III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Переломова К.Г.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Преобразование графиков функции является одним из основных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. Преобразование графиков функций впервые встречается в алгебре 9 класса при изучении темы «Квадратичная функция». Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами, например в 10 – 11 классах исследование функции дает возможность найти область определения и область значения функции, области убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Так же этот немаловажный вопрос выносится на ГИА. Отсюда следует, построение, и преобразование графиков функции является одной из главных задач обучения математике в школе.

Однако для построения графиков многих функций можно использовать ряд методов, облегчающих построение. Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследованияявляется изучение преобразование графиков в школьной математике.

Предмет исследования –процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.

Проблемный вопрос: можно ли построить график не знакомой функции, имея навык преобразования графиков элементарных функций?

Цель: построение графиков функции в незнакомой ситуации.

Задачи:

1. Проанализировать учебный материал по исследуемой проблеме. 2. Выявить схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики. 3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции. 4.Уметь применять данную теории в решении задач.

Необходимые начальные знания, умения, навыки:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций;

• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

• описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Основная часть

Теоретическая часть

В качестве исходного графика функции y = f(x) выберу квадратичную функциюy = x2. Рассмотрю случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию и сделаю выводы для любой функции.

1. Функция y = f(x) + a

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OY:

вверх, если a > 0; вниз, если a < 0.

ВЫВОД

Таким образом график функции y=f(x)+a, получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a < 0.

2. Функция y = f(x–a),

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OX: вправо, если a < 0, влево, если a >0.

ВЫВОД

Значит график функции y= f(x - a), получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на a единиц влево, если a > 0, и на a единиц вправо, если a < 0.

3. Функция y = k f(x), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1, 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OY в  раз, если 0 < k < 1.

ВЫВОД

Следовательно: чтобы построить график функции y = kf(x), где k > 0 и k ≠ 1 нужно ординаты точек заданного графика функции y = f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1; сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OY в  раз, если 0 < k < 1.

4. Функция y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ВЫВОД

И так: чтобы построить график функции y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1 нужно абсциссы точек заданного графика функции y=f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Функция y = - f (x).

В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох.

ВЫВОД

Для построения графика функции y = - f (x) необходимо график функции y= f(x)

симметрично отразить относительно оси OX. Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси OX .

6. Функция y = f (–x).

В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси ОY.

Пример для функции у = - х² это преобразование не заметно, т. к. данная функция чётная и график после преобразования не меняется. Это преобразование видно, когда функция нечётная и когда ни чётная и ни нечётная.

7. Функция y = |f(x)|.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох.

8. Функция y= f (|x|).

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси ОY) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси ОY.

Практическая часть

Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории.

ПРИМЕР 1.

Построить график функции, заданной формулой

Решение. Преобразуем данную формулу:

1) Построим график функции

2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

(1; 3).

ПРИМЕР 2.

Построить график функции, заданной формулой

Решение. Преобразуем данную формулу, выделив в данном квадратном трехчлене квадрат двучлена:

1) Построим график функции

2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

ПРИМЕР 3.

ЗАДАНИЕ ИЗ ЕГЭПостроение графика кусочной функции

График функции График функции y=|2(x-3)2-2|; 1