III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫИГРЫША В ЛОТЕРЕЕ
Ржаникова А.Е.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

На уроках математики мы познакомились с начальными понятиями теории вероятностей. Меня заинтересовало практическое применение этого раздела математики. Я обратила внимание, что на телевидении последнее время все чаще говорят о розыгрышах больших денежных сумм, и я решила выяснить, насколько популярно участие в лотереях в различных возрастных группах. Для этого я провела опрос учащихся моей школы, работников школы, родственников и знакомых моей семьи. Данные опроса представлены в таблице и на гистограмме (приложение 1 и приложение 2) . Убедившись в популярности лотерей, я подготовила исследовательскую работу «Вероятность выигрыша в лотерее».

Гипотеза: результаты опроса свидетельствуют, что большинство людей считает, что в числовой лотерее можно получить значительный выигрыш.

Объектом моего исследования являются различные лотереи, история их возникновения, математическое обоснование высказанной гипотезы.

Предмет исследования: вероятность выигрыша в числовых лотереях

Основнаяцель – провести вероятностный анализ числовых лотерей, используя формулы теории вероятности, которые помогут определить, справедлива ли та или иная лотерея, и выгодно ли нам в неё играть.

Задачи – изучить математические формулы теории вероятностей, использовать их для расчетов вероятности выигрыша в числовых лотереях, рассмотреть экономическую целесообразность и психологические аспекты участия в лотереях.

Для выполнения поставленных задач я пользовалась такими методами исследования, как сравнение, опрос, математическое обоснование.

Моя научно-исследовательская работа посвящена изучению вероятности выигрыша в лотереях. Теоретическая часть работы включает в себя рассмотрение вопроса возникновения лотереи, правил проведения и розыгрыша в Америке, Европе, Англии, СССР и России. Основное внимание уделено изучению вероятности события, а также математических законов, связанных с этим понятием. Теоретическая часть включает в себя определения и формулы элементов комбинаторики, такие как перестановки, сочетания, факториал, а так же рассмотрены примеры использования сочетаний в задачах на вычисление вероятности.

Практическая часть включает в себя подсчет вероятности выигрыша в лотереях «7 из 49», «5 из 36» и «6 из 49», «6 из 45», а также сравнительный анализ вероятностей выигрыша в лотереях. Кроме того, одной из задач является расчет количества всех комбинаций, а также их стоимость с учетом данных одного из сайтов розыгрыша лотерей. Вывод об экономической целесообразности, покупки всего тиража билетов.

В заключении описан психологический аспект лотереи и зависимости от нее.

Теоретическая часть
  1. История возникновения лотерей

Все лотереи похожи друг на друга. Отдав небольшую сумму за билет, вы становитесь в очередь потенциальных миллионеров. Самые большие призы предлагает лотерея, в которой игрок должен самостоятельно выбрать выигрышную комбинацию чисел, предсказав тем самым результат розыгрыша. Полное совпадение результата дает так называемый «Джек-пот», максимальный выигрыш, который исчисляется десятками миллионов. Лотереи с фиксированной комбинацией цифр могут принести победителю несколько меньше. В мгновенные лотереи, самые дешевые и малоприбыльные. Но смысл игры, при всех различиях, в каждой лотереи остается одним и тем же: не прикладывая усилий, раз и навсегда изменить свою судьбу, поймав ускользающую улыбку Фортуны. На одном из сайтов «Гослото» в сети «Интернет» я прочитала следующую информацию:

«Предновогодний эфир 2017 г. одного из федеральных телеканалов принес удачу 7 649 624 участникам гослотерей – все они выиграли в «Гослото» различные призы. А 12 человек даже получили призы в несколько миллионов! Всего же в этом праздничном тираже было разыграно 1 388 771 199 рублей – «по-настоящему историческое событие», как выразилась директор по маркетингу и продажам Акционерного общества «Торговый Дом «Столото» Зоя Гафарова: «Гран-при» в 54 462 613 рублей, полученный в ходе розыгрыша тиража «Гослото «6 из 45», его счастливый обладатель увез к себе в Нижегородскую область. 8 жителей различных областей России получили по 6 842 262 рубля, разделив в «Гослото «5 из 36» выигрыш в 54 738 096 рублей, и еще трое счастливчиков стали обладателями 4 184 276 рублей в тираже «Гослото «7 из 49». Однако в этой заметке не говорится, какова вероятность выигрыша участника лотереи.

