III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕНТРОВ СЛОЖНЫХ ФИГУР
Сенагатуллина А.К.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение.

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.» Эти слова принадлежат М.И. Калинину.

И действительно, это так, на сегодняшний день, в век инновационных технологий эта крылатая фраза имеет еще большое значение в современной жизни человека. Лишь математика как самый надежный инструмент может представить истину познания человеку в абсолютно любой области.

Тема определения центров областей, губерний, республик не нова. Многие территориальные образования уже давно обзавелись стелами, памятными камнями, обозначающими географический центр. Над этим работали и студенты, и научные работники и обучающиеся школ. И я тоже задалась проблемой определения центра неправильной фигуры, в первую очередь методов, понятных и доступных для большинства обучающихся, также проверки этого метода всеми возможными способами, ну и конечно, определение самого центра, для исследования которого взяла город Нурлат.

Цель проекта: найти центр г. Нурлат

Задачи проекта:Рассмотреть приемы исследовательской деятельности, методы, формы и способы научного исследования, научного познания.Формировать мотивацию исследовательской деятельности.Формировать творческую активность.Развивать самостоятельность.

Ожидаемые результаты:

Узнать методы и приемы определения центра сложных фигур, в частности географического центра города Нурлат;ощутить себя в роли экспериментатора, провести простые, но поучительные опыты по определению центров различных фигур;

закрепить вычислительные навыки, навыки вычисления площадей геометрических фигур, что позволит успешно сдать экзамены по математике.

План работы:

1. Выбор направления и темы работы2. Постановка цели и задач3. Изучение теории4. Поиск и подготовка материалов5 Проверка точности теоретических вычислений опытным путем.

6. Выводы7. Оформление работы и Презентация.

Историческая справка

Центр тяжести - неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела.

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

У каждого предмета есть центр тяжести. Изучение этого свойства тел необходимо для понимания понятия равновесия тел, при решении конструкторских задач, расчете устойчивости сооружений и во многих других случаях.

Теоретическая часть

1. Понятие о центре тяжести

Каждое тело можно представить как систему материаль­ных частиц, взаимодействующих с Землей. Суммарный результат этого взаимодействия — равнодействующая эле­ментарных сил тяжести. Точка приложения этой равнодей­ствующей называется центром тяжести тела. По­скольку элементарные силы тяжести образуют систему параллельных сил, то центр тяжести обладает всеми свой­ствами центра параллельных сил. Следовательно, при лю­бом положении тела в пространстве положение центра тяжести остается неизменным.

2. Определение центра тяжести плоских фигур

Положение центра тяжести плоских фигур (т. е. весьма тонких тел) можно определить анали­тически и экспериментально.

Аналитически центр тяжести находится как центр параллельных сил. При этом возможны три случая:

фигура имеет две оси симметрии — центр тяжести нахо­дится на пересечении осей;

фигура имеет одну ось симметрии — центр тяжести лежит на этой оси, необходимо отыскать одну координату;

фигура не имеет осей симметрии — положение центра тяжести заранее неизвестно, надо определить две координаты.

Заданную фигуру разбивают на простейшие, положение центров тяжести которых вполне определенно, и затем подсчитывают искомые координаты по следующим формулам:

хс = ;

(1)

yc= ,

где х1, х2, …,хn и у1,,у2,…, уn – координаты центров тяжести простейших фигур;

S1, S2,…, Sn – площади простейших фигур.

3. Центр тяжести простых фигур

Отрезок – его середина;

Параллелограмм – точка пересечения диагоналей;

Треугольник – точка пересечения медиан;

Круг – его центр.

4. Центр тяжести сложной фигуры

Задача 1. Определить координаты цен­тра тяжести однородной пластинки, изобра­женной на рисунке, зная, чтоАН=2см, HG=1,5см, AB=3см, BK=10см, EF=4см, ED=2см.

Решение. Фигура не имеет осей симметрии, следовательно, для определения центра тяжести надо найти две его координаты. Проводим оси Ох и Оу и разби­ваем пластину на три прямоугольника: AHGL, LRKB и EDRF (линии разреза показаны на рисунке). Вычисляем коорди­наты центров тяжести каждого из прямоугольников и их пло­щади:

Для прямоугольника AHGL S1=AH∙HG; x1= ; y1=LB+.

