III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Карпова Е.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Данная работа посвящена планиметрическим задачам, так или иначе связанных с нахождением площади.

В жизни на каждом шагу встречаемся с площадями. Площадь-это квадратный метр наших квартир, гектары полей, квадратные километры лесов и т.д.

Что такое площадь, знает каждый. А действительно ли это так?

Давайте задумаемся, по решаем, сегодня, задачи и постараемся ответить на вопрос: что такое площадь?

И вы увидите что не так-то это просто. Не зря в 11 классе на ЕГЭ в первой части есть задание на нахождение площади плоских фигур.

Я узнала, пока готовилась к конференции: оказывается в математики смогли создать соответствующую математическую теорию о площади сравнительно недавно. Правда, это никому не мешало успешно использовать понятие площади в науке, и на практике уже с незапамятных времен.

Решению задач на площади с помощью формул и не только посвящена данная работа.

3

Основная часть.

Математика-это язык, на котором говорят все точные науки.

Давайте, исходя из обычного здравого смысла, ответим на вопрос, что такое площадь и каковы ее свойства.

Итак, что такое площадь?

Прежде всего площадь-это некоторая характеристика геометрической фигуры, расположенной на плоскости или на иной поверхности.

Площадь- это число, которое ставится в соответствие ограниченной плоской фигуре.

Свойство 1. Площадь фигуры является неотрицательным числом. ( S≥0)

Свойство 2. Площадь равных фигур равны.

Свойство 3. Если фигура разделена на 2 части. То площадь всей фигуры равна сумме площадей образовавших частей.

Рассмотрим задачи, которые можно решить без вычисления, проводя лишь геометрические построение использую основные свойства площади. Этот способ называется способом «Разрезания и складывания». Основной принцип метода основан на том, что Если два многоугольника удается разбить на одинаковые части( такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда следует , что площади этих многоугольников равны.( говорят что такие многоугольники равновелики.)

Справедлива следующая теорема:

Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник .

На практике разбиения фигур на части, из которых потом будут составлены другие фигуры, требует определенной изобретательности и сообразительности. Продемонстрируем этот прием на простых примерах.(6 слайд)

Задача № 1 ( 6 слайд)

Доказать , что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей из его диагоналей.

Доказательство:

Прямоугольник и восьмиугольник равновелики, так как пары треугольников равны. AB и BC очевидно равны MN и PK соответственно =» Sabcd=Smqlfneht=MN*PK. Что и требовалось доказать.

Задача №2

Доказать, что средняя линия треугольника площади S отсекает от него треугольник площади 1/4S.

Доказательство: Проведем все средние линии. Он разбивает исхоный треугольник на 4 треугольника.Так как проведенные среднии линии параллельны соответствующим стронам треугольника, то каждые два треугольника с общей стороной состовляют параллелогам , разбитый диагональю на два равных треугольник.

Следовательно все 4 треугольника имеют одинаковую площадь Х. Так как сумма их площадей согласно свойству 2 равна 4Х, а по свойству 3 она равна S, то Х=S/4.

Что и требовалось доказать.

X

X

X

X

 

Задача №3

Доказать, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на нее из середины другой боковой стороны.

Доказательство: Пусть ABCD-данная трапеция с основаниями AD и BC,

K- середина стороны CD и KH-перпендикуляр, опущенный на прямую AB. Проведем через точку K прямую, параллельную прямой AB.

Пусть M и P - точки её пересечения с прямыми AD и BC. Согласно 3 свойству площадей Sabpm=Sabckm+Scpk,

Sabcd=Sabckm+Skmd

KMD=CPK( по сторонам и двум прилежащим углам) поэтому

Skmd=Scpk=» Sabpm=Sabcd= KH*AB

АD

Ну и в заключение с помощью метода «Разрезание и складывания» можно доказать теорему Пифагора.

6

Отношение площадей ( 11 слайд)

Очень часто при решение геометрических задач приходится находить, как связаны площади тех или иных фигур. Но для того, чтобы установить равенство или отношении площадей вовсе не обязательно разрезать и складывать. Например, очень часто бывает удобно сравнить площадь двух треугольников, используя формулу площади треугольника. Мы приведем некоторые очевидные следствия из этой формулы.( утверждение1: если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной его основанию, то его площадь при этом не меняется.)

Поясним на примере. На рисунке треугольники ABE,ABC и ABD имеет одинаковые площади, т.к. у них общее основание AB и равные высоты, опущенные на это основание( прямые АВ и СЕ).

Задача №4

Дано: пусть точка О- точка пересечения отрезков AC и BD.

Доказать, что для того, чтобы площади треугольников AOB и DOC были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые AD и BC были параллельны. Доказательство

1) Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Они имеют общее основание AD и, если прямые AD и BC параллельны, то высоты,опущенные на основание AD и из точек C и B,равны. Откуда следует что площади рассматриваемых треугольников равны.

2)Если площади треугольников ABD и ACD равны, то, т.к. они имеют общее основание AD, высоты, опущенные на прямую AD из точек B и C, также равны.

Но это означает что AD параллельно BC.

7

Утверждение 2: пусть дан отрезок AB. Множество точек M таких,что площадь треугольника ABM равна заданной величине S,есть две прямые ,параллельные отрезку AB и находящиеся от него на расстоянии h=2S/AB.

Утверждение 3: если треугольники имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований.

