III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРИРОДНАЯ КРАСОТА МАТЕМАТИКИ В ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ
Гостюхин Д.В.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


«Красоту математики можно увидеть

глазами, можно почувствовать сердцем,

но объять её можно только умом».

Ш.А. Амонашвили.

Актуальность: Многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей (приложение 1).

Почему они так приятны взгляду? Кто может ответить на вопрос, из чего состоит красота? Почему, мы сами и окружающие нас предметы пропорциональны? Пытаясь ответить на эти вопросы, я решил изучить связь между красотой и математикой.

Своей работой я хочу попытаться раскрыть тайны гармонии и погрузиться в увлекательный мир математики – науки, которая объясняет всё.

Бывают ли на свете числа, которые влияют на нашу жизнь? У каждого человека есть любимое или не любимое число. Но есть одно число, в котором кроется секрет гармонии во всём.

Если внимательно посмотреть на разные промежутки увиденного, потом соединить их в целое, то можно заметить логическую связь. Имя её: «Золотое сечение». (приложение 2.)

Цель: Изучить тему. Определить, практически. как математика влияет на красоту увиденного. Какие пропорции человека вызывают большее умиление? Действительно ли, путём вычислений, можно увидеть красоту и совершенство окружающих нас предметов? Для достижения этой цели поставлены задачи:

  • Изучить понятие золотого сечения.

  • На примерах найти применение золотого сечения.

  • Произвести опрос одноклассников.

  • Наглядно продемонстрировать связь математики и золотого сечения.

  • Сделать соответствующие выводы.

Гипотеза: Математика и «Золотое сечение» - идеальная красота, точность и гармония.

Методы исследования:

  • Сбор и получение научно значимой информации.

  • Обработка полученной информации.

  • Представление об изучаемом объекте.

  • Наблюдение. Сравнение. Применение.

  • Опрос одноклассников.

  • Оформление работы.

Основная часть.

«Математика… выявляет порядок, симметрию

и определённость, а это – важнейшие виды

прекрасного».

Аристотель.

1.1.Основатели учения

Искусство и математика появились много столетий назад. Правда в те времена люди даже и не догадывались о том, что в будущем нам это очень пригодится.

Находя во многих источниках материал о золотом сечении, мы знакомимся с одними и теми же фактами, которые исторически излагаются в одном и том же порядке.

Я хочу перечислить великих ученых и творческих личностей древности, которые разным способом были связаны с историей золотого сечения.

Моим современникам точно неизвестно, когда и кто именно ввел термин «золотое сечение». Но принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научное обращение древнегреческий философ и математик Пифагор.

Пифагорейцы изучали пропорции, т.е. равенства отношений. Они верили, что в основе всех вещей лежит число, и для того чтобы понять устройство мира, надо познать управляющие им числа.

Пифагорейцы не просто стремились всё измерять при помощи чисел, но и сравнивать измеренные величины, находя общую связь между ними.

Древнегреческий философ Платон (427-347 гг. до н. э.) свой диалог «Тимей» посвятил рассмотрению вопросов «золотого деления» школы Пифагора.

Евдокс Книдский (408-365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях - одно из достижений греческой математики. Ввел понятие геометрической величины, т.е. длины отрезка.

Впервые золотое деление упоминается у древнегреческого математика Евклида в теоретическом трактате о математике «Начала». Во второй книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления.

После Евклида, исследованием золотого деления, занимались древнегреческий математик и астроном Гипсикл Александрийский (II век до н.э.) и древнегреческий математик второй половины III века до н.э. Папп. Его трактат «Математическое собрание» является руководством для изучения греческой геометрии.

Некоторые авторы в своих работах связывают великого итальянского художника и изобретателя эпохи Возрождения Леонардо да Винчи с тем, что он дал этому делению название «Золотое сечение». Хотя термин был введён в обиход лишь в 1835 году немецким математиком Мартином Омом.

Монах Лука Пачоли, который был не только современником, но и другом Леонардо да Винчи назвал это отношение «Божественной пропорцией». (Приложение 3; Приложение 3.1.)

2.2. Знакомство с понятием золотого сечения.

«Есть в математике нечто вызывающее

человеческий восторг».

(Ф. Хаусдорф.)

Под «золотым сечением» понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части , при котором , длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части - относится к меньшей.

С/В = В/А = 1,618

Золотое сечение обозначается символом Ф=1,618033989… Это значение названо в честь древнегреческого скульптора Фидия, который всегда использовал в своих работах золотое сечение. (приложение 6.)

Математик Фибоначчи , впервые , получил последовательность чисел, названной в его честь - числами Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Этот ряд представляет собой такую последовательность, в которой каждый член равен сумме двух предыдущих.  и т.д. При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф. Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа 

Алгебраически золотое сечение можно выразить дробями  и т.д.

