III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПАРАБОЛА. ПРОСТО О СЛОЖНОМ
Альдебенева А.Н.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

«Процесс построения графиков является

способом превращения формул и описаний

в геометрические образы»

Израиль Моисеевич Гельфанд

Построение графиков функций - это одна из интереснейших тем в школьной математике. С помощью графиков мы можем распознать функции, увидеть формулу и проследить, каким образом эти функции меняются.

Когда в «стандартные» уравнения парабол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак. С одной стороны, построение графика функции - это не сложно, но с другой стороны, при построении, можно наткнуться на множество вопросов. На некоторые из них я попыталась найти ответы, и это позволило повысить мой интерес к данной теме.

Актуальность. Традиционно, задания на построение графиков - одна из самых трудных тем математики. Задания данного типа очень популярны на ГИА, а также на олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики, для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от нас, учащихся требуется четкое понимание и знание всех этих свойств. При этом, задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Я провела опрос среди одноклассников. В опросе приняли участие 25 учеников. Им были заданы следующие вопросы:

1. Планируешь ли ты решать 23-е задание из ОГЭ?

2. Вызывает ли оно у тебя трудности, если в задании функция квадратичная?

3. Вызывает ли задание трудности, если функция с модулем?

Вопросы

Количество учащихся

 

1 опрос

2 опрос

1. Планируешь ли ты решать 23-е задание из ОГЭ?

10

17

2. Вызывает ли оно у тебя трудности, если в задании функция квадратичная?

Да- 8

Нет-2

Да-2

Нет-15

3. Вызывает ли задание трудности, если функция с модулем?

Да- 5

Нет-5

Да-2

Нет-15

Таким образом, выявлено, что мало девятиклассников планирует решать двадцать третье задание из ОГЭ, и практически у всех возникают проблемы при решении этого задания.

Так же ученикам было предложено решить два задания из ОГЭ на построение графиков.

Задание

Количество учащихся-12 человек

Решили верно

Решили неверно

  1. Постройте график функции у=х2-4IхI+3 и определите, при каких значениях параметра а прямая у=а имеет с графиком ровно 2 общие точки

4 человека

8 человек

2) Постройте график функции у=х2-IхI+2 и определите, при каких значениях параметра а прямая у=а имеет с графиком ровно 2 общие точки

5 человек

7 человек

Вывод: не все ученики понимают, как решать такие задания, либо решают, но не всегда правильно.

Проблема исследования: можно ли разработать алгоритм построения графиков квадратичных функций, содержащих знак модуля, помогающий успешно справляться с заданием 23 из второй части ОГЭ

Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих способов построения графиков функций, содержащих знак модуля, методики

решения заданий второй части ОГЭ позволит учащимся решать эти задания

на сознательной основе и успешнее сдать ОГЭ.

Цель работы: рассмотреть построение графиков квадратичных функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины квадратичной функции.

2) Систематизировать знания о квадратичной функции, полученные на уроках алгебры.

3) Исследовать изменения графика функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

4) Научиться стоить графики уравнений с модулями.

Объект исследования: парабола как график квадратичной функции.

Предмет исследования: изменения расположения параболы в координатной плоскости в зависимости от расположения знака абсолютной величины в формуле

Методы исследования: теоретический и практический анализ, исследовательский метод, анкетирование, эксперимент, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.

Практическая значимость моей работы заключается:1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;

2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Глава 1. Квадратичная функция.

1.1.Историческая справка.

В первой половине ХVII века начинает складываться представление функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин "функция" (от латинского function – исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не

имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль

упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения

в материале к относительному удлинению.

1.2.Основные определения и свойства функций.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.

Способы задания функции:

1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);

2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);

3) описательный способ (функция задается словесным описанием);

4) графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты –

соответствующим значениям функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0. Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения функции (ООФ): х – любое;

2. Область значений функции (ОЗФ):

При а > 0 и ;

при а < 0 и ;

3. Четность, нечетность функции:

при b= 0 - функция четная

при b≠0 - функция не является ни четной, ни нечетной

4. Нули:

при D > 0 - два нуля: ,

при D = 0 - один нуль:

при D < 0 - нулей нет

5. Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

если а > 0, D < 0, то

если а < 0, D > 0, то

если а < 0, D = 0, то

если а < 0, D < 0, то

6. Промежутки монотонности:

при а > 0

при а < 0

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) Найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2) Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) Соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

; .

Растяжение графика у = x2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 — это сжатие в раз). Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах2.

Параллельный перенос графика функ­ции у = ах2 вдоль оси х на |m| (вправо при

m > 0 и влево при т < 0). Результат: график функции у = а(х - т)2.

Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.

1.3.Алгоритмы построения графиков с модулем.

Модулем действительного числа a называется само число а, если оно неотрицательно, и число противоположное а, если a отрицательное.

|а| =

Чтобы построить графики функций y=|x| нужно знать, что при положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучом, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс.

При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных x) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси OY, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график: y=|x|. Для построения берём точки

(-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Теперь построим график y= |x-1|. Если А - точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). Эту точку второго графика можно получить из точки А (a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси OX вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси OX вправо на 1. Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

1.4.Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем.

Составим алгоритм преобразования графиков функций.

1. Построение графика функции y= f(|x|). По определению модуля данная функция распадается на совокупность двух функций.

Следовательно, график функции y= f(|x|) состоит из двух графиков: y= f(x) – в правой полуплоскости, y= f(-x) – в левой полуплоскости. Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм). График функции y= f(|x|) получается из графика функции y= f(x) следующим образом: при х≥ 0 график сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

2. Построение графика функции y= |f(x)|.

а). Строим график функции y= f(x).

б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

3. Чтобы построить график функции y= |f(|x|)|, надо сначала построить график функции y=f(x) при х> 0, затем при х