III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Алексеева О.А.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.У.У. Сойер

(английский математик XX века)

Актуальность исследования:

Я выбрала эту тему, потому что моя подруга попросила объяснить, как решаются квадратные уравнения и найти для неё самый лёгкий и рациональный способ решения. В процессе поиска легкого и рационального способа я обнаружила, что существует множество способов решения квадратного уравнения, больше, чем предусмотрено в школьной программе. Мне стало интересно: «Какие ещё способы решения квадратных уравнений существуют и почему мы их не рассматриваем на уроках алгебры?»

Гипотеза: Я предположила, что в школьных учебниках дана неполная информация о квадратных уравнениях и способах их решения, потому что другие способы сложные и нерациональные.

Цель исследования: изучить различные способы решения квадратных уравнений и научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Задачи:

  1. найти необходимую информацию по данной теме;

  2. разобрать все способы на 6 примерах;

  3. провести опрос среди одноклассников и продемонстрировать результаты моего исследования;

  4. выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

  1. изучение литературы по теме исследования;

  2. анализ полученной информации;

  3. сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

Ожидаемые результаты:

Создать наглядные пособия по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, которую можно использовать учителю на уроке и стенда в помощь школьникам.

1. Теоретическая часть:

1.1.Определение квадратного уравнения и его виды

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

гдех - переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х;с – свободный член или свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть это многочлен второй степени

Если старший коэффициент равен 1, то квадратное уравнение вида х² + рх + q = 0 называют приведенным. Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты bи с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Коэффициент а всегда присутствует в квадратном уравнении, а ≠ 0.

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

Корнем квадратного уравненияax2 + bx + c = 0, называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ax2 + bx + cобращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Я в своей работе буду разбирать способы решения только на полных неприведенных квадратных уравнениях и полных приведенных квадратных уравнениях. Неполные квадратные уравнения в своей работе я не рассматривала.

1.2. Способы решения квадратных уравнений

С помощью учителя математики я выяснила, какие способы решения квадратных уравнений существуют, это:

  1. Решение квадратных уравнений по формуле.

  2. Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета.

  3. Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

  4. Решение квадратного уравнения графическим способом.

  5. Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

  6. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

  7. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

  8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

  10. Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

В этой части своей работы я подробно описала суть каждого способа. Начала с тех способов, которые есть в учебнике.

I способ: Решение квадратных уравнений по формуле.

1. Уравнение вида: ax2 + bx + c = 0, можно решить по формулам на рисунке 1.

Число действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта D = b2 − 4ac.

2.Если второй коэффициент b = 2k– четное число, то решить уравнение можно по формулам на рисунке 2:

Рис. 1

Рис. 2

II способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.Оба корня он сложил, минус p он получил.А корней произведенье дает q из уравнения.

Если приведенное квадратное уравнение х² + рх + q = 0 имеет действительные корниx1иx2, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть:

x1 + x2 = –p,

x1x2 = q.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равносвободному члену.

В общем случае квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 теорема Виета формулируется так: если x1 и x2– корни данного уравнения , то

Франсуа Виет – французский математик (1540-1603) (Рис. 3), известен как разработчик элементарной алгебры. [1]

Рис. 3

III способ: Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0,, гдеа ≠ 0.

10 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.

20 Если а + с = b (т.е. сумма крайних коэффициентов равна среднему коэффициенту), то х1 = -1, х2 = - с/а.

30 Если дано уравнение вида: ax2 + (а2 + 1)x + а = 0, то х1 = -а, х2 = - 1/а.

IV способ:Решение квадратного уравнения графическим способом.

  1. Перенести в уравнении 2 + bx + c = 0 второй и третий члены в правую часть, получим 2 = - bx - c.

  2. Разделим обе части уравнения на коэффициент а ≠ 0.

  3. Получаем уравнение: х2 = - px – q, где p=b/a и q=c/a.

  4. Построим в одной системе координат графики зависимости: у = х2и у = - px - q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (Рис. 4).

Возможны следующие случаи:

  1. прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

  2. прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

  3. прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Рис. 4

V способ: Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

Необходимо привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х) = 0, где А(х)и В(х)– многочлены относительно х.

Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при:А(х)=0или В(х)=0.

VI способ:Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

Необходимо привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения: (а + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

VII способ: Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, гдеа ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильному данному. Найдем его корни у1и у2. Окончательно получаем х1 = у1и х1 = у2.

При этом способе, коэффициент а, умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

VIII способ:Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  1. Построим точки S (центр окружности) и A(0; 1).

  2. Проведем окружность с радиусом SA;

  3. Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. (Рис. 5).

Рис. 5

Возможны следующие случаи:

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

  1. Если SА > SК, окружность пересекает ось ОХ в двух точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения (Рис. 6).

  2. Если SА = SК, окружность касается оси ОХ в точке B(К)(х1; 0), где х1 – корень квадратного уравнения (Рис. 7).

  3. Если SА < SК, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения (Рис. 8). [2]

IX способ:Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначных таблиц Брадиса» [3]

Таблица XXII: Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. (Рис. 9).

Рис. 9

X способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.[4]

Пусть P(x) = ax2 + bx + c.

Теорема Безу: Остаток при делении многочлена P(x) на многочлен х – а равен значению этого многочлена при х = а, то есть P(а).

Разложение на множители с помощью угадывания корней:

Из теоремы Безу следует, что многочлен P(x) делится без остатка на многочлен х – а тогда и только тогда, когда Р(а) = 0. Поэтому для разложения многочлена P(x) на множители достаточно угадать какой-нибудь кореньa уравнения P(x)=0 и разделить P(x) на x−a, тем самым разложив его на два множителя.

Итак, что дает нам Теорема Безу?

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена и искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0.

Для этого надо:

  1. Найти делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а.

  2. Найти делители трехчлена : ±с, ±с/а

  3. Подставитьих в левую часть уравнения и проверить будет лиP(x)=0, если да, то х = корень уравненияax2 + bx + c = 0

  4. Разделим ax2 + bx + cна (х - )

  5. Остается решить уравнение: Q(x) = 0.

Этьен Безу (1730 - 1783)- французский математик. (Рис. 10).

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре. Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося.[5]

Рис. 10

В практической части исследования я для чистоты эксперимента рассмотрела все способы на примере решения 6 уравнений.Сначала я решила данные уравнения способами, которые есть в учебнике. Практическая часть находится в приложении.

2. Результаты исследования

В ходе исследовательской работы была проведена самостоятельная работа среди моих одноклассников, целью которой было выявить, какими способами решения квадратного уравнения они владеют. Им было предложено решить 6 данных квадратных уравнений.

Результаты проверки показали, что большая часть тестируемых, находили корни уравнений с помощью общей формулы корней. Таких учащихся оказалось порядка 90%. Из них, формулу для четного коэффициента применили, только 40%.С помощью теоремы Виета корни приведенных уравнений нашли – 10% учащихся, а другими способами –0 % .

На следующем этапе моей работы я продемонстрировала с помощью презентации результаты моей исследовательской работы.

Проделанная мной работа заинтересовала учащихся. Я попросила дать характеристику способов решения квадратного уравнения по таким критериям, как:

  1. сложность;

  2. рациональность;

  3. трудоёмкость;

  4. красота.

Далее попросила заполнить таблицу. Результаты внесены в таблицу №1.

Таблица 1:

Способ:

Критерии:

Сложный

Рациональный

Трудоёмкий

Математически красивый

Решение квадратных уравнений по формуле

0

19

0

9

Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета

5

6

7

5

Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов

1

16

2

5

Решение квадратного уравнения графическим способом

5

3

14

4

Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки

13

0

14

0

Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата

16

0

9

1

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

15

2

9

1

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

10

2

8

8

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

1

10

1

15

Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу

10

4

10

3

По результатам практической работы каждый из участников эксперимента определил, что наиболее сложными для них оказались следующие способы:

  • Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

  • Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

  • Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

  • Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  • Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Самые рациональные способы решения следующие:

  • Решение квадратных уравнений по формуле.

  • Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

  • Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Самые трудоёмкие:

  • «Решение квадратного уравнения графическим способом».

  • Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  • Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

  • Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

  • Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Самый красивый:

  • Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

На следующем этапе им было предложено решить одно уравнение:

2 + 5х + 2=0,

любым способом из тех, которые не изучаются в школьном курсе:

  • решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки,

  • решение квадратных уравнений с помощью номограммы,

решение квадратных уравнений, используя теорему Безу,

  • решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

Или решить сложными способами, такими как:

  • решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки;

  • решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата,

которые мы изучали, но не применяем для нахождения корней квадратного уравнения.

Образец решения всеми способами на примере одного уравнения, был у каждого на парте.

В итоге, все решали способом: «Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки». И далеко не у всех получилось с первого раза.

Вывод, в силу своей сложности и нерациональности, данные способы не применяют для нахождения корней квадратного уравнения.

3. «Плюсы» и «минусы» различных способов решения

Я составила таблицу, в которой выписала плюсы и минусы данных способов. Результаты находятся в таблице №2.

Таблица 2:

Способ

Плюсы

Минусы

Решение квадратных уравнений по формуле

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

Можно забыть формулы.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть целые корни уравнения.

Легко находятся только целые корни. Решать этим способом легко только приведенные квадратные уравнения.

Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов

Не требует особых усилий, главное помнить свойства.

Подходит только к некоторым уравнениям

Решение квадратного уравнения графическим способом

Наглядный красивый способ.

Могут быть не точности при составлении графиков и нахождении корней уравнения.

Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки

Дает возможность повторить формулы сокращенного умножения.

Нужно правильно увидеть слагаемые для группировки, а также правильно применить ФСУ.

Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата

Я плюсов не увидела.

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

Я плюсов не увидела.

Легко найти только целые корни, потому что применяется совместно с теоремой Виета.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Я плюсов не увидела. Мне он показался самым тяжелым

Могут быть не точности. Этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов решения

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Наглядный способ и прост в применении, когда оба корня квадратного уравнения положительны.

Не всегда под рукой имеется номограмма. Не просто найти корни, если один из них положительный, а другой отрицательный или, когда оба отрицательные.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу

При решении квадратного уравнения плюсов не увидела.

Трудоёмкий, очень много действий. Нужно знать теорему и как её применять.

Заключение

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения 10 способами. В результате выполнения работы мной были изучены новые способы, такие как:

  • Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

  • Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  • Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

  • Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Я познакомилась с теоремой Безу, научилась делить многочлен на многочлен.

Подводя итоги можно сказать, что каждый из изученных способов имеет как положительные стороны, так и недостатки. Моя гипотеза подтвердилась, мне стало понятно, почему не применяют другие способы. Так как эти способы трудоёмки и не всегда точны. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе:

  • Решение квадратных уравнений по формуле.

  • Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

  • Используя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

В итоге, моя подруга выучила формулы для нахождения корней квадратного уравнения, через дискриминант, потому что этот способ подходит ко всем квадратным уравнениям. Он оказался для нее самым простым в применении!

Мне самой, больше всего нравится решать квадратные уравнения, используя свойства коэффициентов, если их можно применить, а также, используя теорему Виета.

Я надеюсь, что моя работа может послужить неплохим справочным материалом при решении квадратных уравнений.

Источники информации

  1. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/eea8efa4-e109-43b9-b7fe-b1b7c276c141/view/

  2. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

  3. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990

  4. http://foxford.ru/wiki/matematika/teorema-bezu

  5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%83,_%D0%AD%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%BD

  6. Макарычев Ю. Н. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1:

Практическая часть

I способ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Уравнение:

Решение:

Ответ

1

2 + 8х - 13=0

а = 5, b = 8, с = - 13, к = 4

D = к2 - ac = 42 - 5 • (-13) = 16 + 65=81,

D > 0, два различных корня;

х1 = (-4 + 9) / 5 = 1, х2 = (-4 - 9) / 5 = -2,6.