Проведём маленький эксперимент. Загадаем два любых числа. Пусть это будет 4 и 7. Составим третье число (сумму двух предыдущих). Это будет 11. Дальше запишем ряд, подобно примеру.  Теперь, поделим пятнадцатое число на четырнадцатое. У нас получилось число Ф.

Геометрически найти золотое сечение отрезка можно с помощью линейки и циркуля.

2.3. Золотое сечение в природе

«Правильному применению методов

можно научиться только

применяя их на разнообразных примерах.»

(Г. Цейтен.)

Когда я начал готовиться к работе, то заметил, что зрительно делю окружающие меня предметы на части.

Мне очень нравится комната, в которой я живу. Она поделена на зоны: где я делаю уроки, занимаюсь спортом, отдыхаю. То есть комната поделена на неравные части.

При помощи рулетки, я измерил длину комнаты и расстояние, которое выделено для каждой зоны. Записал все данные в графическую таблицу. Разделив большее на меньшее , я получил значения: 1,56 и 1, 78. И пришёл к выводу, что такое деление приближено к золотому сечению. (Приложение 5 и 5.1.)

Такое соотношение размеров воспринимается глазом интуитивно, как приближённое к идеальному .

Поэтому, в пространстве, оформленном согласно золотому сечению, приятно жить, учиться и отдыхать.

В искусстве есть правило диагонального золотого сечения.

Его используют в основном тогда, когда в изображении есть несколько разных по смыслу областей. Для этого в прямоугольнике проводят диагональ. Затем из вершины необходимо провести перпендикуляр к проведённой диагонали. В результате получаются три треугольника разных размеров. В них и будут находиться объекты, которые имеют, каждый, свою значимость.

У меня дома есть картина. Я не знаю автора, но мне стало интересно узнать, чем она меня привлекает. Я решил применить правило диагонального золотого сечения и проверить: пользовался ли автор этим правилом? (Приложение 6.)

Проведя диагональ и перпендикуляр к ней, я получил 3 треугольника разных размеров. В большом - изображены здания в одном стиле и в одной цветовой гамме. В среднем треугольнике мы видим огромное небо и кроны деревьев, которые тянутся ввысь. В маленьком - здание более тёмных тонов, которое выходит на передний план.

Получается, что при помощи геометрических приёмов, я смог разобраться, каким образом, разные части увиденного , гармонично складываются в одно целое. Я понял, что эта работа выполнена в золотом сечении.

Золотое сечение встречается и в литературе. Чтобы это проверить я выбрал маленький детский стишок Агнии Барто «Козлёнок».

У меня живёт козлёнок,

Я сама его пасу.

Я козлёнка в сад зелёный

Рано утром отнесу.

Он заблудится в саду-

Я в траве его найду.

Если принять за 1 знак: слова, предлоги, знаки препинания, то получится 30 знаков. Я разделил 30 на число Ф (1. 618) и получил 19.

Отсчитав 19 знаков, я получил золотое сечение. Действительно стишок делится на две части. Каждая часть написана в разной рифмовке. Первая часть имеет перекрёстную рифму, вторая – парную, а в целом получился красивый, для восприятия, детский стишок.

Что общего в подсолнухе, рогов млекопитающих, лепестков роз? Их объединяет золотая спираль. Она вписывается в золотой прямоугольник. Отношение длины и ширины которого равно числу Ф.

Если последовательно отрезать от прямоугольника квадраты и вписывать в каждый из них по четверти окружности, мы получим золотую спираль.

Однажды, мне подарили ракушку. Готовя свою работу, я обратил на неё внимание. Внимательно рассмотрев подарок, увидел, что ракушка имеет форму спирали. Причём расстояние между ответвлениями, с каждым витком, увеличивается и приближается к пропорции золотого сечения . (Приложение 7.)

У любого человека есть свой взгляд на красоту увиденного. Бывает так, что некоторые вещи более притягивают к себе наш взор.

Я решил узнать мнение своих одноклассников. Показав четыре фотографии, попросил выбрать, кто им больше понравился. В опросе участвовали ученики нашей школы из 5 «б», 8 «а» и 9 «г» классов. Данные внёс в таблицу. (Приложения 8)

Результат опроса показал, что ребятам понравились лица, пропорции которых более приближённы к идеальным.

Есть определённые правила, по которым изображают фигуру человека. Основное деление человеческого тела - делится точкой пупка. Если фигуру человека перевязать поясом и отмерить потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение.

Меня заинтересовал этот вопрос. Я попросил своих родных и друзей принять участие в эксперименте.

Сначала я замерил пропорции кисти руки у моей тети. Сделав замеры от запястья до косточек, от косточек до первой фаланги большого пальца, между фалангами, от второй фаланги до конца пальца. Получил значения: 8см.; 5см.; 3см.;2см. (Приложение 9.)

Замерив пропорции лица и тела моих друзей, результаты внёс в таблицу. Методом вычислений и сравнений пришёл к выводу, что в пропорциях человеческого тела наблюдается золотое сечение в большей или меньшей степени. (Приложение 10 и 10.1.)

