III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МЕТОД ЛИНЕЙНОГО СПЛАЙНА
Балашова К.Е.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Построение графиков функций – одна из самых сложных тем в математике. Крупнейший математик нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы». Основы решения уравнений с модулями были получены в 6-ом – 7-ом классах. Знак модуля в уравнениях прямых преобразует график. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также знать и понимать определение модуля числа.

В школьном курсе алгебры 7 класса графики с модулем рассматриваются только в разделе «Для тех, кто хочет знать больше», именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственное исследование. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться строить графики с модулем методом линейного сплайна1.

Актуальность исследовательской работы определяется в связи с недостатком теоретического материала и практических задач, связанных с построением графиков с модулем в школьном курсе алгебры, а также с целью формирования определённых знаний для подготовки к обучению в профильных классах.

Цель исследования заключается в изучении применении метода линейного сплайна к построению графиков линейных функции с модулем.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

  1. подобрать и изучить теоретический материал по теме;

  2. показать применение метода линейного сплайна при построение линейных графиков функций;

  3. провести мастер - класс для учащихся 9 классов.

В качестве гипотезы выступает предложение, о том, что знание метода линейного сплайна дает возможность сократить время на построение графиков линейной функции с модулем и значительно уменьшить вероятность ошибки.

Процедура исследования состояла из следующих этапов:

  1. Алгоритмы построения графиков с модулем.

  2. Определение линейного сплайна.

  3. Практическое применение метода линейного сплайна.

В качестве методов исследования применялись: работа с источниками информации, анализ (статистическая обработка данных), практические работы.

Объект исследования – линейные графики функции, линейные графики функции содержащие модуль.

Предмет исследования – процесс построения линейных графиков функции с модулем.

Изучение темы графиков содержащих модуль не новая, но применение нестандартного подхода вносит новизну висследование.

Практическая значимость: результаты, полученные в работе, как и сам метод исследования, можно применить на факультативных занятиях по математике.

ГЛАВА 1 АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ С МОДУЛЕМ

Функция 2– одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной  от переменной , при которой каждому значению переменной  соответствует единственное значение переменной . Способы задания функции:

  1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);

  2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы);

  3. описательный способ (функция задается словесным описанием);

  4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

  1.  
    1. Прямая пропорциональность

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой , где – независимая переменная, – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности. График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции :

  1. Область определения функции - множество всех действительных чисел.

  2. Переменные изменяются прямо пропорционально на всей числовой прямой: при возрастании аргумента функция пропорционально возрастает, при убывании аргумента функция пропорционально убывает.

Пример 1 (№ 300 , алгебра 7 класс, Ю.Н. [3]

Построить график прямой пропорциональности, заданной формулой:

,  (см. приложение 1)

Поскольку одна точка прямой, являющейся графиком функции , всегда известна, то достаточно найти еще одну ее точку. Удобнее всего взять точку с абсциссой. Тогда ордината этой точки , т.е. равна коэффициенту пропорциональности. Так, график функции  пройдет через точку , а график функции  — через точку .

Из сравнения этих двух графиков можно сделать следующие выводы:

  1. если  , то график проходит в четвертях ;

  2. если , то график проходит в четвертях  и .

  1.  
    1. Геометрические преобразования функций

График функции  –линейная функция - получается параллельным переносом графика функции  единиц вверх по оси  при  или на  единиц вниз по оси  при .

Пример 2 (№ 319 , алгебра 7 класс, Ю.Н. [3]

Построить график, заданной формулой:

,  (см. приложение 2)

Поскольку одна точка прямой, являющейся графиком функции , всегда известна (0), то достаточно найти еще одну ее точку. угол наклона прямой – острый. А теперь посмотрим, как изменится график линейной функции , если  , здесь угол прямой линии  – тупой.

Из сравнения этих двух графиков можно сделать следующие выводы: если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

  1.  
    1. Графики линейных функций с модулями

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений. Считают, что термин предложил использовать Котс3, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом. Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях. В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения. В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления...

В математике модуль имеет несколько значений, но мы будем рассматривать его как абсолютную величину числа.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа  называется само это число , если оно неотрицательно, и противоположное число , если число  отрицательно.

При построении графиков функций, содержащих знак модуля, применяются те же приемы, что и при решении уравнений с модулем.