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

а = 1, b = -2, с = - 3, к = -1

D = к2 - ac = (-1)2 - 1 • (-3) = 1+3=4,

D > 0, два различных корня;

х1 = (1 + 2) / 1 = 3, х2 = (1 - 2) / 1 = -1

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

а = 2, b = 5, c = 2

D=b2 - 4ac=52 - 4 • 2 • 2 = 25 – 16 = 9,

D > 0, два различных корня;

х1 = (-5 + 3) / 4 = -0,5

х2 = (-5 - 3) / 4 = -2

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

а = 1, b = 10, c = -24, к = 5

D = к2 - ac =52 – 1 • (-24)=25 + 24 = 49,

D > 0, два различных корня;

х1 = (-5 + 7) / 1 = 2, х2 = (-5 - 7) / 1 = -12

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

а = 1, b = -6, c = 9, к = -3

D = к2 - ac = 32 - 1 • 9 =18 – 18 = 0

D = 0, один корень;

х = 3/ 1 = 3

3

6

2 + 2х +5 = 0

а = 4, b = 2, c = 5, к = 1

D = к2 - ac =12- 4 • 5 =1 - 20= -19

D < 0, корней нет

Нет корней

II способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета.

Уравнение:

Решение:

Ответ:

1

2 + 8х - 13=0

а = 5, b = 8, с = - 13

x1+x2 = -b/ax1+x2=-8/5 x1+x2=-1,6 x1 = 1

x1x2 = c/a x1x2 =-13/5 x1x2 =-2,6 x2=-2,6

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

р = -2, q = -3

x1+x2 = -p x1+x2=2 x1 = -1

x1x2 = q x1x2 =-3 x2 = 3

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

а = 2, b = 5, c = 2

x1+x2 = -b/a x1+x2 =-5/2 x1+x2=-2,5 x1 = -2

x1x2 =c/a x1x2 =2/2 x1x2 =1 x2 = -0,5

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

р = 10, q = -24

x1+x2=-p x1+x2 = -10 x1=-12

x1x2 =q x1x2 = -24 x2 = 2

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

р = -6, q = 9

x1+x2 = -p x1+x2=6 x=3

x1x2 = q x1*x2=9

3

6

2 + 2х +5 = 0

а = 4, b = 2, c = 5

x1+x2 = -b/ax1+x2=-2/4 x1+x2=-0,5 корней

x1x2 =c/a x1x2 = 5/4 x1x2 =1,25 нет

Нет корней

III способ: Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Уравнение:

Решение:

Ответ:

1

2 + 8х - 13=0

Еслиа + b + с = 0, тох1 = 1, х2 = с/а.

Проверим: 5 + 8 – 13 = 0, то х1 = 1, х2 = с/а= - 13/5 =- 2,6

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

Еслиа + с = b, тох1 = -1, х2 = - с/а.

Проверим:1 - 3 = -2, то х1 = -1, х2 = -с/а=3/1=3

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

Это уравнение вида:ax2 + (а2 + 1)x + а = 0, то х1 = -а, х2 = - 1/а.

Проверим:2 + (22 + 1)х + 2=0

Тогда х1 = -2, х2 = - 1/2.

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

В данном уравнении данный способ применить нельзя.

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

В данном уравнении данный способ применить нельзя.

3

6

2 + 2х +5 = 0

В данном уравнении данный способ применить нельзя.

Нет корней

IV способ:Решение квадратного уравнения графическим способом.

1:5х2 + 8х - 13=0

Решение:

График:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=5 и получим:

х2 + 1,6х – 2,6=0

  • Запишем уравнение в виде

х2 = -1,6х + 2,6.

  • Построим параболу у = х2 и прямую у =-1,6х + 2,6.

  • Прямую у =-1,6х + 2,6 построим по двум точкам:

х

1

-4

у

1

9

  • Прямая и парабола пересекаются в двух точках с абсциссами х1 = - 2,6 и х2 = 1.

Ответ: – 2,6; 1.

 

2:х2 - 2х - 3=0

Решение:

График:

  • Запишем уравнение в виде

х2 = 2х + 3.

  • Построим параболу у = х2и прямую у = 2х + 3.

  • Прямую у = 2х + 3 построим по двум точкам:

х

0

1

у

3

5

  • Прямая и парабола пересекаются в двух точках сабсциссами х1 = -1 и х2 = 3.

Ответ: – 1; 3.

 

3:2 + 5х + 2=0

Решение:

График:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=2 и получим:

х2 + 2,5х + 1 =0

  • Запишем уравнение в виде

х2 = -2,5х - 1.

