III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЯХ
Барышник К.В.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Новые реалии существования человечества ставят перед людьми все новые проблемы и требуют принятия решений в самых экстремальных условиях. Практически во всех сферах современного общества мы переходим от описательности к аналитическому и прогностическому анализу. И заметим, что история прогнозирования начинается от предсказаний волхвов, а продолжается строгими математическими расчетами и использованием искусственного интеллекта. Попыток предсказания будущего на уровне всего человечества немало: построение желаемого будущего, разработка глобальных проектов, стратегические прогнозы, предсказание ядерной зимы или конца света. Примеров сбывшихся исторических прогнозов довольно много. И сегодня мы абсолютно спокойно воспринимаем прогноз погоды на месяц вперед, курс инфляции, цены на нефть, демографические показатели и т.д. Что такое прогнозирование, какие существуют методы прогнозирования, можно ли самому выстроить прогноз на будущее… Вопросы интересные и актуальные.

В работе будет рассмотрены некоторые методы математического прогнозирования, их применение к прогнозированию результатов Государственной итоговой аттестации.

Цель работы: изучить возможности математического прогнозирования на примере прогнозирования результатов ГИА.

Для осуществления цели мы ставим перед собой следующие задачи:

  • изучить, что такое математическое прогнозирование и его этапы;

  • изучить некоторые методы математического прогнозирования;

  • собрать данные средних баллов по ГИА учеников МБОУ ООШ №8 х. Свободного Приморско – Ахтарского района;

  • рассмотреть возможность применения информационных технологий для выполнения расчетов;

  • спрогнозировать результаты ГИА на 2017, 2018 года.

Гипотеза исследования: Мы предполагаем, что с помощью математического прогнозирования можно составлять достаточно точные прогнозы на примере прогноза результатов ГИА по математике.

Актуальность исследования: Прогнозирование поможет определить проблемные элементы в подготовке к ГИА, будет способствовать развитию логического мышления, повышению уровня информационной культуры.

Объект исследования: математическое прогнозирование.

Предмет исследования: математическое прогнозирование результатов ГИА.

Практическая значимость: с помощью данной работы возможно оценить состояние наших знаний по выбранным предметам.

Понятие прогнозирования и его принципы

Прогнозирование представляет собой научно обоснованное суждение о будущих состояниях объекта прогнозирования и (или) об альтернативных путях достижения этого состояния. [1] Необходимость прогнозирования вызвана тем обстоятельством, что будущие состояния объекта имеют большое значение для решений, принимаемых в настоящий момент. Естественно, неопределенность будущей ситуации существует, и качество прогноза играет важную роль. Основной задачей является поиск оптимального решения. Прогнозирование выступает как один из инструментов поиска такого решения, которое должно приниматься на основе научно обоснованного, объективного анализа проблемы.

В специальной литературе с прогнозированием связывают два понятия: forecasting (прогнозирование) и prediction (предсказание). Глагол to predict означает сказать заранее, а глагол to forecast – бросать вперед. Можно предположить наличие «чего-то», что можно было бы «бросить вперед». При прогнозировании роль этого «чего-то» выполняют имеющиеся сведения о процессе. [1] Причем эти сведения могут быть самыми различными, главное условие – наличие какой-то последовательности, структурности, очередности.

Р.Браун (1963) [3] использует понятие предсказание (prediction) для обозначения субъективных оценок будущего и понятие прогноз (forecast) для обозначения результатов объективных вычислений. В рамках нашей задачи: предсказание – оценка, которую планирует получить ученик или мнение учителя, прогноз – какой-то вычислительный процесс, дающий ответ о результатах ученика.

Д.М.Гвишиани и В.А.Лисичкин (1968) [2] определяют понятия предсказание и прогноз более прагматично. Предсказание – как предвидение таких событий, количественная характеристика которых либо невозможна (на данном уровне познания), либо затруднена. Прогноз – как высказывание, фиксирующее в терминах какой-либо языковой системы ненаблюдаемое событие.

Таким образом исторически, под предсказанием обычно понимают искусство суждения о будущем состоянии объекта, основанное на субъективном взвешивании большого количества качественных и количественных факторов, под прогнозированием – некоторый исследовательский процесс, в результате которого устанавливаются возможные данные о будущем состоянии прогнозируемого объекта. Наша задача – прогнозирование.