Массовую игру с денежными призами придумали на Западе. Пока наши предки только готовились к покорению Сибири, темпераментные жители Центральной Европы уже молили Господа о «счастливом билетике».

За право называться родиной общественных лотерей сегодня спорят Италия и Франция. Известно, что один из первых публичных розыгрышей денежных призов был проведен во Флоренции в 1530 году. Лотерея, носящая гордое имя «Ла Лотто де Фьяренце» пользовалась шумным успехом, объединив в общей погоне за выигрышем разрозненные итальянские города и княжества. Вскоре лотереи, в придачу к поеданию пиццы и послеобеденному отдыху, сделались народной итальянской традицией. Нет ничего удивительного, что одним из первых шагов короля воссоединенной Италии стало проведение в 1863 году первой обще-итальянской лотереи.

В Англии лотереи насаждались непреклонной волей монархов. Оценив по достоинству итальянские лотереи, в 1566 году королева Елизавета I объявила о проведении всеобщего розыгрыша денежных призов. Прибыли хватило на перестройку морских гаваней, так что главным выигрышем для Британии стал завоеванный впоследствии неофициальный титул «владычицы морей». Последующие английские лотереи также приурочивались к важным народнохозяйственным проектам. Так, лотерея 1627 года была призвана решить проблему финансирования постройки лондонского акведука. Прибыль от последующих розыгрышей пошла на учреждение Британского музея, обустройство водопровода и возведение мостов. В 1826 году богатеющая за счет колоний империя решила отказаться от лотерей, посчитав их занятием богомерзким.

Зато лотерея прижилась в Америке. Еще в 1776 году континентальный конгресс предлагал провести лотерею, на выручку от которой можно было бы организовать восстание против английских властей. Руководителем одной из первых американских лотерей стал сам Джордж Вашингтон. Прибыль от розыгрыша была потрачена на строительство дороги через Кумберлендские холмы. Деньги от других лотерей тратились с умом, причем в полном смысле этого слова: выручка от продажи билетов позволила правительству США профинансировать учреждение таких университетов, как Гарвардский, Йельский и Колумбийский.

Отцом — основателем первой французской лотереи стал король Франциск Первый. Отчаявшись бороться с обычным для монархов дефицитом наличности, он разрешил с 1520 по 1539 год устройство частных и общественных лотерей. Затея не привилась: в отличие от взбалмошных итальянцев расчетливые галлы не верили в случай, а потому держали свои сбережения в соломенных матрацах. Разбить лед недоверия к Фортуне смог только пылкий Джакомо Казанова. При помощи хитроумной интриги он добился права стать распорядителем первой государственной лотереи, целью которой был сбор денег для знаменитой «Эколь Милитер», Королевской военной школы.

Как и следовало ожидать, в России первые лотереи появились при царе Петре I. О наступлении новой эпохи россияне узнали из афиш, расклеенных на стенах московских домов в 1700 году.

Если верить историкам, первый розыгрыш прошел под неусыпным вниманием царевых людей. Результатами московиты остались довольны. Новинка прижилась. Как и на Западе, в России лотереи проводили в случае «государственного заказа», вроде сбора налогов, или строительство больницы. К примеру, главными призами лотереи 1745 года стали описанные за недоимки товары и вещи одного из купцов. Иногда разыгрывались деревни и имения. Самая масштабная лотерея состоялась в 1764 году, причем ее организатором выступил Сенат. После ее проведения императрица Екатерина повелела «впредь таковых лотерей не принимать», назвав затею «вредной выдумкой». Повод для монаршего гнева дала лотерея, прошедшая за четыре года до этого. Тогда, в 1760 году, главный приз составил астрономическую сумму 25 тысяч рублей, масса игроков разорилась, а казна не получила ничего.