  • Построим параболу у = х2 и прямую у =-2,5х - 1.

  • Прямую у =-2,5х - 1 построим по двум точкам:

х

0

-2

у

-1

4

  • Прямая и парабола пересекаются в двух точках с абсциссами х1 = - 2 и х2 = -0,5.

Ответ: – 2; -0,5.

 

4: х2 + 10х – 24 = 0

Решение:

График:

  • Запишем уравнение в виде

х2 = -10х + 24.

  • Построим параболу у = х2 и прямую у =-10х + 24.

  • Прямую у =-10х + 24 построим по двум точкам:

х

0

-6

у

24

84

  • Прямая и парабола пересекаются в двух точках с абсциссами х1 = - 12 и х2 = 2.

Ответ: – 12; 2.

 

5:х2 - 6х + 9 = 0

Решение:

График:

  • Запишем уравнение в виде

х2 = 6х - 9.

  • Построим параболу у = х2 и прямую у =6х - 9.

  • Прямую у =6х - 9 построим по двум точкам:

х

1

2

у

-3

3

  • Прямая касается параболы в точке с абсциссой х = 3.

Ответ: 3.

 

6:4х2 + 2х +5 = 0

Решение:

График:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=4 и получим:

х2 + 0,5х + 1,25=0

  • Запишем уравнение в виде

х2 = -0,5х – 1,25.

  • Построим параболу у = х2 и прямую у =-0,5х – 1,25.

  • Прямую у =-0,5х – 1,25 построим по двум точкам:

х

0

-2,5

у

-1,25

0

  • Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

 

V способ: Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

Уравнение:

Решение:

Ответ:

1

2 + 8х - 13=0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

5х2 + 8х - 13= 5х2 - 5х + 13х - 13 = 5х(х - 1) + 13(х - 1)=

(х - 1)(5х + 13)

  • Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х - 1)(5х + 13) = 0

  • Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 1, а также при

х = -13/5. Это означает, что число 1 и – 2,6 являются корнями уравнения 5х2 + 8х -13=0.

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

х2 - 2х - 3= х2 - 3х + х - 3 =

х(х - 3) + 1(х - 3)=(х - 3)(х + 1)

  • Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х - 3)(х + 1) = 0

  • Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х =- 1, а также при

х = 3. Это означает, что число -1 и 3 являются корнями уравнения х2 - 2х - 3=0.

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

2х2 + 5х + 2= 2х2 + 4х + х + 2 = 2х(х + 2) + 1(х +2)=

(х + 2)(2х + 1)

  • Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(2х + 1)= 0

  • Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = -2, а также при

  • х = -0,5. Это означает, что число -2 и – 0,5 являются корнями уравнения 2х2 + 5х + 2=0.

-2; -0,5

4

х2 + 10х - 24 = 0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 =

х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2).

  • Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

  • Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль прих = 2, а также при

х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24= 0.

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

х2 - 6х + 9 = х2 - 3х - 3х + 9 =

х(х - 3) - 3(х - 3) = (х - 3)(х - 3) = (х - 3) 2 .

  • Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х - 3) 2 = 0

  • Так как квадрат числа равен нулю, тогда и только тогда, когда само число равно нулю, поэтому левая часть уравнения обращается в нуль прих = 3. Это означает, что число 3является корнем уравнения

х2 - 6х + 9 = 0.

3

6

2 + 2х +5 = 0

  • Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки:

2 + 2х + 5 = 4х2 + 4х - 2х + 5 =

4х(х + 1) - 2(х – 2,5) .

  • Следовательно, уравнение нельзя разложить на множители.

  • Это означает, что уравнение 4х2 + 2х + 5 = 0, не имеет корней

Нет корней

VI способ:Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

Уравнение

Решение

Ответ

1

2 + 8х - 13=0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение 2 + 8х в следующем виде:

2 + 8х = (√5 х)2 + 2• √5 х • 4/√5.

  • В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа √5х, а второе – удвоенное произведение √5х на 4/√5. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить (4/√5)2, так как

(√5 х)2 + 2• √5 х • 4/√5 + (4/√5)2= (√5 х - 4/√5)2.

