функциях обобщить, систематизировать и представить в доступной форме членам школьного коллектива, то методы построения графиков дробно – рациональных функций будут доступны каждому заинтересованному ученику, что необходимо для успешной сдачи ГИА и дальнейшему обучению в старшем звене учащимся.

график любой дробно-рациональной функции имеет два вида асимптот: вертикальную и горизонтальную, и по виду функциональной зависимости можно определить их количество и вид.

Исходя из этого, предметом исследования стали асимптотические свойства рациональных функций и построения их графиков, основанные на анализе поведения функции относительно асимптот, в роли которых выступают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Чтобы увидеть асимптоты функции и получить полное представление о графике , достаточно числитель дробного выражения, которым представлена функция разделить на её знаменатель.

Чтобы полностью раскрыть способ построения графиков рациональных функций, основанный на анализе поведения функции относительно асимптот, в работе я рассмотрел достаточное количество исследований. Исследования наглядно иллюстрируют методику построения графиков рациональных функций и подтверждают, что строить их графики можно строить без общей схемы исследования.

Глава 1. Графики дробно-рациональных функций

1.1 Дробно – линейная функция и ее график

С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x стремится к плюс бесконечности) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x стремится к нулю) значения функции неограниченно возрастают (y стремится к плюс бесконечности). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике (рис. 1) это свойство выражается в том, что точки гиперболы по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда │x│ стремится к плюс бесконечности, или к оси y, когда │x│ стремится к нулю. Такую прямую называют асимптотами кривой.

Рис. 1

Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y.

Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций.

Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций.

Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2).

Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой

.

Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:

Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой

.

У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.

рис. 2

Вообще функцию, заданную формулой вида , где х – переменная, а, b, c, d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0, называют дробно-линейной функцией.

Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то

.

Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и d и подставив его в формулу, получим:

.

Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида , во втором случае – константу .

Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида

Пример 2. Построим график функции , т.е. представим ее в виде : выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

.

Итак, .

Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

x

-7

-2

-1

0

1

2

2,5

y

1,5

1

0,75

0,33

-0,5

-3

-8

x

3,5

4

5

6

7

8

13

y

12

7

4,5

3,33

3,25

3

2,52

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.

рис. 3

Любую дробь можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 3.

Построим график функции .

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби относительно малы. Поэтому .

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.

Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4). рис. 4

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

1.2 Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробную рациональную функцию

,

у которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. Пусть дробь - правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

Если:

,

где k1 ... ks – корни многочлена Q (x), имеющие соответственно кратности m1... ms, а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней Q (x) кратности m1 ... mt дроби вида

называют элементарными рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x2+px+q имеет мнимые корни.

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

График функции

получаем из графика функции 1/xm (m~1, 2, …) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на │k│ единиц масштаба вправо. График функции вида

легко построить, если в знаменателе выделить полный квадрат, а затем осуществить соответствующее образование графика функции 1/x2. Построение графика функции

сводится к построению произведения графиков двух функций:

y=Bx+C и

Замечание. Построение графиков функции

где ad-bc0, ,

где n - натуральное число, можно выполнять по общей схеме исследования функции и построения графика в некоторых конкретных примерах с успехом можно построить график, выполняя соответствующие преобразования графика; наилучший способ дают методы высшей математики.

Пример 1. Построить график функции

.

Выделив целую часть, будем иметь

.

Дробь изобразим в виде суммы элементарных дробей:

.

Построим графики функций:

После сложения этих графиков получаем график заданной функции:

(рис. 5)

рис. 5

Рисунки 6, 7, 8 представляют примеры построения графиков функций

и .

Пример 2. Построение графика функции :

(1); (2); (3); (4)

рис. 6

Пример 3. Построение графика графика функции :

(1); (2); (3); (4)

рис. 7

Пример 4. Построение графика функции :

(1); (2); (3); (4).

второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x2+px+q имеет мнимые корни.

(рис. 5)

рис. 5

Для графиков каких функций нужно строить асимптоты?

Глава 2. Асимптотическое исследование рациональных функций и построение их графиков с помощью прямолинейных асимптот

Построение графика обычно начинают с асимптотического исследования функции, т.е. поиска асимптот. При исследовании поведения функции на бесконечных ветвях (т.е. при и ) и вблизи точек разрыва часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют асимптотами. Напомним определение асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

«Асимптотой графика функции называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки к бесконечности вдоль ветви графика».

