III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
Салахова Г.Р.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Актуальность:

При подготовке к ЕГЭ я в основном пользуюсь материалами сайта Д. Гущина. При решении задач №14 часто требуется найти расстояние: от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми.

Иногда мне сложно ориентироваться в геометрических понятиях, теоремах, признаках или сделать нужные построения и поэтому мне проще выучить определенный набор формул и пользоваться одним алгоритмом.

Поэтому я исследовала алгоритм решения задач №14 основанный на приемах из аналитической геометрии, который не требует каких-либо построений, а является аналитическим.

Использование приемов из аналитической геометрии позволяет решать стереометрические задачи с наименьшими затратами времени. Я считаю, что умение решать такие задачи поможет мне успешно учиться в высшем учебном заведении.

Цель работы: изучение эффективных приемов решения стереометрических задач повышенной сложности.

Задачи работы:

повысить свой теоретический уровень знаний;

научиться применять координатно - векторный метод при решении различных стереометрических задач;

использовать приемы из аналитической геометрии;

развивать самостоятельность;

подготовить себя к успешной сдаче ЕГЭ.

Методы исследования:

Метод изучения информации.

Метод практического эксперимента.

Основная часть

1. Ознакомление с теоретическим материалом.

  1. Угол между векторами.

Угол между векторами и равен углу АОВ

, где ,- координаты векторов, между которыми надо найти угол.

  1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов {} и {} выражается формулой

=

  1. Задачи на вычисления углов между прямой и плоскостью.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости.

Нормалью к плоскости называется любой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к этой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

, где угол - угол между прямой и плоскостью, -вектор нормали к плоскости, } - направляющий вектор прямой.

  1. Определитель матрицы второго и третьего порядков.

Таблицу чисел называют (квадратной) матрицей 2-го порядка. Обозначим ее для краткости одной буквой А. Формула для вычисления определителя 2-го порядка имеет вид

А =

Эта таблица чисел называется квадратной матрицей 3-го порядка. Формула для вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеет вид

Схематически это правило может быть изображено следующим образом:

Еще способ вычисления определителя матрицы 3-го порядка.

  1. Уравнение плоскости в пространстве.

Ax + By + Cz + D = 0, где – координаты нормали к плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М0 ), M1), M2), которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М0 ), и два неколлинеарных вектора (), ():

A(x-) +B(y- ) + C(z-) = 0,

где A= , B = , C = . Полагая, D = - A получим Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости.

  1. Расстояние от точки до прямой.

Чтобы найти расстояние от точки М0 ) до прямой а в пространстве нужно:

  • определить координаты направляющего вектора прямой а и вычислить его длину;

  • получить координаты некоторой точки М1, лежащей на прямой а, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и и получить его длину;

  • вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле

ρ(М0, а) =

  1. Нахождение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки М0 ) до плоскости α, заданной уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, определяется по формуле ρ(М0, α) =

  1. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

  • определить координаты точек M1), M2), соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;

  • получить координаты и направляющих векторов и a и b соответственно;

  • вычислить расстояние по формуле - это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

2. Применение приемов аналитической геометрии при решении задач.

1.Расстояние от точки до прямой

№1. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой BD1.

Решение:

Введем систем координат, как показано на рисунке.

B(0;0;0), C(0;1;0), D1(1;1;1). 1 {1;1;1} =

ρ(C, BD1) =

= = -1 - 0 + 1

ρ (C, BD1) = = =

Ответ:

№2. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вая сто­ро­на ко­то­ро­го равна 6 а угол ACB равен 120°. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой B1C1, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро дан­ной приз­мы равно 12.

Решение: Введем систему координат с началом в точки O, как показано на рисунке.

О(0;0;0), A(0;9;0), B1(0; -9;12), C1(3;0; 12).

Пусть расстояние от точки A до пря­мой B1C1 равно ρ.

{3; 9; 0}, {0; -18; 12}

Ответ: 15

№3. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые рёбра равны 2, най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой SA.

Решение: Введем систему координат с началом в точки O, как показано на рисунке.

О(0;0;0), A(;0), C(0; 1; 0), S(0;0; )

Пусть расстояние от точки C до пря­мой SA равно .

{ }, {0;1;-}

Ответ:

  1. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

№4. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

Решение:

Введем систему координат с началом в точке О, как показано на рисунке.

О(0;0;0), А(0; ;0), А(0; ;0), А1(0; ;1), В(;0;0), С1(0; ; 1).