Так как LB=AB-HG=3-1,5=1,5см, то S1=2∙1,5=3 см2; x1==1 см; y1= 1,5+=1,5+0,75=2,25 см .

Для прямоугольника LRKB S2=BK∙LB; x2= ; y2=,

т.е. S2=10∙1,5=15 см2; x2==5 см; y2==0,75 см.

Для прямоугольника EDRF S3=BD∙EF; x3=BK-; y3=LB+,

т.е. S3=2∙4=8 см2; x3=10-=9 см; y3= 1,5+=3,5 см.

По формулам (1) получаем:

Xc==5 см; Yc==1 см.

5. Координаты центра тяжести площади треугольника.

Разобьем площадь треуголь­ника ABD на бесконечно тонкие элемен­тарные полоски, параллельные основа­нию AB. Центр тяжести каж­дой такой полоски расположен в ее середине. Геометрическое ме­сто центров тяжести всех полосок есть медиана OE. На ней поэтому и должен ле­жать центр тяжести всего треугольника. Так как такое же рассуждение спра­ведливо и для двух других медиан, то центр тя­жести треугольника лежит в точке пересече­ния его медиан. При задании вершин треугольника их координатами получим

XC=(xA+xB+xD); (2)

YC=(yA+yB+yD)

Экспериментальный способ основан на том, что при любом положении тела линия действия силы тяжести проходит через центр тяжести и заключается в последова­тельном подвешивании тела (плоской фигуры) за любые две точки. На пересечении отвесов, проходящих через эти точки, и будет находиться центр тяжести. Проверить это можно, если на остриё карандаша поместить фигуру в найденном центре тяжести. Она окажется в равновесии.

Практическая часть.

Изначально был найден центр Нурлатского района, он находится вблизи села Тюрнясево. А я задумала найти центр города Нурлат. Сейчас эта тема достаточно популярна. Я в своей работе сделала возможным найти приблизительные координаты этого исторического места, и тем не менее считаю работу выполненной. Положительный момент, который мне помог в вычислениях - это относительно ровный ландшафт, а сложность в том, что конфигурация территории города извилистая. Не каждое территориальное образование имеет географический центр, например, центр территории России невозможно найти, т.к. она имеет острова и Калининградскую область, расположенные обособленно.

Перед началом работы я разобрала теоретические вопросы, изучила методы и приемы определения центра различных фигур. Опробовала эти методы на простейших фигурах, затем перешла к более сложным фигурам, центр тяжести которых определяется методом группировки.

Определение центра города Нурлат Нурлатского района республики Татарстан

1. Для определения границ Нурлата я воспользовалась генеральным планом-схемой, которая размещена на сайте Нурлатского муниципального района http://nurlat.tatarstan.ru/rus/generalniy-plan-goroda-nurlat.htm .(Рис.1)

2. Далее увеличенное изображение карты перенесла на миллиметровую бумагу, т.к. требовалась работа с координатами.(Рис.2)

3. Затем разбила территорию города на множество простейших фигур, координаты центров которых определить относительно легко.(Рис.2)

4. Затем по формулам, описанным выше, вычислила координаты центра.(см Таблица)

5. Для подтверждения результата я применила физические методы исследования, используя простейшие приемы из статики. Для этого я перенесла карту на плоский картон, вырезала изображение по контуру и проверила точку центра, используя метод подвесов и вертикальный упор. Все полученные результаты совпали. (см. Фото3,4)

Центром города Нурлат является точка, которая расположена в области железнодорожного вокзала.

Заключение.

Тема вынашивалась давно, но реализовать ее раньше не удавалось по причине того, что практически ежегодно вносились изменения в границы города. Сначала к территории города были присоединены близлежащие поселки Ключи, Верхний Нурлат, Нижний Нурлат, позже с выделением земельных участков для многодетных семей, к территории города были присоединены новые площади, которые изменили границы города. Последняя версия карты с границами нашего районного центра размещена на сайте Нурлатского муниципального района.