Задача №5

Дано: в треугольнике ABC на продолжение стороны AB выбрана точка К так, что АВ=ВК, а на стороне АС- точка Р так, что АР:РС=1:3.

Найти площадь треугольника АРК, если площадь треугольника АВС=1.

Решение: рассмотрим вспомогательный треугольник AKC. Треугольники ABC и AKC имеют общую высоту,опущенную из точки C. Следовательно,их площади относятся так же,как относятся их основания: AK:AB. Ясно что

AK:AB=2.Значит,площадь треугольника AKC равна 2. Рассмотрим теперь треугольники AKC и AKP. Они также имеют общую высоту,опущенную из вершины K, а их основания AC:AP=3:1.Следовательно площадь треугольника AKP равна 1/3 от площади треугольника AKC, т.е. 2/3.

Задача №6

Дано: Пусть диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S1, S2, S3, S4 соответственно.

Доказать:S1S3=S2S4

Доказательство:AOB и AOD относятся как BO:OD, но площади треугольников BOC и COD также относятся как BO:OD. Следовательно S1/S4=S2/S3=» S1S3=S2S4.

Теоремы Чевы и Менелая

Согласно утверждению о площадях треугольников с равными высотами Sabb1:Sbcb1= AB1:B1Cи Saeb1:Secb1=AB:B1C

Sabe = Sabb1- Saeb1= AB1

Sbce Sbcb1-Secb1 BC1

Таким образом отношение площадей треугольников ABE и BCE не зависит от выбора точки Е и зависит только от выбора точки B1 на стороне AC.

С помощью полученного результата можно доказать знаменитую теорему Чевы.

Теорема Чевы:

Пусть точка A1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка B1- на стороне AC, а точка C1- на стороне AB. Отрезки AA1,BB1и CC1( называемые также чевианами) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

AC1 BA1 CB1

C1B A1C B1A

Доказательство : 1) Пусть отрезки AA1,BB1и CC1 пересекаются в одной точке Е. тогда, согласно доказанному выше, имеем:

Sbec СВ1 Saec AC1 Saeb AB1

Saeb В1А Sceb C1B Saec A1C

Перемножая эти равенства, получим

Теорема Менелая:

Пусть точка А1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка B1- на стороне AC , а точка C1- на продолжение стороны AB . Точки A1,B1и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

AC1 BA1 CB1

C1B A1C B1A

Доказательство:1) пусть точки A1,B1и C1 лежат на одной прямой. Проведем отрезки AA1и BB1 и введем обозначения для площадей получившихся треугольников. Тогда по доказанной выше лемме S1+S5 AC1 .

S4 С1B

Кроме того S4 BA1

S5 A1C

S5 СB1 Согласно утверждению 3 об отношение площади треугольников с

S5+S1 B1A одинаковыми высотами. Перемножая эти равенства, получим:

AC1 BA1 CB1 S1+S5 S4 S5

C1B A1C B1A S4 S5 S1+S5

10

Формула Пи́ка — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами[1] равна

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

В = 7, Г = 8,В + Г/2 − 1 = 10

11

Задачи для самостоятельного решения.

Задача №7

Через точку, взятую на диагонали AC параллелограмма ABCD, проведены прямые , параллельны его сторонам. Данный параллелограмм делится этими прямыми на четыре параллелограмма, два из которых пересекают диагональ AC. Докажите, что два других равновелики .

Доказтельство: Поскольку диагонали пареллелограмма делит его на два равных треугольника, то Sabc=Sadc, Samo=Sano, Scko=Sclo следовательно Soldm=Sadc-Samo-Sclo= Sabc-Sano-Scko=Sbkno.

Задача №8

Доказать с помощью теоремы Чевы теоремы о пересечения в одной точке медиан.

Доказательство: Пусть AA1,BB1,CC1- медианы треугольника ABC. По теореме Чевы обратной отрезки AA1,BB1,CC1 пересекаются в одной точке

Имеем AC1 BA1 CB1 1 1 1

BC1 A1C AB1 1 1 1

12

Задача №9

Доказать с помощью теоремы Чевы теоремы о пересечения в одной точке биссектрис треугольника.

Доказательство: По теореме Чевы обратной AL1 BL2 CL3=O

По свойству биссектрис в треугольнике

AL3 = AC, BL1= AB, CL2= BC отсюда следует что

L3B = BC, L1C = AC, L2A=AB

13

Заключение

Итак, выполняя эту работу, я узнала много нового и интересного о площадях плоских многоугольников. Решая задачи, я открыла удивительные вещи для себя: Теоремы Чевы и Менелая, Пика, нахождение площадей способом разрезания и складывания.

Надеюсь, что эта работа в учебе мне пригодится, особенно при подготовке к олимпиадам по математики, при подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Я буду дальше изучать эту теорию. И решая задачи, я совершу для себя много новых открытий, узнаю много интересного из области математики. И думаю, что моя будущая профессия будет тесно связанна с математикой.

14

Список литературы

  1. Атанасян Л.Е и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательное учреждение - М.: Просвещение,2015г.

  2. Атанасян Л.Е и др. дополнительные главы к учебникам 8 класса для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, 2008г.

  3. Зетель С.И. Новая геометрия теугольника-интернет

  4. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии.Планиметрия-М.:Наука 2006 г.

  5. https://infourok.ru/teorema-chevi-i-menelaya-1309340.html

15