Меня заинтересовал вопрос: «Нельзя ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеет график и сколько их?»

Исследование № 1. Исследую функцию (рис. 1).

  1. :;

  2. - функция общего вида, непериодическая;

  3. Функция неопределенна в точке (именно эта точка определяет вертикальные асимптоты);

  4. Дробь не может быть равной нулю, так как числитель равен 2 , т.е. (значит горизонтальная асимптота ).

Асимптотическое исследование функции показывает: что график имеет вертикальную асимптоту х = 3, так как при и ; горизонтальную асимптоту , причём эта прямая является асимптотой для обоих ветвей графика, так как как при , так и при .

Рис. 1 Рис. 2

Вывод: вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва исследуемой функции, если функция задана рациональным выражением, то чаще всего сразу видно, является она непрерывной или нет, поскольку обычно бывает нетрудно определить, при каких значениях аргумента дробь равна

Исследование № 2. Исследуем функцию (рис. 2). Для того, чтобы провести асимптотическое исследование функции, надо выделить «целую часть» дроби, разделив числитель на знаменатель. Мы получим . Теперь исследуем:

  1. :;

  2. - функция общего вида, непериодическая;

  3. Функция неопределенна в точке ;

Теперь видно, что график этой функции получается из графика следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единицы вправо, растяжением в 7 раз вдоль оси Оу и сдвигом на 2 единицы вверх.

Асимптотическое исследование функции показывает: что график имеет вертикальную

асимптоту х = 3, так как при и ; горизонтальную асимптоту , причём эта прямая является асимптотой для обоих ветвей графика, так как как при , так и при .

Вывод: если при делении числителя на знаменатель получается остаток а, т.е. , то график этой функции имеет две асимптоты: вертикальную x = в и горизонтальную y = .

Исследование № 3. Исследуем функцию. Преобразуем функцию к виду . Второе выражение удобнее с точки зрения асимптотического исследования.

  1. :;

  2. - функция общего вида, непериодическая;

  3. Функция неопределенна в точке (именно она определяет вертикальные асимптоты);

  4. Дробь не может быть равной нулю.

Далее при исследовании мы обратили внимание, что, выражения и задают одну и ту же функцию, второе выражение - результат деления числителя на знаменатель . Но второе выражение удобнее с точки зрения асимптотического исследования. Задумались. Выделенная целая часть представляет собой прямую, значит, полученное выражение подсказывает нам, что при значения нашей функции стремятся к значениям прямой . Значит является наклонной асимптотой.

Наши исследования привели нас к следующему предположению: наклонную асимптоту можно легко найти, разделив числитель рационального выражения, которым задана функция, на его знаменатель. Проделав ряд исследований с графиками рациональных функций, мы пришли к следующему выводу:

1. Если при делении числителя на знаменатель получается остаток, то график имеет горизонтальную асимптоту, равную .

2. Если показатель степени числителя (обозначим его через ) меньше показателя степени знаменателя (обозначим его через ), то график имеет горизонтальную асимптоту .

3. Если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту .

Тепрь буду исследовать рациональные функции с более сложными выражениями, такими, у которых показатель степени числителя на единицу больше показателя степени знаменателя, т.е. .

Исследуем функцию показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя на 1, т. е. .

Исследование № 4. Исследуем функцию (рис. 4), и, представим ее в виде .

  1. :;

  2. - функция общего вида, непериодическая;

  3. Функция неопределенна в точке ;

По асимптотическому исследованию мы видим, что она имеет вертикальную асимптоту не имеет горизонтальных асимптот, в роли асимптоты выступает прямая , которая является наклонной асимптотой.

Исследование № 5. Исследуем функцию (рис. 5), которую можно представить в виде .

  1. :;

  2. - функция нечётная, непериодическая;

  3. Функция неопределенна в точках , ;

Асимптотическое исследование функции показывает, что график не имеет горизонтальных асимптот, имеет две вертикальные асимптоты и , и одну наклонную .

Рис. 4 Рис. 5

Из своих исследований сделаю следующий вывод: если , то график функции имеет наклон­ную асимптоту, т.е. такую прямую, которая задается уравнением где и

Вывод: внес поправку в предположения, заметив, что в построение вмешиваются вертикальные асимптоты. Однако это призывает к осторожности, но не разрушает предположения: если две асимптоты пересекаются, то одной из них приходится уступить свое право командовать поведением функции. В чём я и убедился при построении графика.