  • Преобразуем теперь левую часть уравнения 2 + 8х - 13=0, прибавляя к ней и вычитая (4/√5)2. Имеем: 5х2 + 8х - 13= (√5 х)2 + 2• √5 х • 4/√5+ (4/√5)2 - (4/√5)2 - 13 = (√5 х + 4/√5)2- 81/5.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(√5 х + 4/√5)2- 81/5=0,

(√5х + 4/√5)2 = 81/5

Следовательно,

5 х + 4/√5 = - 9/√5

5 х = -13/√5

5 х = -13/5

х1 = -2,6,

или √5 х + 4/√5 = 9/√5,

5 х =5/√5

х2 = 1.

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 - 2х в следующем виде: х2 - 2х = х2 - 2• х • 1.

  • В полученном выражении уменьшаемое – квадрат числа х, а вычитаемое – удвоенное произведение х на 1. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 12, так как

х2 - 2• х • 1 + 12 = (х - 1)2.

  • Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 - 2х - 3= 0, прибавляя к ней и вычитая 12. Имеем:

х2 - 2х - 3= х2 - 2• х •1 + 12 - 12 - 3 = (х - 1)2 - 4.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х - 1)2 - 4 = 0,

(х - 1)2 = 4

Следовательно,

х - 1 = -2, х1 = -1,

или

х - 1 = 2, х2 = 3.

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение 2х2 + 5х в следующем виде:

2 + 5х = (√2 х)2 + 2• √2 х • 2,5/√2.

  • В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа √2х, а второе – удвоенное произведение √2х на 2,5/√2. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить (2,5/√2)2, так как

(√2 х)2 + 2• √2 х • 2,5/√2 + (2,5/√2)2= (√2 х – 2,5/√2)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения 2х2 + 5х + 2=0, прибавляя к ней и вычитая (2,5/√2)2. Имеем: (√2 х)2 + 2• √2 х • 2,5/√2 + (2,5/√2)2- (2,5/√2)2 + 2 = (√2 х – 2,5/√2)2 - 2,25/2= (√2 х + 2,5/√2)2- 2,25/2.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(√2 х + 2,5/√2)2- - 2,25/2=0,

(√2 х + 2,5/√2)2= 2,25/2

Следовательно,

2 х + 2,5/√2 = -1,5 /√2

2 х = -4/√2

х1 = -2,

2 х + 2,5/√2 = 1,5 /√2

2 х = -1/√2

х2 = -0,5

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 10х в следующем виде:

х2 + 10х = х2 + 2• х • 5.

  • В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 5. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 52, так как

х2 + 2• х • 5 + 52 = (х + 5)2.

  • Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 10х – 24 = 0, прибавляя к ней и вычитая 52. Имеем: х2 +10х – 24 = х2 + 2• х • 5 + 52 - 52 - 24 = (х + 5)2 - 25 - 24 = (х +5)2 - 49.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 5)2 - 49 =0,

(х + 5)2 = 49. Следовательно,

х + 5 = -7, х1 = -12,

или х + 5 = 7, х2 = 2.

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 - 6х в следующем виде: х2 - 6х = х2 - 2• х • 3.

  • В полученном выражении уменьшаемое – квадрат числа х, а вычитаемое – удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить312, так как

х2 - 2• х • 3 +32 = (х - 3)2.

  • Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 - 6х + 9= 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 - 6х + 9= х2 - 2• х •3 + 32 - 32 + 9 = (х - 3)2 + 0.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х - 3)2 = 0,

Следовательно,

х - 3 = 0, х = 3.

3

6

2 + 2х +5 = 0

  • Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение 2 + 2х в следующем виде:

2 + 2х = (2х)2 + 2• 2 х • 1/2.

  • В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа , а второе – удвоенное произведение на 1/2. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить (1/2)2, так как

(2 х)2 + 2• 2 х • 1/2 + (1/2)2= (2х + 1/2)2.

  • Преобразуем теперь левую часть уравнения 2 + 2х + 5=0, прибавляя к ней и вычитая (1/2)2. Имеем: 2 + 2х +5= (2х)2 + 2• 2 х • 1/2+ (1/2)2 - (1/2)2 +5 = (2х + 1/2)2 + 19/4.