Прогнозирующая система, как правило, – это некая организационно-техническая система, как система обработки данных на компьютере, обрабатывающая поступающие на вход данные о прогнозирующем объекте с целью получения на выходе данных о будущем состоянии этого объекта.

Прогноз может быть качественным и количественным. Качественный прогноз можно получить как через цепочку выводов, так через количественный анализ. Количественный прогноз связан с «возможностями», с которыми происходит то или иное событие в будущем, а также с некоторыми количественными характеристиками этого события (например, его математическим ожиданием, наиболее вероятным значением и т.д.). [4]

Различают участок наблюдения, где процесс изучается в течение некоторого времени, и точку упреждения (интервал, в который может попасть результат прогнозирования), в которой оценивается как математическое ожидание процесса (точечный прогноз) и величина интервала, в который с заданной вероятностью попадет будущее значение процесса (интервальный прогноз).

Естественным требованием к качеству данных, полученных в результате прогнозирования, является их точность. Однако данные даже самых совершенных прогнозирующих систем могут совпасть с объектом в будущем лишь с некоторой вероятностью.

Важным требованием к изучаемой системе является способность к реагированию на изменения, происходящие в изучаемом объекте прогнозирования с целью устранения ошибок прогнозирования. Конечно же, эти условия для всех прогнозов должны прослеживаться.

Методы прогнозирования и типы прогнозов

В 1927 году В.А.Базаров-Руднев предложил 3 метода прогноза: экстраполяция, аналитическая модель, экспертиза.

В настоящее время существует около 220 методов прогнозирования, но чаще всего на практике используются не более 10, среди них: фактографические (экстраполяция, интерполяция, тренд-анализ), экспертные (в т.ч. опрос, анкетирование), публикационные (в т.ч. патентные), сценарные, матричные, моделирование, аналогий, построение графов и т.д. [4]

Можно очень формально представить следующую классификацию методов прогнозирования: формальный и экспертный. Классификация по признакам прогнозирования представлена на рис.1.

Рис. 1 Классификация прогнозов

Любое прогнозирование строится на основе имеющейся информации об изучаемом объекте. Нахождение закономерности в поведении прогнозируемого объекта позволяет построить его математическую модель. На выбор модели оказывают влияние цель и задачи прогнозирования и величина того интервала, на который оно производится.

После выбора модели прогнозируемого объекта определяются ее неизвестные параметры. Затем производится прогнозирование состояния объекта в интересующий нас будущий момент времени.

Таким образом прогнозирование переходит к известному нам из школьного курса математики – математическому моделированию. Только если в реальных задачах мы использует конкретные данные и условия, то здесь идет набор данных, которые еще нужно каким-то образом использовать и обрабатывать.

Модель – это заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение только некоторых свойств оригинала, но способный замещать оригинал таким образом, что изучение поведения модели в новых условиях дает новую информацию об объекте-оригинале.

Моделирование – это процесс получения информации об объекте-оригинале путем проведения экспериментов с его моделью в заданных внешних условиях; построение поисковых и нормативных моделей с учетом вероятного или желательного (не желательного) изменения прогнозируемого объекта на период упреждения прогноза по имеющимся прямым или косвенным данным о масштабах и направлениях изменений.

Трендовая модель (или математическое моделирование) предполагает постоянное подобное развитие системы («как развивалась до этого, так и будет дальше»).

Математическое прогнозирование заключается в использовании имеющихся характеристик прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами, получении их математической зависимости от времени и других известных независимых переменных и вычислении с помощью найденной зависимости характеристик объекта в заданный момент времени при заданных значениях других независимых переменных.

Метод математического прогнозирования характеризуется объективностью и высокой точностью получаемых результатов при правильном выборе математической модели. К числу основных этапов математического прогнозирования относятся:

1) сбор и подготовка исходных данных (статистика);

2) выбор и обоснование математической модели прогнозируемого объекта;

3) обработка статистических данных для определения неизвестных параметров модели;

4) выполнение расчетов и анализ полученных результатов

Рассмотрим некоторые методы математического прогнозирования. Один из методов – метод временных рядов. Временным рядом называется последовательность наблюдения одного явления или показателя в упорядоченном во времени (хронологическом) порядке. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда. [2]

Временные ряды состоят из двух элементов:

  • периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;

  • числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных. Типичным примером временного| ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Анализ временных рядов - совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда.

Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, необходимо выявить и провести анализ характерного изменения параметра у, оценить его изменение в будущем (прогноз).

Значения временного ряда можно представить в виде: yt = f(t)+εt , где f(t) - неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, εt - случайная величина, характеризуют отклонение уровня от f(t).

Неслучайная функция f(t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) yt, за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами (t,yt) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы.

Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде yt = f(t), где f(t)=a0+a1(t). Для определения неизвестных величин используют метод наименьшего отклонения искомых от известных данных временного ряда. Математическими методами мы не сможем решить данную задачу, так как не обладаем необходимыми знаниями. Поэтому в практической части работы воспользуемся вычислительными возможностями табличного редактора Excel.

Математическое прогнозирование реальной ситуации

Опираясь на собранные данные о результатах и подготовке к ГИА спрогнозировать результат экзамена по математике.

1 этап - сбор и подготовка исходных данных (статистика):

Приступая к 1 этапу, мы подготовили и создали электронные таблицы такой тематики:

«Тренировочные экзаменационные работы» (Приложение 1): в течении 2 месяцев выполнялись работы (возможность проверки в сети Интернет) через одинаковые промежутки времен (3 дня)

«Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» (Приложение 2)

2 этап - выбор и обоснование математической модели прогнозируемого объекта:

Для таблицы «Тренировочные экзаменационные работы» применим регрессионный анализ. Т.е. рассчитаем каким уравнением можно записать функцию, описывающую статистические данные таблицы по наиболее проблемным заданиям. При этом можно воспользоваться не только линейной функцией, а воспользоваться нелинейной (показательные функции) или множественной регрессией. Вид указанных функций, где x – независимая переменная, y – зависимая переменная, m – угловой коэффициент прямой, b – точка пересечения прямой с осью у.

Таблица 1 Примеры регрессивных функций

Линейная регрессия

Нелинейная регрессия

Множественная регрессия

Y=mx+b,

Y=b·mx

Y=m1x1+m2x2+…+mnxn+b

Y= b*m1x1*m2x2*…*mnxn

Но в качестве независимой переменной х выступает номер тренировочного теста, т.е. с точки зрения анализа данных не несет информационной ценности.

Другое значение приобретает номер теста в случае временного ряда, когда конкретно выделяют временной промежуток, причем определенный. Для данных «Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» будем использовать прогнозирование с помощью временных рядов.

3 этап - обработка статистических данных для определения неизвестных параметров модели:

Воспользуемся для обработки данных встроенными функциями Excel.

Линейная регрессия – ЛИНЕЙН(…), ТЕНДЕНЦИЯ (…), ПРЕДСКАЗ(…).

Нелинейная регрессия – ЛГРФПРИБЛ(…).

4 этап - выполнение расчетов и анализ полученных результатов.

Для выполнения расчетов в приложении 1 «Тренировочные экзаменационные работы» выполним следующие операции:

  • вычислим суммы баллов за каждое задание и работу в целом, воспользовавшись встроенной функцией Автосумма;

  • используем функцию =ПРЕДСКАЗ(21;B3:B22;A3:A22) (вариант ячейки В26), данная функция выдаст прогноз результата за данное задание. Отметим, что данная функция выдает только один результат и использует линейное приближение, в качестве значения независимой переменной выбрано 21.

  • Используем функцию =ЛИНЕЙН(AB3:AB22;A3:A22;1;1). Выделяем диапазон ячеек, и функция выдает таблицу, в которой числа несут следующую информационную нагрузку: (на примере Приложения 1) функция тренда имеет вид у=mx+b, где

m=0,129323

b=14,74211

 

0,166711

1,99706

Стандартные значения ошибок для коэффициентов

0,03235

Указывает насколько модель близка к оригиналу, наилучший вариант 1

4,299084

Предельное отклонение для у, т.е. у+4,299084 или у-4,299084

 

0,60176

18

 

11,1218

332,6782

 
  • Для анализа точности прогноза воспользуемся нелинейным прогнозированием, функция =ЛГРФПРИБЛ(AB3:AB22;A3:A22;1;1), функция тренда имеет вид Y=b·mx, таблица получаемых значений аналогична предыдущей функции.