Критерии существования асимптот

На основании проведенных компьютерных экспериментов можно установить следующие закономерности и представить их в виде критериев существования асимптот:

  • Горизонтальные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя не превышает степени знаменателя.

  • Вертикальные асимптоты существуют у таких функций, которые не определены в каких- либо точках.

  • Наклонные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя на единицу превышает степень знаменателя

  • У графика функции не могут существовать одновременно все три вида асимптот.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих способ построения графиков рациональных функций. Проделав ряд исследований с графиками функций, представленных дробными рацио­нальными выражениями, я увидел следующее:

1. Если при делении числителя на знаменатель по­лучается остаток, то график имеет гори­зонтальную асимптоту, равную , если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту ; если показатель степени числителя равен по­казателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту .

Итак, методом проб и ошибок, я подтвердил предположения, что можно с первого взгляда определить, какие асимптоты имеет график и сколько их. Пришел к выводу, что график рациональной функции можно построить методами элементарной математики с помощью асимптотического исследования функции: найти и определить: чётность (симметричность) функции; точки в которых функция неопределена; значения аргумента, при которых дробь равна нулю; точки в которых она хорошо считается. Анализ поведения вертикальных, горизонтальных, наклонных асимптот, помогают строить графики дробно-рациональных функций.

Я считаю, что тема моей работы актуальна, так как во-первых: исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты (прямой). Во вторых: спектр применения методов, с помощью которых строятся графики функций очень широк, но данный метод, опирающийся на анализ поведения функции относительно асимптот, доступен для моего понимания. Такое построение графиков функций представляется целесообразным для оказания помощи выпускникам школ, а также полезны для учителей математики школ.

В результате проделанной работы я научился:

1. Самостоятельно искать теоретический материал по теме.

2. Составлять алгоритмы решения поставленных задач на основе изученной темы.

3. Исследовать и строить графики дробно – рациональных функций

4.Выведен алгоритм построения графиков дробно – рациональных функций, составлены упражнения в доступной для моих одноклассников форме. Дано решение составленных мной задач. Данная работа поможет мне, другим выпускникам успешно сдать ГИА, а в последующем и ЕГЭ. Информация будет полезна старшеклассникам.

Список используемой литературы

  1. Егерев В.К. Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. Высшая школа. М., 1970.

  2. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Школ Э.Э. Функции и графики. Наука,1973.

  3. Костюкова Н.К. Построение графиков рациональных функций. Москва,1998.

  4. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Учпедгиз, 1961.

5. Крамор В.С.. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990г.

6. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Справочник. Графики функций. – Киев: «Наукова Думка», 1979г.

Приложение. Исследование и решение задач практического характера.

1.Определите число корней уравнения

Решение:

Построим графики функций и у = 2,5х – 1 на одной и той же координатной плоскости:

1) .

а) Д(у): х , следовательно прямые х = -1 и х = 1- вертикальные асимптоты,

б) Нули: х = 0, следовательно (0;0) – точка графика,

в) Функция нечётная, следовательно, график функции симметричен относительно точки(0;0),

г) При х

, так как

так как

д)Определим промежутки знакопостоянства.

е)Зададим дополнительные точки.

2. у = 2,5х – 1. Графиком данной функции является прямая, которую построим по двум точкам:

Ответ: пять решений.

2 При каких значениях р уравнение имеет

а) два решения;

б) три решения;

в) четыре решения.

Решение:

Построим график функции.

а) п ≥ т +2. Значения функции стремиться к при стремлении аргумента к . Знак бесконечности легко определяется по степеням старших членов п, т и коэффициентам при старших степенях, а именно, на знак определяется знаком произведения , а на - - знаком

Значит, при х+ у +; при х– у +. Так как = 1·1 = 1; 1> 0; при х– у +, так как=( - 1)2> 0 .

б) Функция не определена при х = – 2 и при х = 1, следовательно, прямые

х = – 2 и х = 1 – вертикальные асимптоты.

в) Нули функции: х4 – 9х2 = 0

х = 0 или х = -3 или х = 3

г) у(0) = 0

д) Промежутки знакопостоянства:

на у>0, на у < 0.

По графику даём ответ:

а) если р, то уравнение имеет два решения;

б) если р = 0, то уравнение имеет три решения;

б)если , то уравнение имеет четыре корня