Также при построении графика функции можно воспользоваться геометрическими преобразованиями.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций, опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y, отобразить симметрично оси . Это вытекает из определения модуля числа.

Пример 3 Построить график функции  (см. приложение 3)Раскроем знак модуля согласно его определению:

,

.

Таким образом, искомый график совпадает с графиком функции  при  и с графиком функции  при .

Заметим, что при построении графика функции  часть графика , лежащая ниже оси абсцисс, зеркально отражается относительно этой оси.

Пример 4 Постройте график функции .

Раскроем модуль по определению

Построим график. (см. приложение 4)

Вывод: проанализировав приемы, с помощью которых можно строить графики данного типа, пришли к выводу, что задания на построение графиков - это одна из самых трудных тем математики.

ГЛАВА 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО СПЛАЙНА 2.1 Построение графиков функций, содержащих модуль, методом линейного сплайна

Пусть заданы  – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв. Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию. Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами:

Пример 5

(см. приложение 5)

Функции, подобные тем, что сейчас называют сплайнами, были известны математикам давно, начиная как минимум с Эйлера, но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века. В 1946 году Исаак Шёнберг4 впервые употребил этот термин.

Любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать формулой вида – числа.

Графиком рассматриваемой функции является ломаная. Для ее построения достаточно знать все ее вершины и по одной точке на левом и правом бесконечных звеньях. Поэтому можно строить графики функций такого вида без раскрытия модулей, достаточно составить таблицу (см. приложение 6), где и – произвольные значения, такие, что < и > …,–точки смены формул, …– значения функции в этих точках. Все точки наносятся на координатную плоскость, последовательно соединяются отрезками, два крайних звена – лучи.

Приведем еще несколько примеров построения графиков функций с использованием метода линейного сплайна, выполненные нами. Применим этот способ.

Пример 6 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .

, 

, , 

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 7)

Пример 7 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .

, 

, 

, 

, 

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 8)

Вывод: При изучении литературы по данной теме узнали:

  1. что называется линейным сплайном;

  2. кем впервые он был предложен;

  3. как строить графики, используя этот метод.

ГЛАВА 3 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛИНЕЙНОГО СПЛАЙНА

Для подтверждения гипотезы и выполнения, поставленных нами задач была проведена статистическая обработка данных на базе ГБОУ ООШ №2 п.г.т. Новосемейкино. Мы попытались выяснить, как обстоят дела с выполнением 23 задания учащимися 9А, 9Б классов нашей школы. Прежде всего, обработали информацию, которую нам предоставил завуч школы, результаты пробных тестирований.

Нас интересовало сколько раз в кимах встречаются графики с модулем, а именно линейные и сколько учащихся справилось с данным заданием. (см. приложение 9)

Всего в сентябре выполняли работу 36 учащихся из них 3 человека – 8,3% выполнили 23 задание, с модулем было 16 заданий, из них 5 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 31,25%. В октябре работу выполняли 35 учащихся из них 3 человека выполнили 23 задание – 8,6%, заданий с модулем было 17 из них 3 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 17,65%. В ноябре выполняли работу 36 учащихся из них 2 человека – 5,6% выполнили 23 задание, с модулем было 20 заданий, из них 6 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 30%. В декабре выполняли работу 36 учащихся из них 2 человека – 5,6% выполнили 23 задание, с модулем было 19 заданий, из них 4 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 21,05%. В январе выполняли работу 36 учащихся из них 3 человека – 8,3% выполнили 23 задание, с модулем было 16 заданий, из них 5 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 31,25%. В феврале выполняли работу 34 учащихся из них 3 человека – 8,8% выполнили 23 задание, с модулем было 18 заданий, из них 3 заданий на построение графиков с линейным модулем, что составляет 16,67%.

Проводимое исследование показало, что многие старшеклассники даже не начинают выполнять 23 задание, так как считаю его очень сложным, тем более построение графиков с модулем.

Для построения графиков с линейным модулем, мы предложили использовать алгоритм:

  1. Найдем нули каждого подмодульного выражения.

  2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа.

  3. Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.

Для отработки метода линейного сплайна девятиклассникам были предложены следующие задания, взятые из супертренинга по математике за 2017 год, автора Л.Д. Лаппо, М.А. Попова.[2]

Пример 8 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .





 Составим таблицу и построим график. (см. приложение 10)

Пример 9 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .





Составим таблицу и построим график. (см. приложение 11)

Пример 10 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: 

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 12)

Пример 11 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 13)

Пример 12 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 14)

Пример 13 По­строй­те гра­фик функ­ции 

Точки смены формул: .

Составим таблицу и построим график. (см. приложение 15)

Вывод: анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что применение метода линейного сплайна способствует, быстрому построению графиков, что значительно ускоряет выполнение задания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над проектом решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

  1. На основе выполненной работы проведён анализ пробных кимов по математике. Анализируя данные можно сделать вывод, что линейная функция с модулем встречается 3-6 заданий из 36 тестов, это от 17,65 до 30 . (см. приложение 8)

  2. Подобран и изучен теоретический материал по теме.

  3. Показан прием применения метода линейного сплайна при построение графиков функций.

  4. Были построены самостоятельно графики.

  5. Проведен мастер - класс, в ходе которого подтверждена гипотеза, о том, что знание метода линейного сплайна дает возможность сократить время на построение графиков линейной функции с модулем и значительно уменьшить вероятность ошибки.

  6. Расширила свой математический кругозор и заглянула за рамки школьной программы. Работа над данной темой доставила мне не только трудности, но и удовольствие.

При изучении литературы по данной теме я встретилась не только с линейной функции с модулем, но квадратичной, дробно – рациональной функцией с модулем. Очень хотелось бы найти какой-нибудь нетрадиционный способ построения данных графиков, а значит, есть место для творчества при изучении темы функции с модулем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2007

  2. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов: Супертренинг. Тематические тестовые задания. 2017. М.: издательство Экзамен , 2017-71.

  3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2009

  4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B9%D0%BD

  5. http://scicenter.online/informatsionnyie-sistemy/splayn-funktsii-64329.html

  6. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D1%81,_%D0%A0%D0%BE%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D1%80

  7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%91%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3,_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Построить график прямой пропорциональности, заданной формулой:

, 

Приложение 2

Построить график, заданной формулой:

, 

Приложение 3

Построить график функции 

Приложение 4

Постройте график функции 

x

-6

-3

 

x

-3

0

Y

3

0

Y

0

3

Приложение 5

Постройте график функции

Приложение 6

Таблица графика функций

x

x0

x1

x2

x n

xn+1

y

y0

y 1

y2

yn

yn+1

Приложение 7

По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

-4

-2

2

4

Y

8

4

4

8

-4

-2

2

4

 

Приложение 8 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

-2

-1

0

2

Y

-2

0

0

8

2

-2

-1

0

 

Приложение 9

Сравнительный анализ пробных тестирований

 

сентябрь

октябрь

ноябрь

декабрь

январь

февраль

Кол-во уч-ся

36

35

36

36

36

34

Кол-во уч-ся выпол. 23 зад.

3

3

2

2

3

3

% выпол. 23 зад.

8,3

8,6

5,6

5,6

8,3

8,8

Кол-во зад. с модулем

16

17

20

19

16

18

Кол-во зад. с лин. модулем

5

3

6

4

5

3

% зад. с лин. модулем

31,25

17,65

30,00

21,05

31,25

16,67

Диаграмма сравнительного анализа пробных тестирований

Приложение 10 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

-2

0

2

4

Y

0

2

0

2

 

-2

0

2

4

 

Приложение 11 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

0

4

5

Y

11

7

8

0

4

5

 

Приложение 12 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

0

 

5

Y

7

-4

0

0

5

 

Приложение 13 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

0

2,5

4

Y

-2

3

0

0

2,5

4

 

Приложение 14 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

-5

-4

2,5

3

Y

21

17

17

19

3

-5

-4

2,5

 

Приложение 15 По­строй­те гра­фик функ­ции 

x

0

   

2

Y

12

   

2

0

2

 

1 Сплайн (от англ. spline, от [flat] spline — гибкое лекало, гибкая плазовая рейка — полоса металла, используемая для черчения кривых линий) — функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом

2 Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

3 Роджер Котс (Roger Cotes; 10 июля 1682 — 5 июня 1716) — английский математик и философ.

4 Якоб Исаак Шёнберг (англ. IsaacJacobSchoenberg; 21 апреля 1903, Галац — 21 февраля 1990 года) — румынский и американский математик, известный, прежде всего, открытием сплайнов.