III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПУСТОТА, НАПОЛНЕННАЯ СМЫСЛОМ.
Дуликов А.Д.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


С одной стороны, для чего человек придумал числа?

Во-первых, для счета. А что "считает" 0? Ничто. Ясно, что такой объект нет смысла пересчитывать. Во-вторых для нумерации. Но, при нумерации также счет идет с 1, а не с 0: первый, второй, третий и т.д.

С другой стороны, нуль - очень важная персона. Как написать 10, 100, 1 000 или 102, 1905, если его нет? Получается, что нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда. Пустота, а смысл есть. К тому же нуль нужен для вычитания и сложения (например, сколько будет, если из 5 вычесть 5?). А еще при умножении на нуль любое число становиться нулем. Но самое главное, на нуль делить нельзя. Становится интересно, прибавлять, отнимать, умножать можно, а делить нельзя!!!

Цель исследования: ответ на вопрос : " Почему делить на нуль нельзя?"

Задачи исследования:

  1. Узнать, как правильно говорить: «ноль» или «нуль».

  2. Выяснить историю возникновения нуля.

  3. Познакомиться со значением нуля в математике.

  4. Доказать, почему на нуль делить нельзя.

Методы исследования: анализ, опрос учащихся 2 «А» класса, сбор информации из книг, журналов, сети Интернет.

Результаты исследования: приведено доказательство утверждения: «На нуль делить нельзя».

Основная часть

2.1. «Ноль» или «нуль»?

Начиная исследовать число нуль, у меня возник вопрос: «Как правильно говорить: «ноль» или «нуль»»?

Я решил обратиться за помощью к одноклассникам. Провел среди них опрос.

Как правильно говорить: «ноль» или «нуль»?

Варианты ответа

Количество опрошенных

«Ноль»

13

«Нуль»

13

Всего в классе 26 учеников.

Судя по результатам ответов, можно говорить, применяя оба варианта.

Решил проверить с помощью словарей.

В словарях русского языка С.И. Ожегова и Д.Н. Ушакова употребляются

обе формы слова - и "нуль", и "ноль".

В толковом словаре живого великорусского языка В.И. Даля можно найти также и два прилагательных: "нолевой" и "нулевой".

И только в Словаре трудностей русского языка Д.Э. Розенталь, М.А.Теленковой я смог найти различие в употреблении этих двух форм числа:

«НОЛЬ, ноля – НУЛЬ, нуля. Совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль – в терминологии, в научной речи. Ноль целых. Ноль часов. В двенадцать ноль – ноль. Ноль внимания (прост.). Ноль без палочки (прост.). Абсолютный нуль. Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю.»

Итак, разница между терминами «нуль» и «ноль» невелика, но она есть:

1) в разговорной речи чаще всего употребляется слово ноль, а в научной речи и терминологии - нуль;

2) есть ситуации, когда возможен только "НОЛЬ": ноль целых, ноль часов, ноль-ноль, ноль внимания, полный ноль.

Но "вероятность равна нулю", все сводится к нулю, температура опустится ниже нуля...

Ноль и нуль — одно и тоже.

Нуль, как цифра — пустота! Нуль потрогать каждый может, Пробуй сам, пожалуйста!

2. 2. История возникновения нуля

Мы настолько привыкли к этому числу, постоянно используем этот символ для математических расчетов. А ведь когда-то его не было, и люди обходились в математических операциях без этого знака.

Как же возникло данное число?

Изучив электронные варианты книг: 1)Чарльз Сейфе. «Ноль: биография опасной идеи» и 2) Дж. Коннор «История нуля», я составил последовательность хронологических событий, определяющих возникновение нуля.

Вот что получилось.

В Древнем Риме для совершения подсчётов использовали счёты – абаки. Абак в разных обличьях оказался весьма живучим изобретением. Абаки и счёты были разделены на несколько позиционных рядов. Так, чтобы обозначить на счётах число пятьсот два, на первой проволоке (разряд единиц) отбрасывали в сторону две костяшки, на третьей (ряд сотен) – пять, а на второй (разряд десятков) ничего не отбрасывали, так как десятков в числе не было.

Вот этот пробел, это пустое место и стало первым прообразом нуля. Говоря образно, нуль как число и цифра появился практически из ничего. Произошло это, конечно, не сразу. Одно дело – пустое место, другое дело – знак, и уж совсем третье – число. Первые шаги от пробела к знаку сделали вавилоняне.

В Вавилоне учёные изобрели число нуль в 4 веке до нашей эры. Но их изобретение не получило широкого распространения, потому что их математический аппарат базировался не на десятичной, а на 60-ричной системе счисления. Иными словами, в их математике было не 10, а 60 цифр. Суть позиционной системы заключалась в том, что каждый новый разряд записывался одними и теми же знаками, только располагали их левее предыдущего разряда. У вавилонян знаков было два: вертикальным клинышком обозначали единицу, а горизонтальным – десятку. Таким образом, записывали числа до 59, а число 60 снова обозначали вертикальным клинышком.

Если какой-нибудь разряд отсутствовал, вавилоняне ставили пробел, а в V в. до н.э. стали обозначать пропущенный разряд двумя клинышками.

Таким образом, изначально нуль не использовали как самостоятельное число, но лишь как некий пунктуационный знак, помогающий правильно распознать число.

Независимо от вавилонян нуль изобрели племена Майя, населявшую Центральную Америку. Нуль у Майя был не числом, а лишь значком пробела и не участвовал в математических операциях. Очень интересно было узнать, что Майя пользовались цифрами двух типов: простой основывался на точках и черточках,а более сложный — на глифах, гротескных лицах.