Заново ввести игру коммунистов заставила экономическая целесообразность. В 1921 году правительство провело первую лотерею, доходы от которой пошли в помощь голодающим.

После Великой Отечественной лотереи Страны Советов приняли вполне коммерческий характер. Правда, до 1970 года в СССР их проводили только республиканские Министерства финансов. Тиражи проводились редко — раз в квартал. Потом появилась знаменитое «Спортлото» «6 из 49», и «5 из 36».

Тот факт, что лотереи — это выгодный бизнес, россияне поняли только после перестройки. В 1994 году лотерейное движение было закреплено в Гражданском кодексе. Отныне учреждать и проводить лотереи разрешалось в России практически всем.

  1. Случайные события и вероятность

Окружающий мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и т.д. Теория вероятности как наука начала складываться в XVII веке. Источником задач для нее служили азартные игры. Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдет.

О случайном событии мы не можем сказать заранее, произойдет оно или нет. Но мы можем говорить о шансах наступления этого события. В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдет, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. Главные свойства вероятности изложены в приложении 3.

  1. Элементы комбинаторики.

Для нашей дальнейшей практической работы понадобятся еще некоторые формулы и понятия из комбинаторики.

Комбинаторика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Основные понятия изложены в приложении 4.

Практическая часть

Итак, мы ознакомились с теоретическими понятиями, а также с формулами подсчета вероятности выигрыша в лотерею. В данной главе попробуем на практике вычислить вероятность выигрыша в следующих лотереях «7 из 49», «5 из 36», «6 из 49» и «6 из 45». Проведем сравнительный анализ, посчитаем экономическую целесообразность покупки всех билетов для достижения выигрыша. Для этого будет использовать ранее рассмотренные формулы подсчета вероятности, а также данные с сайта http://www.stoloto.ru.

Обратимся к подсчету вероятности выигрыша в лотерею «6 из 45».

  1. Какова вероятность того, что будут угаданы ровно 6 выигрышных номеров?

P===1,2277,

Количество комбинаций (билетов) =8145060

  1. Какова вероятность угадать хотя бы 1 выигрышный номер?

P=1 - = 0,5994

  1. Какова вероятность угадать 2 выигрышных номера?

P==0,1514

Конечно, вероятность угадать хотя бы 2 выигрышных номера почти в миллион раз больше, чем угадать все 6 номеров, но и сумма выигрыша в данном случае составляет всего 70 рублей. Поэтому вероятности выигрыша 2 номеров мы рассматривать не будем. Проанализируем вероятности для остальных лотерей.

Аналогично проведем подсчет вероятности угадывания всех выигрышных номеров в лотереях «5 из 36», «7 из 49», «6 из 49». Результаты оформим в таблицу, в ней же приведем данные цены билета, максимального выигрыша на сегодняшний момент (этот параметр может меняться в зависимости от даты). А также стоимости билетов, которую нам бы пришлось уплатить, если бы мы пожелали выкупить все билеты (комбинации)

Лотерея

Формула вероятности

Значение вероятности

Количество комбинаций (билетов)

Цена билета

Стоимость покупки

(руб.)

Максимальный выигрыш

(руб.)

«6 из 45».

P=

1,2277·

8145060

70 руб.

570 154 200

88 848 694

«5 из 36»

P=

2,6525·

376992

80 руб.

30 159 360

5 329 800

«7 из 49»

P=

1,1641

85900584

50 руб.

4 145 029 200

100 000 000

«6 из 49»

P=

7,1511·

13983816

20руб.

279 676 320

10 884 323

Проанализировав значение вероятности, можно сказать, что это число ничтожно мало. Самая большая вероятность угадать в лотерею «5 из 36», но и это значение имеет порядок , выигрыш в эту лотерею тоже самый маленький, обычно он составляет несколько миллионов рублей.