Методы, которые я использовала, с успехом можно применять для определения подобных точек различных территориальных образований. Ожидаемые результаты осуществлены.

Литература и информационные ресурсы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. Организаций/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.].- 2-еизд. – М.:Просвещение, 2014. – 383с.

2. Гольдин, И. И. Основные сведения по технической механике: Учеб.пособие для сред.ПТУ / И. И. Гольдин. - 3-е изд.,перераб.и доп. - М. : Высшая школа, 1986. - 96с.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki

4. http://nwpi-fsap.narod.ru/lists/statika/5.htm.

5.http://freemath.ru/publ/istorija_matematiki/vyskazyvanija_o_matematike/vyskazyvanija_o_matematike/19-1-0-36

Приложение

Рис.1 Рис.2

Таблица. Координаты центров и площади простейших фигур

i

xi

yi

Si

Xi∙Si

yi∙Si

Для прямоугольников

1

25

30

600

15000

18000

2

21,1

48,5

85,4

1801,94

4141,9

3

31,8

45,7

9,75

310,05

445,575

4

37,3

44,4

22,09

823,957

980,796

5

37,4

41

9,2

344,08

377,2

6

37,5

37,5

25

937,5

937,5

7

37,5

32,5

25

937,5

812,5

8

41

35,5

2

82

71

9

40,7

33,6

3,64

148,148

122,304

10

37,3

26,9

27,6

1029,48

742,44

11

35,8

23,5

1,5

53,7

35,25

12

36,3

20,8

11,7

424,71

243,36

13

39,25

22,25

0,25

9,8125

5,5625

14

38,4

20,8

3,52

135,168

73,216

15

38,9

19,1

3,12

121,368

59,592

16

38,5

11,75

94,5

3638,25

1110,375

17

43,7

12,1

27,06

1182,522

327,426

18

45,65

12,55

6,12

279,378

76,806

19

43

7

4

172

28

20

37

4,4

4,8

177,6

21,12

21

34,3

4,4

3,15

108,045

13,86

22

33

4,1

1,7

56,1

6,97

23

31,15

8,1

0,84

26,166

6,804

24

32,35

12,1

30,74

994,439

371,954

25

25,3

13,55

26,1

660,33

353,655

26

27,5

11,5

2,4

66

27,6

27

21,75

11,7

1,12

24,36

13,104

28

20,65

13,95

0,35

7,2275

4,8825

29

19,2

14,6

2,88

55,296

42,048

30

14,3

13,8

5,5

78,65

75,9

31

12,65

14,1

1,62

20,493

22,842

32

7,85

13,75

22

172,7

302,5

33

10,15

12,25

1,05

10,6575

12,8625

34

8

11,05

0,7

5,6

7,735

35

2,9

14,5

1,3

3,77

18,85

36

10

20

100

1000

2000

37

3,75

18

15

56,25

270

38

4

22

4

16

88

39

4,5

23,75

1,5

6,75

35,625

40

6,75

25,75

5,25

35,4375

135,1875

41

7,35

26,5

2,2

16,17

58,3

42

9,5

27,7

10,8

102,6

299,16

43

12,75

30

45

573,75

1350

44

12,5

40,3

52,5

656,25

2115,75

45

7,6

40,35

32,16

244,416

1297,656

46

8,9

34,25

4,65

41,385

159,2625

47

8,35

36

6,6

55,11

237,6

48

6,1

36,5

1,2

7,32

43,8

49

14,35

46,75

3,25

46,6375

151,9375

50

14,75

48,45

0,45

6,6375

21,8025

51

40

27,4

1,55

62

42,47

52

23,5

2,7

0,54

12,69

1,458

53

29,6

11,6

0,12

3,552

1,392

Для треугольников

1

27,63

47,3

45,5

1257,165

2152,15

2

28,4

46

0,225

6,39

10,35

3

39,8

43,7

