III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ВЛИЯНИЕ МОДУЛЯ НА СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
Беляев А.Д.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Функция — основное понятие математики. Именно она позволяет изучать и описывать различные процессы природы и техники, поэтому изучение поведения функций и построение их графиков является важным в школьном образовании. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций и описывать их свойства представляет большой самостоятельный интерес. Реальной необходимостью в наши дни становится хорошая математическая подготовка, ведь всё больше специальностей требуют высокого уровня образования, связанного с непосредственным применением математики (физика, химия, техника, информатика, психология и др.). Таким образом, математика становится профессионально значимым предметом. Всё выше сказанное обуславливает актуальность данного исследовательского проекта.

Функции, содержащие модуль» – тема особенная в школьном курсе математики. С одной стороны - рассмотрение задач, связанных с понятием модуля, а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля, появляется в учебниках основной школы лишь эпизодически, в базовом курсе основной школы графикам, содержащим модуль, не уделяется времени, а задания включаются в основном в качестве дополнительных, т.е. представление данной темы в школе дается «вскользь». С другой стороны - задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах и в экзаменационных работах ОГЭ. Свободное владение таким учебным материалом является составной частью хороших математических знаний любого ученика.

В наших КИМАх есть задачи про линейную функцию с модулем, но их почти нет в нашем учебнике!

Необходимость разрешения данного противоречия определяет проблему исследовательского проекта: что из себя представляет график линейной функции, содержащей модуль, и как влияет модуль на свойства знакомой нам линейной функции?

Объект исследования: линейная функция.

Предмет исследования: свойства линейной функции с модулем.

Цель исследования: определение связи между расположением знака модуля в формуле линейной функции и её свойствами.

Гипотеза: Если менять положение знака модуля в формуле, задающей линейную функцию, то будут изменяться основные свойства этой функции.

Задачи:

- проанализировать и обобщить учебную литературу по теме проекта;

- обобщить основные теоретические сведения по темам «Модуль» и «Линейная функция»;

- построить графики различных линейных функций, содержащих модуль, с использованием специального сервиса и описать их свойства;

- проанализировать основные изменения в свойствах рассматриваемых функций;

- обобщить и систематизировать полученные данные.

Методы исследования:

- анализ;

- синтез;

- сравнение;

- систематизация;

- компьютерное моделирование.

Данная работа имеет практическую значимость: во-первых, значительно дополняется материал школьного учебника по теме «Линейная функция»; во-вторых, использование данных этого учебного исследования будет полезно при подготовке к ОГЭ при выполнении задания №23 второй части модуля «Алгебра», а также будет полезным для учащихся, желающих более глубоко и осознанно изучать математику.

Авторы школьных учебников практически детально не обращаются к свойствам функций с модулем, поэтому подробное рассмотрение этого вопроса на уроках математики будет иметь для большинства учеников элемент новизны.

Работа состоит из двух основных частей: теоретической и практической. В теоретической части (главы 1 – 3) обобщается анализ изученной литературы по теме, приводятся основные теоретические сведения по темам «Модуль» и «Линейная функция», также приводятся краткие исторические справки. В практической части проекта (глава 4) приводятся результаты исследования о взаимосвязи между расположением знака модуля в формуле линейной функции и её свойствами.

В приложении представлен комплект графиков линейной функции, содержащих модуль, выполненных с помощью специального сервиса построения графиков онлайн.

Глава 1. Обзор литературы

В школьных учебниках математики «модулю» уделяется немного внимания, хотя дополнительной учебной литературы для элективных курсов по данной теме достаточно.

Книга В.И. Голубева [1] посвящена эффективным методам решения нестандартных задач с модулем и предназначена для учителей математики и учащихся старших классов. В книге освещаются вопросы, связанные с понятием модуля, многие из которых почти не отражены в школьных учебниках. На доступном языке автор рассматривает примеры и задачи с модулем.

Пособие "Элективный курс по математике "Красавицы функции и их графики" для 9 класса [6] представляет собой разработки занятий элективного курса по математике. для 9 класса. В книге гармонично сочетаются практический и теоретический материал, который позволяет школьнику более успешно усвоить знания по данной теме. Очень много внимания уделено практическим заданиям на изучение графиков функций с модулем. Пособие написано доступным языком, отличается стройностью и логичностью, создает условия для самостоятельной творческой деятельности.

Сборник элективных курсов [3] содержит материалы для учащихся 8-9 классов по ключевым темам курса математики основной школы, в том числе и по теме "Модуль". Основная цель - создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр решаемых задач. Хотя пособие и предназначено для учителей математики, но ученики легко его могут использовать при самостоятельной работе, в книге много необходимо теоретического материала, изложенного в доступной форме, и тренировочных заданий для отработки и закрепления необходимых знаний и умений.

В учебном пособии «Функции и их графики» [4] содержится основной теоретический материал, позволяющий систематизировать знания и умения учеников по разделу школьной математики "Функции и их графики". Доступная форма изложения позволяет работать самостоятельно всем ученикам независимо от их уровня подготовки.

Глава 2. Модуль: общие сведения

  1.  
    1.  
      1. Историческая справка

Модуль происходит от лат. modulus — «маленькая мера».

Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский математик и философ Роджер Котс, который в свою очередь являлся учеником знаменитого ученого Исаака Ньютона.

Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц также в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mol x. Однако, уже общепринятое и современно значение модуля как абсолютной величины было дано еще в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом.

  1.  
    1. Определение и свойства модуля

О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.

Применяют запись: |a| =

С в о й с т в а м о д у л я:

1) |–a| = |a|

2) |a·в| = |a|·|в|

3) , где в ≠ 0.

4) |a + в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

5) |a| + |в| = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

6) |a – в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

7) Для а1, а2ап справедливо

|a1 + а2 + … + ап| ≤ |a1| + |а2| + … + |ап|.

8) .

9) |a|2 = а2.

10) |a| – |в| ≥ 0 тогда и только тогда, когда а2в2 ≥ 0.

Г е о м е т р и ч е с к о е т о л к о в а н и е: каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число.

Глава 3. Линейная функция: общие сведения

3.1. Историческая справка

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Можно считать, что вавилонские ученые (4-5 тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев.

Начиная с 17 века, французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт разработали единую буквенную математическую символику. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x,y,z.

У Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени и назвал её «флюента».

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница - понятие функции носило интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсциссы (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г. Лейбницем. Впервые ввёл термины «константа» и «переменная».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году Леонард Эйлер «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

  1.  
    1.  
      1. Определение и свойства линейной функции

О п р е д е л е н и е. Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

График линейной функции – прямая (рис.1).

Рис. 1.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b). Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат. Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

С в о й с т в а л и н е й н о й ф у н к ц и и:

1) Область определения линейной функции есть все действительные числа;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть все действительные числа. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Точки пересечения с осями координат:

- с осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b);

- с осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0).

5) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k:

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

6) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k:

а) k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения;

б) k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

Глава 4. Изучение влияния модуля на свойства линейной функции

Для проведения исследовательской части проекта воспользуемся сервисом построения графиков функций онлайн «y(x).ru». Точка доступа: http://yotx.ru/

План исследования:

  1. Будем рассматривать графики функции общего вида y=kx+b, где k0, b0.

  2. Рассмотрим все возможные случаи: k>0,b>0; k>0,b0 при х