Если бы мы захотели «приручить удачу» и выкупить все билеты, объединившись с «друзьями миллионерами», то в стоимость покупки пришлось бы вложить как минимум 30 миллионов рублей, что видно из 6-го столбца таблицы. Максимальный выигрыш при этом в разы меньше. Кроме того необходимо учитывать, что победитель обязан оплатить 13% от выигрыша налог. Соответственно максимальный выигрыш становится еще меньше.

Помимо экономической нецелесообразности покупки всех билетов может возникнуть практическая сложность перебора всех комбинаций , иными словами трудно успеть выкупить как минимум миллион билетов, с правильно выбранными комбинациями. Для начала пришлось бы составить программу, которая позволяла бы перебрать все комбинации и вывести на печать массив с как минимум миллионом комбинаций, затем следовало бы разделить этот набор комбинаций между участниками, и каждый выкупил бы свой набор билетов. Время, затраченное на покупку билетов, можно рассчитать следующим образом.

t =

Если 20 участников выкупают билеты в лотереи «5 из 36», то время, затраченное на покупку билетов для каждого участника, составит приблизительно 26 часов.

Все эти математические подсчеты служат лишним доказательством того, что экономически и практически выкупать все комбинации нецелесообразно.

Из этого можно сделать печальный вывод: « Купить птицу - счастья не удастся, зарабатывать на жизнь придется физическим или умственным трудом».

Психологические аспекты участия в лотереях

Удачливые люди редко играют в азартные игры. По меткому замечанию западных психологов, «богатый человек покупает страховку, а бедный — лотерейный билет». Ученые считают, что ничем не обоснованная вера в свою удачу имеет сугубо биологические корни. При этом только у хронических неудачников она становится главным жизненным ориентиром.

Надежда на выигрыш каждому игроку дает ощущение собственной исключительности, которое есть у каждого человека, вне зависимости от его места в обществе, толщины кошелька и физических данных.

И в этом, по мнению ученых, как раз и заключается корень игромании. Многочисленные исследования показали, что нормальный уровень самооценки диагностируется у человека тогда, когда он оценивает себя ненамного, но выше окружающих. Генетический опыт и сюжеты популярных фильмов подсказывают, что для этого нужно совсем немногого, напрмер, проглотить, как Нео из «Матрицы», нужную таблетку. Дать Богу шанс отметить тебя своей милостью. Хотя бы, купить лотерейный билет.

Лотерея, как и всякая другая игра, дает мгновенный ответ на вопрос о собственной состоятельности. Удача общается с игроком напрямую, почти без посредников. И всякий раз дает шанс начать все заново. Со временем, пристрастие к регулярному испытанию судьбы может стать болезнью.

Много ли людей на планете согласятся с утверждением «не в деньгах счастье» или хотя бы с тем, что счастье — не только в них? Скорее всего, если не брать в расчет экзотические племена, имеющие крайне смутное представление об этом достижении цивилизации, большинство землян ответит, что несметное богатство, может, и не сделает их абсолютно счастливыми, но точно избавит от лишних забот. И лишь отдельные здравомыслящие люди отдают себе отчет в том, что неожиданно свалившиеся на голову миллионы (миллиарды, триллионы — в зависимости от национальной валюты) могут принести вовсе не счастье, а полный жизненный крах. Но таких немного.

Несколько лет назад издание San Francisco Chronicle опубликовало статью о том, какие ошибки совершают обладатели крупных денежных призов. Как удалось выяснить журналистам, первый миллион долларов обычно тратится на путешествия, а остальную часть своего состояния значительная часть миллионеров просаживает в последующие пять лет.

Когда в ноябре 2004 года житель Нью-Йорка Хуан Родригес — выходец из Колумбии, работавший в магазине на парковке, сорвал главный приз лотереи, он был впервые в жизни абсолютно счастлив. Имея лишь 78 центов на счету и 44 тысяч долларов долгов, он стал обладателем джек-пота в размере 149 миллионов долларов. Но уже через десять дней после выигрыша его семья распалась. а он остался без средств к существовани.

