III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КРИВЫХ, СВЯЗАННЫХ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Корягин А.Л.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Циклоидальная кривая – плоская кривая, рисуемая точкой на окружности, катящейся по какой-нибудь линии.

Применение циклоидальных кривых разнообразно, как и различные их виды. Одним из самых известных случаев применения циклоиды является «ледяная гора» – кривая наискорейшего спуска, перевёрнутая циклоида. Циклоидальные кривые широко применяются в технике для построения профилей вращающихся механизмов. Дальнейшее исследование циклоидальных кривых может открыть новые возможности их оптимального применения.

Цель: исследовать зависимость получения циклоидальных кривых от параметров движения точки.

Задачи:

  1. Изучить известные факты о циклоидальных кривых.

  2. Создать динамические апплеты в среде GeoGebra для моделирования различных циклоидальных кривых.

  3. С помощью созданных моделей исследовать, какие параметры и как влияют на получение циклоидальных кривых.

В рассмотренной литературе и электронных ресурсах описаны различные интересные свойства циклоидальных кривых, исследованные с помощью сложного математического аппарата. В данной работе исследование проводится с помощью самостоятельно созданных динамических моделей.

1. Виды циклоидальных кривых

1.1 Циклоида

Паскаль писал о циклоиде, что она является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Первым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.

В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время. Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.

Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим. Более того, брахистохрона имеет также ещё одно удивительное свойство: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида. Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.

1.2. Эпициклоиды

Среди эпициклоид (окружность катится по внешней стороне другой окружности) известна кардиоида. Это линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Каре (1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Кастиллоном. Вычисление длины кривой выполнил Ла Ир, открывший кривую независимо в 1708 году. В дальнейшем к кривой проявили интерес многие видные математики ХVIII – ХIХ веков.

Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.

1.3. Гипоциклоиды

Гипоциклоида образуется точкой, закреплённой на окружности, которая катится по внутренней стороне другой окружности.

Наиболее известные гипоциклоиды: астроида и дельтоида (кривая Штейнера).

Астроида – с греческого звездообразная. Астроида имеет 4 каспа (с английского cusp – заострение). Название предложил австрийский астроном Карл Людвиг Литров (1811 – 1877 гг.)

Дельтоида имеет три каспа, она по форме напоминает заглавную греческую букву дельта , отсюда и название. Её свойства впервые изучались Леонардом Эйлером в ХVIII веке, а затем Якобом Штейнером, в честь которого она получила другое название – кривая Штейнера. Якоб Штейнер – шведский математик, изучавшего эту кривую в 1856 году.

2. Создание динамического апплета для получения

циклоидальных кривых в компьютерной среде GeoGebra

  1. Сначала поставим точки A, B и C с интервалом в 1 клетку.

  1. Построим окружности c и d по точкам A, B и A, C с центром в точке A.

  1. Выберем функцию «Не показывать объект» для точек A, B, C.

  1. Отметим точки D и E на окружностях c и d.

  1. Выберем функцию «Не показывать объект» для окружности d.

  1. Построим окружность e по точкам D и E с центром в точке E.

  1. Выберем функцию «Не показывать объект» для точек D, E.

  1. Поставим точку F на окружность e.

  1. Выберем функцию «Оставлять след» для точки F.

  1. Изменим размер и цвет точки F.

  1. Изменим скорость точки F с 1 на 2.

  1. Включим функцию «Анимировать» для точек D, E, F.

  1. Получим результат:

.

3. Эксперименты

Рассмотрим циклоидальные кривые, получаемые при движении точки по окружности, катящейся вдоль другой окружности. Для экспериментов созданы динамические апплеты в среде GeoGebra, позволяющие менять параметры движения точки. При этом будем менять по очереди скорость вращения, соотношение радиусов и направление движения.

Точка F движется по окружности радиуса r, катящейся внутри / вне окружности радиуса R. Движение против часовой стрелки положительно (+), движение по часовой стрелке отрицательно (-).

Скорость – это количество оборотов, описанных точкой F при вращении окружности радиуса r за время продвижения вдоль окружности радиуса R. Отношение радиусов показывает коэффициент .

3.1. Изменение скорости вращения движущейся окружности.

В экспериментах № 1 – 4 (см. приложение) изменялась скорость вращения движущейся окружности для гипоциклоиды при k = 4. При этом количество каспов также изменяется: каждый раз получаем на 1 касп больше, чем величина скорости вращения.

Аналогичная закономерность наблюдается при k = 3 в экспериментах

№ 5 – 7, направление при этом не изменялось.

Изменив направление вращения движущейся окружности в экспериментах № 8 и 10, видим, что по-прежнему при возрастании скорости на единицу, количество каспов также увеличивается на единицу. Но теперь каждый раз получаем на 1 касп меньше, чем величина скорости вращения.