Родиной настоящего нуля по праву считают Индию. Гениальным итогом индийской математики стала запись любых чисел с помощью десяти цифр, которыми мы пользуемся сейчас и которые не совсем справедливо называем арабскими (cами арабы, кстати, всегда называли их индийскими). Позже всех знаком наградили злосчастный нуль. Само понятие нуля (индийцы называли его «сунья/шунья» – пустое), по-видимому, возникло в середине V века. Первое же изображение нуля было обнаружено в числе 270, начертанном на стене г. Гвалиора. Очень важно, что ноль здесь впервые стоит в конце числа и внешне напоминает знакомую нам дырку от бублика (разве что немного меньше других цифр).

Вот так в течение веков изменялось написание арабских цифр.

После величайшего открытия цифры 0 для обозначения отсутствующей величины, стало возможным возникновение десятичной системы!

2.3. Количественная составляющая нуля

Цифра нуль – пустое место

Или просто – ничего.

Нуль раздулся в знак протеста,

Чтоб заметили его.

Слово «цифра» действительно означала именно «нуль» и ничто другое (инд. «сунья», араб. «аль-сифр», лат. ciffra). От ciffra произошло множество названий, включая слова «шифр» и «зеро», хорошо известное любителям игры в рулетку. Позже термин «цифра» распространился на все знаки арабской нумерации.

Слово же «ноль/нуль» вошло в обиход в XVI веке. НУЛЬ («nullus» греч. – «никакой»)- это мера пустого множества, число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента (ноль литров молока в бидоне, подстричь «под ноль»).

Толковые словари дают следующие определения нуля:

  • Толковый словарь живого великорусского языка В.И. Даля:
НУЛЬ м. ноль - счислительный знак, означающий ничто, ничего (0); но поставленный после другой цифры (справа), повышает ее десятью, умножает на десять.
  • Толковый словарь русского языка Дм. Н. Ушакова: ноль и нуль, ноля, м. - цифровой знак: 0. Отсутствие величины (мат.).
  • Толковый словарь русского языка Ожегова С. И.: НОЛЬ, -я и НУЛЬ, -я, м. 1. В математике: действительное число, от прибавления которого никакое число не меняется. Сводиться к нулю (перен.: терять значение, превращаться в ничто, лишать всякого смысла). 2, Цифровой знак "0", обозначающий такое число, а также, в составе цифровых обозначений, отсутствие единиц какого-н. разряда.

Исходя из данных толкований понятия «ноль/нуль», я сделал вывод: имеется два варианта использования 0, оба очень важные, но немного различные:

  1. 0 - это указатель пустого разряда в нашей системе счисления. Так, в числе 2106 нуль служит для того, чтобы позиции 2 и 1 были верными. Очевидно, что 216 значит совершенно иное;

  2. 0 – это число, которое мы обозначаем 0.

2.4. Почему на нуль делить нельзя?

«Делить на нуль нельзя!» — большинство школьников заучивают это правило наизусть, не задаваясь вопросом: «Почему?». А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя?!

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание.

- Что значит 5 – 3?

Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется.

Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому: нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число , которое при сложении с числом 3 даст число 5.

То есть 5 - 3 = , если + 3 = 5.

В этом примере нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением.

Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным стопкам. Но в действительности частное при делении числа 8 на число 4 - это такое число , что произведение на 4 равно 8.

То есть 8 : 4 = , если · 4 = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 сводится к заданию найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5,

т.е. · 0 = 5. Но мы знаем, что при умножении на нуль всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакое конкретное число. Следовательно, эта запись ничего не обозначает, так как не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

А можно ли нуль делить на нуль?

В самом деле, ведь пример 0 · = 0 благополучно решается. Например, можно взять = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0?

Но не будем спешить.

Попробуем взять = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 127 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на нуль нельзя делить даже нуль. Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа нуль.

Заключение

Деление на нуль - это «вечный двигатель», это «философский камень». Это попытка сделать много-много всего из пустоты и из ничего.

Надо сказать, что математики, в той математике, которая называется высшей, придумали, как выкрутиться из такого трудного положения. Они объявили, что при делении на нуль в результате получится бесконечность. Ведь угостить «нулем» мороженого можно сколько угодно человек! Вот идти по улице и всем подряд выдавать по «нуль» мороженого! «Нуль» зарплаты вообще можно ежедневно выплачивать всему миру, то есть бесконечное число раз бесконечному числу людей!

Какое же это удивительное число — нуль! Пустота, а наполненна смыслом!

Таким образом, цель исследовательской работы была достигнута, задачи решены: я познакомился с историей возникновения нуля, с различными трактовками этого понятия, доказал почему на нуль делить нельзя.

Данная работа предназначена для расширения кругозора учащихся, способствует развитию познавательного интереса к математике. Она может быть использована на уроках математики.

Список использованных источников и литературы

  1. Даль В. Толковый словарь живого великорусского языка. Том первый А - З. [Текст] / Москва, Русский язык. 1989- 560 с.

  2. Ожегов С.И., Н.Ю. Шведова. Толковый словарь русского языка [Текст] / Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В. Виноградова - М.: Азбуковник, 1998.- 944 с.

  3. Ушаков Д.Н. Толковый словарь русского языка. Том 1. [Текст] / Под редакцией Д. Н. Ушакова - М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2000. – 848 с.

  4. http://bookz.ru/authors/4arl_z-seife/nol_-bi_804/1-nol_-bi_804.html

  5. C:WINDOWSTempRar$EXa0.959О’Коннор Дж. Дж., Робертсон Е.Ф. История нуля.htm