  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(2х + 1/2)2 + 19/4=0

(2х + 1/2)2 = -19/4

Следовательно, уравнение не имеет корней.

Нет корней

VII способ: Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

Уравнение:

Решение:

Ответ:

1

2 + 8х - 13=0

Умножим обе части уравнения 2 + 8х - 13=0, на 5, получим52х2+5*8х-13*5

Пусть5х=у,тогдах = у/5, получим уравнение

  • у2+8у-65=0, р = 8, q = -65

у12=-p у12 = -8 у1=-13

у1у2 =q у1у2 = -65 у2 = 5

Тогда, х1 = у1/5 = - 2,6 и х2 = у2/5 = 1.

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

Так как а = 1, то при умножении уравнения на 1 получается тоже уравнение, поэтому этот способ здесь не имеет смысла применять.

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

  • Умножим обе части уравнения 2 + 5х + 2=0на 2, получим22х2 + 10х + 4=0.

  • Пусть2х=у,тогдах = у/2,получим уравнениеy2+5y+4=0, р = 5, q = 4

у12=-p у12 = -10 у1=-1

у1у2 =q у1у2 = -24 у2 = -4

  • Тогда, х1 = у1/2 = - 0,5 и х2 = у2/2 = -2.

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

Так как а = 1, то при умножении уравнения на 1 получается тоже уравнение, поэтому этот способ здесь не имеет смысла применять.

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

Так как а = 1, то при умножении уравнения на 1 получается тоже уравнение, поэтому этот способ здесь не имеет смысла применять.

3

6

2 + 2х +5 = 0

  • Умножим обе части уравнения 2 + 2х +5 = 0,

на 4, получим42х2+4*2х+4*5 = 0

  • Пусть4х=у,тогдах = у/4,получим уравнениеу2+2у+20=0, р = 2, q = 20

у12=-p у12 = -2

у1у2 =q у1у2 = 20

  • Таких чисел не существует

Нет корней

VIII способ:Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

1:5х2 + 8х - 13=0

Решение:

Построение:

  • Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = -0,8; у = -0,8

  • Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

  • Абсциссы х1 = - 2,6 и х2 = 1точек пересечения В и С этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения

Ответ: – 2,6; 1.

 

2:х2 - 2х - 3=0

Решение:

Построение:

  • Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = 1; у = -1

  • Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

  • Абсциссы х1 = - 1 и х2 = 3точек пересечения В и С этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения

Ответ: – 1; 3.

 

3:2 + 5х + 2=0

Решение:

Построение:

  • Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = -1,25 ; у = 1

  • Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

  • Абсциссы х1 = - 2 и х2 = -0,5точек пересечения В и С этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения

Ответ: – 2; -0,5.

 

4: х2 + 10х – 24 = 0

Решение:

Построение:

  • Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = -5; у = -11,5

  • Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

  • Абсциссы х1 = - 12 и х2 = 2точек пересечения В и С этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения

Ответ: – 12; 2.

 

5:х2 - 6х + 9 = 0

Решение:

Построение:

  • Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = 3; у =5

  • Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

  • Абсцисса х = 3точек пересечения В и С этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения

Ответ: 3.

 

6:4х2 + 2х +5 = 0

Решение:

Построение:

  1. Определим координаты точки S - центра окружности по формулам: х = -0,25; у = 1,25

  2. Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Радиус окружности меньше ординаты центра, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

 

IX способ:Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

1:5х2 + 8х - 13=0

Решение:

Номограмма:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=5 и получим:

х2 + 1,6х – 2,6=0, р= 1,6;q= -2,6.

  • На номограмме соединяемпрямой линиейр= 1,6иq= -2,6.

  • Номограмма дает положительный корень х1= 1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из -p, т.е. х2= -p-х1= -1,6 – 1 =-2,6.

Ответ: – 2,6; 1.

 

2:х2 - 2х - 3=0

Решение:

Номограмма:

р= -2,q= -3.

  • На номограмме соединяемпрямой линиейр= -2иq= -3.

  • Номограмма дает положительный корень х1= 3, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из -p, т.е. х2= -p-х1= -( - 2) - 3 =-1.

Ответ: – 1; 3.