Если изменять скорость вращения для эпициклоиды получим аналогичный результат: увеличение каспов при увеличении скорости, на 1 касп меньше, чем величина скорости независимо от соотношения радиусов.

3.2. Изменение направления вращения и движения

по окружности.

Уже было замечено, что при изменении направления вращения движущейся окружности изменилась зависимость между скоростью и количеством заострений / петель. Если точка на окружности вращается по часовой стрелке (-), то при v = n количество каспов п + 1. Если точка вращается против часовой стрелки (+), то при v = n количество каспов п – 1. Направление движения окружности радиуса r по окружности радиуса R при этом не менялось.

Поменяем оба направления движения (и точки, и окружности) так, что при изменении они остаются различными: в эксперименте № 18 (-/+), а в эксперименте № 21 (+/-): получаем совершенно одинаковый результат. Аналогично в экспериментах № 9 и 19 изменили (-/-) на (+/+), оставив остальные параметры прежними, и получили равные фигуры.

3.3. Изменение соотношения радиусов окружностей.

В экспериментах № 5 и 18 с помощью изменения соотношения радиусов: в гипоциклоиде k= 3, а в эпициклоиде k= 1, скорости и направления одинаковы, получаем одинаковый результат – дельтоид.

В экспериментах № 11 и 15 за счёт увеличения kпри равных видах движения (эпициклоиды) и равных остальных параметрах получили вместо петель заострения. В экспериментах № 9 и 14 также произошло изменение только параметра k, и теперь заострение становится более плавным. То есть в обоих случаях за счёт увеличения k происходит растяжение («выпрямление») каспа.

Заключение.

В ходе работы были смоделированы в компьютерной среде GeoGebra различные виды движения точки по движущейся окружности и исследованы зависимости получения траектории точки от различных параметров. Исследования показали:

  1.  
    • разделение циклоидальных кривых по форме на гипоциклоиды и эпициклоиды оказалось условным – можно получить одинаковые кривые как при движении точки, закреплённой на одной окружности внутри другой, так и при движении одной окружности по внешнему контуру другой;

    • изменение направлений движения и вращения одновременно не изменяет формы траектории точки;

    • изменение скорости вращения точки даёт изменение количества каспов – заострений или петель;

    • при уменьшении радиуса движущейся окружности наблюдается стремление каспов к выпрямлению.

Исследование циклоидальных кривых, включая историю их открытий и открытий, связанных с ними, а также примеры их разнообразного применения, интересно и может продолжаться дальше на новом уровне в ходе изучения математики. С этими кривыми связано возникновению вариационного исчисления, их применяют в механике, на производстве различных вращающихся механизмов, и, возможно, с ними ещё придётся встретиться в будущей профессии.

Использованные источники и литература

  1. Берман, Г.Н. Циклоида / Г.Н. Берман // М. – Наука, 1980 – 112 с.

  2. Веров, С. Г. Тайны циклоиды / С.Г. Веров // Квант. – 1975. - № 8 [Электронный ресурс], URL:

http://kvant.mccme.ru/1975/08/tajny_cikloidy.htm

  1. Математические этюды [Электронный ресурс], URL:

http://www.etudes.ru/ru/sketches/

  1. Смирнова, И.М., Смирнов, В.А. Сайт УМК по геометрии для 5 – 11

классов [Электронный ресурс], URL: http://geometry2006.narod.ru/Lessons/Lessons5-6.htm

Приложение

Эксперименты

№ экспери-

мента

k

v

вид

движения

(внеш./внут.)

направление

движения

кривая

Точки по окр.(r)

Окр.(r) вдоль

окр. (R)

1

4

2

внутри

окружности (R)

-

+

 

2

4

3

внутри

окружности (R)

-

+

 

3

4

5

внутри

окружности (R)

-

+

 

4

4

7

внутри

окружности (R)

-

+

 

5

3

2

по внутренней

стороне

окружности (R)

-

+

 

6

3

3

по внутренней

стороне

окружности (R)

-

+

 

7

3

5

по внутренней

стороне

окружности (R)

-

+

 

8

3

2

по внутренней

стороне

окружности (R)

+

+

 

9

1

2

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

10

3

3

по внутренней

стороне

окружности (R)

+

+

 

11

1

3

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

12

1

5

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

13

1

8

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

14

2

2

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

15

2

3

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

16

3

3

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

17

3

4

по внешней

стороне

окружности (R)

+

+

 

18

1

2

по внешней

стороне

окружности (R)

-

+

 

19

1

2

по внешней

стороне

окружности (R)

-

-

 

20

1

3

по внешней

стороне

окружности (R)

-

-

 

21

1

2

по внешней

стороне

окружности (R)

+

-

 

22

1

3

по внешней

стороне

окружности (R)

+

-