0,72

28,656

31,464

4

39,8

40,66

0,6

23,88

24,396

5

40,66

37,33

4

162,64

149,32

6

41.5

34,6

0,36

14,94

12,456

7

41,6

32,73

0,72

29,952

23,5656

8

40,73

31,46

2,42

98,5666

76,1332

9

39.85

29,9

0,045

1,79325

1,3455

10

39,85

29,2

0,165

6,57525

4,818

11

40,43

28,8

0,385

15,56555

11,088

12

40,46

28,7

0,13

5,2598

3,731

13

40,63

27,13

0,78

31,6914

21,1614

14

40,26

27,66

0,3

12,078

8,298

15

39,86

25,73

0,125

4,9825

3,21625

16

39,83

25,03

0,28

11,1524

7,0084

17

39,3

24,93

0,09

3,537

2,2437

18

37,9

23,6

1,44

54,576

33,984

19

37

23,33

0,75

27,75

17,4975

20

37,7

22,66

0,15

5,655

3,399

21

39,3

21,76

0,105

4,1265

2,2848

22

39,3

21,23

0,135

5,3055

2,86605

23

39,4

19,33

0,21

8,274

4,0593

24

40,8

18,4

1,08

44,064

19,872

25

43,1

16,96

5,775

248,9025

97,944

26

45,86

15,46

0,935

42,8791

14,4551

27

47,8

12,83

6,15

293,97

78,9045

28

48,7

14,71

1

48,7

14,71

29

48,98

14,1

1,035

50,6943

14,5935

30

45,86

9,3

1,6

73,376

14,88

31

44,43

7,36

1,235

54,87105

9,0896

32

42,6

5,7

0,9

38,34

5,13

33

39,96

3,93

1,74

69,5478

6,8382

34

37,6

3,6

0,77

28,952

2,772

35

35.6

3,7

0,27

9,612

0,999

36

32,3

4

0,43

13,889

1,72

37

33,3

5,2

0,15

4,995

0,78

38

34,1

5,8

0,6

20,46

3,48

39

33,5

8

8,3

278,05

66,4

40

30,6

8,7

0,2

6,12

1,74

41

29,6

9,7

0,3

8,88

2,91

42

28,7

12

0,1

2,87

1,2

43

26,9

10,8

0,18

4,842

1,944

44

25,7

11,6

0,12

3,084

1,392

45

24,6

11,

1,53

37,638

16,83

46

23,4

1,7

0,29

6,786

0,493

47

22,6

11,9

0,18

4,068

2,142

48

21,9

11,2

0,17

3,723

1,904

49

20,9

13,4

0,12

2,508

1,608

50

17,8

14

0,39

6,942

5,46

51

17

14

0,98

16,66

13,72

52

16

14,2

2,25

36

31,95

53

14,2

12,4

0,36

5,112

4,464

54

4,4

12,3

0,25

1,1

3,075

55

11,3

11,8

0,18

2,034

2,124

56

8,6

11,2

0,12

1,032

1,344

57

8,4

11,8

0,9

7,56

10,62

58

8,1

12,1

1,38

11,178

16,698

59

3,3

13

0,45

1,485

5,85

60

2,4

15,9

0,54

1,296

8,586

61

5,7

21,4

0,17

0,969

3,638

62

3,7

23,4

0,54

1,998

12,636

63

4,7

25,1

0,81

3,807

20,331

64

5,6

26,6

0,24

1,344

6,384

65

8

28,1

1,23

9,84

34,563

66

10,4

36,5

0,62

6,448

22,63

67

9,7

33,3

0,21

2,037

6,993

68

7,2

34,5

0,49

3,528

16,905

69

6,5

35,7

0,3

1,95

10,71

70

5,4

36,7

0,18

0,972

6,606

71

5

41,4

1,35

6,75

55,89

72

4,9

42,9

0,88

4,312

37,752

73

8,4

44,3

4,47

37,548

198,021

74

12,5

46

2,59

32,375

119,14

75

14,3

48,3

0,3

4,29

14,49

Для окружностей

1

10,7

11,4

0,785

8,3995

8,949

2

12,7

12

0,785

9,9695

9,42

3

19,8

13,7

0,785

15,543

10,7545

Сумма

 

1473,8

36306,77

41894,16

Расчеты координат центра карты в рассмотренной системе координат

Фото 1 Фото 2.