Выигрыш американца Джека Уиттакера, по собственному признанию счастливчика, принес ему одни неприятности. В 2002 году Уиттакер сорвал рекордный приз в 315 миллионов долларов. В своем победном интервью он рассказал, что мечтает стать для людей положительным примером и распорядиться деньгами так, чтобы сограждане впоследствии могли им гордиться. Потом у него напрочь испортился характер и начались нелады с законом. В своей депрессии он винил деньги. Вернее, слишком большое их количество.

К сожалению, история одного из больших российских выигрышей закончилась не лучше. В мае 2006 года, в возрасте 52 лет, от болезней, вызванных неумеренным употреблением алкоголя, умерла Надежда Мухаметзянова, получившая в 2001 году самый большой приз в истории России на тот момент.

Лотерея — занятие опасное. Конечно, собрав за счет игры деньги, государство может решить пару насущных проблем. Но в целом на экономику такие опыты оказывают развращающее воздействие.

Людям незаслуженное богатство кружит голову, вызывая самую настоящую инфляцию души.

Заключение

Моя гипотеза не нашла математического подтверждения. Вероятность выигрыша в лотерею ничтожно мала. Главную прибыль забирают устроители лотереи, попутно разоряя массу людей.

Потому совет «ловцам удачи»: «Чтобы не стать заядлым «игроманом», советую еще раз прочитать мою работу!»

Литература и источники.
  1. http://www.stoloto.ru/

  2. http://svpressa.ru/post/article/118511/

  3. Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика. 2-е изд. перераб. МЦНМО, 2008.

  4. Шень А. Вероятность: примеры и задачи. 4-е изд., стереотипное. МЦНМО, 2016.

  5. Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей. 3-е изд., испр. МЦНМО, 2015 ( Библиотечка «Квант». Вып. 135. Приложение в журналу «Квант» №4/ 2015.)

Приложение 1.

Опрос в рамках исследовательской работы «Вероятность выигрыша в лотереях».

Вопрос

Возрастная группа

 

4-7 классы

8-11 классы

25-40 лет

Старше 40 лет

Участвовали ли вы когда-нибудь в лотерее или розыгрыше призов(спринт, спортлото и др.)?

11

30

12

27

Удалось ли вам выиграть?

16

16

5

6

Как много денег вы готовы вложить в розыгрыши призов и лотереи

       

100 рублей

17

11

9

24

500 рублей

9

1

3

3

Как вы считаете, кто остается в выигрыше от лотереи или розыгрыше призов?

       

Вы

24

1

0

3

Устроители лотереи

56

41

12

24

Станете ли вы с большой охотой участвовать в лотерее, если будете знать на какие цели пойдет прибыль?

       

Личное обогащение

75

37

8

18

Благотворительные цели

69

32

4

6

Социальные проекты

70

21

0

3

Как вы думаете будут ли популярны лотереи и розыгрыши призов в будущем?

       

Да

56

5

10

25

Нет

9

22

2

2

Приложение 2.

Гистограмма.

Приложение 3.

Главные свойства вероятности

  1. Для каждого случайного события A определена его вероятность P(А), причем 0P1.

  2. Для достоверного события U имеет место равенство

P (U) = 1

  1. Если события A и B несовместны, то

P (AB) = P (A) + P (B).

  1. Для противоположных событий A и имеет место равенство

P () = 1 - P (A).

  1. Для невозможного события имеет место равенство P ( = 0. Для несовместных событий A и B верно P (AB) = 0

  2. Для произвольных событий A и B

P (AB) = P (A) + P (B) – P (AB).

Приложение 4 Перестановки, факториал

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n . Обозначается факториал n!

Итак,

n!= 123…(n-1)n

Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд).

Перестановки обозначаются символом Рn, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).

Число перестановок n предметов равно n!

Сочетание

Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k и обозначается («цэ из эн по ка»). Можно доказать, что

=

Таким образом, с помощью факториала число сочетаний выражается через числа n и k.

Формулу мы будем использовать для подсчета вероятностей и количества комбинаций в дальнейшей практической части.