Пусть расстояние между скрещивающимися прямыми АА1 и ВС1 равно .

, {0;0;1}, {-;; 1}, {;; 0}.

= {-; - ; 0}, | | = = = 1

∙ = + 0 0 = = =

Ответ:

№5. Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми АL и МО, где L – середина ребра МС, О – центр грани АВС.

Решение:

Введем систему координат с началом в точки D, как показано на рисунке. D(0;0;0), A(0;;0), B(0;;0), C(; 0;0), O(; 0;0), M(; 0;), L(; 0;).

Пусть расстояние между скрещивающимися прямыми AL и OM равно ρ.

, {;; }, {0;0; }, {;; 0}.

Вычислим .

= 00 + + 0 – 0 – 00 - = =

|| =

ρ =

Ответ:

  1. Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти.

№6. В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 12 и BC=5. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Решение:

Введем систему координат с началом в точки A, как показано на рисунке.

A(0;0;0), B(12;0;0), C(12;5;0), S(0;0;5).

Пусть расстояние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC равно .

{12;0;-5}, {0; 5;0} - неколлинеарные векторы плоскости (SBC). B(12;0;0)

Составим уравнение плоскости (SBC):

(x-12)(0+25) – y(0 – 0) + z(0 – 60) = 0

25x – 0y – 60z – 300 = 0

5x – 0y – 12z – 60 = 0

Ответ:

№7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ= ВС=6, АА1=2.

а)Докажите, что плоскость , параллельная прямой ВD, пересекающая ребро ВС в точке К так, что ВК=2 и ребро C1D1 - в точке L, причем C1L=2 перпендикулярна прямой А1С.

б)Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью , с вершиной A1.

Решение:

а)Т.к. BD, то через К проведем КМ BD и через L проведем LN BD.

KNLM – сечение призмы плоскостью .

Введем систему координат, как показано на рисунке. B(0;0;0), A1(6;0;), K(0;2;0), M(4;6;0), L(2;6;), C(0;6;0).

– направляющий вектор прямой А1С.

– неколлинеарные векторы плоскости (KLM).

–нормаль к плоскости .

,

, координаты этих векторов пропорциональны, следовательно векторы и коллинеарные.

Т.к. , то , т.е.

б)

Пусть расстояние от вершины А1 до плос­ко­сти KLM равно .

– неколлинеарные векторы (KLM). K(0;2;0)

Составим уравнение плоскости (KLM):

,

,

.

.

NC1L: C1=90, C1N=C1L=2,

KCM: C=90, CK=CM=4,

LHM: H=90, LH=, MH=2,

NK=LM=4.

LEM: E=90, LM=4, ME=,

.

Ответ:

Заключение.

Таким образом, мне удалось справиться с поставленными целью и задачами, разобрать геометрические задачи, решение которых базируется на результате моего исследования.

Итак, что необходимо знать и уметь для применения координатно- векторного метода:

  • уметь разными способами задавать систему координат для данной задачи и находить координаты вершин куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, правильной призмы;

  • уметь находить координаты вектора через координаты начала и конца;

  • знать формулу расстояния между скрещивающимися прямыми;

  • уметь составлять уравнение плоскости;

  • знать формулу расстояния от точки до прямой;

  • знать формулу расстояния от точки до плоскости;

  • уметь вычислять определители матриц 2 и 3 порядков.

В данный момент я решаю стереометрические задачи как традиционным способом при возможности, так и с помощью приемов аналитической геометрии. Координатно-векторный метод является эффективным способом решения многих задач геометрии.

Список использованной литературы и интернет-ресурсов:

  1. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни/ [Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. — 22-е изд.- М.: Просвещение, 2013. — 255 с.

  2. Боревич З.И. Определители и матрицы: Учебное посоие. 5-е изд., стер. –СПб: Издательство «Лань», 2009. – 192с. – (Учебники для вузов. Специальная литература)

  3. Бортаковский А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. Пособие/ А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М.:Высш.шк., 2005. – 496с.: ил. – (Серия «Прикладная математика»).

  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. - 7-е изд. Стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 224с. – (Курс высшей математики и математической физики.)

  5. Садовничий Ю.В. Аналитическая геометрия. Курс лекций с задачами/ Ю.В. Садовничий, В.В. Федорчук. – М.:Издательство «Экзамен», 2009. – 350с. (Серия «Учебник для вузов»

  6. http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/distance_between_skew_lines.html

  7. ege.sdamgia.ru