  • В Приложении 2 «Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» построим графическую линию тренда, алгоритм простой: построить график по данной таблице значений и добавить линию тренда, выполнив необходимое форматирование графического изображения. В данном случае выбран прогноз на 2 вперед. Для сравнения результатов прогноза выбрана линейная и степенная линия тренда.

Проанализировав полученные данные имеем:

  • уделить внимание заданиям экзаменационной работы, прогноз у которых менее 0,8 балла (2, 7,6,11 и др.);

  • рассмотреть итоговый балл экзамена, полученный с помощью математического прогнозирования, с учетом погрешности сделать вывод о возможной оценке за экзамен;

  • заметим, что погрешности прогнозирования невелики, подтверждением этого является проведенная проверка – вычисление для х=20(Приложение 1);

  • графическое представление линии тренда требует более точного анализа, разбег значений велик, и они далеко расположены от линии тренда. Предполагаемые средние баллы – в 2017 году – 18,5, в 2018 – 18,75. Возможной причиной является несоответствие данных решаемой задаче. Здесь роль сыграли – малое количество данных, различия в классах – качественное и количественное. Но данные имеют право на использование, как альтернативный вариант;

  • применение к вычислениям функций электронных таблиц делает процесс прогнозирования простым, наглядным и позволяет быстро вносить коррективы в данные, проводить оценку правдивости прогноза.

Выводы

Итогом нашей работы стало знакомство с понятием прогнозирования. Рассмотрев общие принципы прогнозирования, было выделено математическое прогнозирование как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе. Методов прогнозирования очень много, для своей задачи – прогнозирование результатов ГИА, - было выбрано математическое прогнозирование с помощью линейных и нелинейных функций. Для вычислительного этапа были использованы функции редактора электронных таблиц Excel, что потребовало сформировать статистические данные в определенной форме. И хотя процесс подготовки начальной информации занял много времени, зато использование средств ИКТ сделало следующие этапы работы наглядными и многофункциональными.

Получены прогнозы среднего балла ГИА для индивидуального и коллективного набора данных.

Итак, мы изучили использование методов математического прогнозирования в реальной ситуации. Сравнив результату исследования с известными данными, мы сделали вывод о достоверности метода прогнозирования. а именно анализа и прогнозирования на основе временных рядов. Используя электронные таблицы, создали шаблон для самостоятельной работы выпускников по подготовке.

«Операции над прошлым», так иногда называют прогнозирование процессов. В первую очередь, «прошлое» должно позволить найти общие закономерности (если таковые вообще имеются) в поведении подобных объектов в подобных ситуациях. Рубеж научного прогнозирования лежит там, где исчерпывается возможность обосновать развитие объекта, опираясь на эти закономерности. [4]

И очень хочется верить, что человечество вскоре научиться не только прогнозировать, но и предупреждать самые негативные процессы.

Литература
  1. Берндат Дж., Пирсал А. Измерение и анализ случайных процессов. – М.: Мир, 1971. – 270 с. Гвишиани Д.М., Лисичкин В. А. Прогностика. – М.: Знание, 1968. – 279 с.

  2. Петриченко Г.С., Дудник Л.Н. Табличный процессор Excel в экономических и финансовых расчетах. – Краснодар: издательский дом – Юг, 2011. – 263 с.

  3. Теория прогнозирования и принятия решений / Под ред. С.А. Саркисяна. – М.: Высш. Шк., 1977. – 351 с.

  4. Brown R.G. Smoothing Forecasting and Prediction of Discrete Time series. – N.Y.: Prentice Hall, 1963. – 270 p.

  5. https://monographies.ru/en/book/section?id=5972

  6. http://studopedia.ru/2_98787_metodi-prognozirovaniya.html

  7. http://mirznanii.com/a/161818/osnovnye-metody-prognozirovaniya

Приложение 1 (скан страницы электронной таблицы, демонстрирующий работу с функциями MS Excel)

Приложение 2 (скан страницы электронной таблицы, демонстрирующий работу с функциями MS Excel)