Заключение

«Природа формирует свои законы

языком математики.»

(Г. Галилей.)

В ходе своей работы я познакомился с понятием золотого сечения, гармоничным и притягательным числом Ф. Выявил основные математические истоки пропорции золотого сечения и способы воплощения в искусстве, в литературе, в природе, в быту.

Эта пропорция занимает одну из ведущих ролей в нашей жизни. Был произведён опрос одноклассников, который подтвердил теорию о том, что более совершенные лица, притягивают к себе внимание.

На разных примерах я увидел и почувствовал, что число 1,618… притягивает к себе так же, как всё то, в чём оно встречается.

Понятно, что не всё в природе подчиняется правилам «золотого сечения», но там, где оно присутствует, выглядит более совершенным.

Подведя итог своей работе, я могу сказать, что математика тесно связана с теорией золотого сечения. А то, что красота может быть вычислена, доказывает красоту самой математики.

Список использованной литературы.

  1. Лиман М. Н. Школьникам о математике и математиках. М: «Просвещение» 1981 г.

  2. Марио Ливио . Ф- число Бога. Золотое сечение-формула мироздания. М: АСТ, 2015г.

  3. Энциклопедия изобретений и открытий. От колеса до коллайдера. М: «Махаон» 2012г.

  4. Агния Барто. Любимые стихи. М: «Олма медиа групп» 2011г.

  5. Интернет.

Приложение 1.

 

Мона Лиза

Работа Леонардо да Винчи

1503-1505г.

Приятное взору лицо современной девушки

 

П

Объект, который должен быть центральной фигурой в композиции, не всегда располагается в центре. Существует 4 точки, на расстоянии 3/8 и 5/8 от краёв картины. Нарисовав сетку, получим эти точки, которые привлекают внимание.

риложение 2.

 

Приложение 3.

 

Пифагор. (580-500 г.г. до н.э.)

 

Платон (427-347 гг. до н.э.)

Евклид (408-365гг. дон.э.)

Приложение 3.1

 

Евдокс (408- ок.365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях.

 

.

Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.)

 

Лука Пачоли (1445-1517г.г.)

Приложение 4.

 

Фидий (1-я половина V века до н.э.)

 

 

Леонардо Фибоначчи (1170-1250 г.г.)

 

Приложение 5.

Приложение 5.1

Приложение 6.

Приложение 7.

 

Количество голосов

Рис. 1

24

Рис. 2

1

Рис. 3

1

Рис. 4

2

Приложение 8.

Рис. 1. Рис. 2. Рис.3. Рис.4.

Приложение 9.

 

E

 

 

В

А

С

D

 

Приложение 10.

Приложение 10.1.

Измерение пропорций тела.( в см.)

Имя

Рост

Пол-пуп

Пуп-макушка

Алина

155

96

59

Катя

149

93

56

Слава

153

96

57

Даня

142

86

54

155:96=1,61 96:59=1,63 149:93=1,6 93:56=1.67 153:96=1,6 96:57=1,69 142:86=1,66 86:54=1.6

Измерение пропорций лица. (в см.)

Имя

Подбородок-макушка

Подбородок-брови

Брови-макушка

Алина

21

13

7

Катя

18

11

7

Слава

19

12

7

Даня

20

12

8

21:13=1,62 13:7=1,85 18:11=1,64 11:7=1,57

19:12=1,58 12:7=1,71 20:12=1,67 12:8=1,5

Рецензия

Работа представляет собой исследование по изучению «Золотого сечения». Актуальность работы заключается в том, что многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей. В своей работе Гостюхин Данила попытался ответить на вопрос, почему они так приятны взгляду и изучить связь между красотой и математикой.

Содержание работы полностью соответствует заявленной теме.

Исследовательская работа имеет логически правильную структуру. Она состоит из введение, основной части, заключения, спискаиспользованной литературы и приложения.

Во введении указывается актуальность исследования, ставятся цель и задачи, выдвигается гипотеза, а так же перечислены основные методы исследования. Цель работы четко сформулирована и обоснована.

В основной части перечислены основатели учения, введено понятия «золотого сечения», а так же приведены примеры золотого сечения в природе.

Так же, Данила проводил опрос, результаты которого представлены в виде диаграммы, и эксперимент.

Завершается работа выводами, в которых излагаются результаты исследования и подтверждение гипотезы.

Работу Данила выполнял самостоятельно, используя материалы Интернета и литературы, рекомендованной ему для исследования.

Работа грамотно оформлена. Она содержит большое количество иллюстративного материала, что позволяет более наглядно раскрыть ее основные результаты.

На протяжении всего периода работы над проектом у ученика формировались необходимые предметные знания и умения, общеучебные умения и навыки, необходимые компетентности.

Считаю, что научно-исследовательская работа Гостюхина Данилы может быть представлена на Международном конкурсе научно-исследовательских и творческих работ учащихся «СТАРТ В НАУКЕ» и заслуживает положительной оценки.