 

3:2 + 5х + 2=0

Решение:

График:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=2 и получим:

х2 + 2,5х + 1=0

  • Выполним подстановку х= -t, получим уравнение t2 – 2,5t + 1 = 0, которое решаем посредством номограммы.

Номограмма дает положительные корни t1= 0,5 и t2= 2, а затем находим, х1 = -0,5, х2 = -2

Ответ: – 2; -0,5.

 

4: х2 + 10х – 24 = 0

Решение:

График:

  • Для уравнения х2 + 10х – 24 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы.

  • Выполним подстановку х= 5t, получим уравнение t2 + 2t - 0,96 = 0, которое решаем посредством номограммы.

  • Номограмма дает положительный корень t1= 0,4, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из -p, т.е. t2= -p-t1= -2 – 0,4 =-2,4.

откудах1 = 5t1 = 2 и х2 = 5t2 = -12.

Ответ: – 12; 2.

 

5:х2 - 6х + 9 = 0

Решение:

График:

  • На номограмме соединяемпрямой линиейр= -6иq= 9.

  • Номограмма дает единственный корень х1= 3,

Ответ: 3.

 

6:4х2 + 2х +5 = 0

Решение:

График:

  • Разделим уравнение на коэффициент а=4 и получим:

х2 + 0,5х + 1,25=0

р= 0,5;q= 1,25.

  • На номограмме соединяемпрямой линиейр= 0,5иq= 1,25.

  • Прямая не имеет точек пересечения с криволинейной шкалой номограммы.

Ответ: нет корней.

 

X способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Уравнение:

Решение:

Ответ:

1

2 + 8х - 13=0

  • Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:

Делители числа -13: ±1, ±13

Делители числа 5: ±1, ±5

Делители трехчлена: ±1, ±13, ±1/5, ±13/5

  • Подставим х = - 13/5 в левую часть уравнения, получим, что 5• (-13/5)2 + 8 • (-13/5) – 13 = 169/5 – 104/5 – 13 = 65/5 – 13 = 0, значит х = -13/5 корень уравнения2 + 8х – 13 = 0

  • Разделим 2 + 8х – 13на (5х +13)

  • Остается решить уравнение: х – 1 =0, х = 1

2,6; 1.

2

х2 - 2х - 3=0

  • Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:

Делители числа 3: ±1, ±3

Делители числа 1: ±1

Делители трехчлена: ±1, ±3

  • Подставим х = 3 в левую часть уравнения, получим, что 9 – 6 – 3 = 0, значит х = 3 корень уравнения х2 - 2х - 3=0

  • Разделим х2 - 2х – 3на(х - 3)

  • Остается решить уравнение: х + 1 =0, х = -1

1; 3.

3

2 + 5х + 2=0

  • Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:

Делители числа 2: ±1, ±2

Делители числа 2: ±1, ±2

Делители трехчлена: ±1, ±2, ±1/2

  • Подставим х = -0,5 в левую часть уравнения, получим, что 0,5 – 2,5 +2 = 0, значит х = 0,5 корень уравнения2 + 5х + 2=0

  • Разделим2 + 5х + 2 на(2х + 1)

  • Остается решить уравнение: х + 2 =0, х = -2

-2; -0,5

4

х2 + 10х – 24 = 0

  • Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:

Делители числа -24: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Делители числа 1: ±1

  • Делители трехчлена: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

  • Подставим х = 2 в левую часть уравнения, получим, что 4 +20 - 24 = 0, значит х = 2 корень уравнения х2 + 10х – 24 = 0

  • Разделим х2 + 10х – 24на(х - 2)

  • Остается решить уравнение: х + 12 =0, х = -12

12; 2.

5

х2 - 6х + 9 = 0

  • Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:

Делители числа 9: ±1, ±3, ±9

Делители числа 1: ±1

  • Делители трехчлена: ±1, ±3, ±9

  • Подставим х = 3 в левую часть уравнения, получим, что 9 - 18 + 9 = 0, значит х = 3 корень х2 - 6х + 9 = 0

  • Разделим х2 - 6х + 9 на(х - 3)

  • Остается решить уравнение: х - 3 =0, х = 3

3

6

2 + 2х +5 = 0

  • В данном уравнении данный способ применить нельзя.

Нет корней