III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Кувардин А.Д.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


 Введение

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Математическая индукция— один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход) . Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции) , то все косточки в ряду упадут.

Я выбрал данную тему для исследования, потому что в школьной программе методу математической индукции уделяют мало времени, ученик узнает поверхностную информацию, которая поможет ему получить лишь общее представление о данном методе, но чтобы углубленно изучить эту тему потребуется саморазвитие. Действительно будет полезно подробнее узнать о данной теме, так как это расширяет кругозор ученика и помогает в решении сложных задач в жизни.

Цели работы:

  • Познакомиться с методом математической индукции;

  • систематизировать знания по данной теме и применить её при решении математических задач и доказательстве теорем;

  • обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Задачи работы:

  • Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме;

  • разобраться в принципе метода математической индукции;

  • исследовать применение метода математической индукции к решению задач ив жизни;

  • сформулировать выводы и обобщить изученный материал по проделанной работе.

Основная часть

История возникновения индукции

Правила логических рассуждений были сформулированы два с половиной тысячелетия назад древнегреческим учёным Аристотелем. Он создал полный список простейших правильных рассуждений, силлогизмов – «кирпичиков» логики, одновременно указав типичные рассуждения, очень похожие на правильные, однако неправильные.

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.

Индукция (induction – по-латыни наведение).

Индукция наглядно иллюстрируется известной легендой о том, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко.Ещё пример из физики: в таком явлении, как электромагнитная индукция, электрическое поле создает, «наводит» магнитное поле. «Ньютоново яблоко» – типичный пример ситуации, когда один или несколько частных случаев, то есть наблюдения, «наводят» на общее утверждение, общий вывод делается на основании частных случаев. Индуктивный метод является основным для получения общих закономерностей и в естественных, и в гуманитарных науках. Но он имеет весьма существенный недостаток: на основании частных примеров может быть сделан неверный вывод. Гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными.

Полная и неполная индукция

Индуктивное умозаключение – такая форма абстрактного мышления, в которой мысль развивается от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности, а заключение, вытекающее из посылок, носит преимущественно вероятностный характер.

Учитывая зависимость отхарактера исследования различают полную и неполную индукцию.

Полная индукция - это умозаключение, в ко­тором общее заключение делается на базе изу­чения всех предметов или явлений данного клас­са. В этом случае рассуждение имеет следующую схему:

К примеру, установление того, что каждый из документов, необходимых для оценки готовности уголовного дела для передачи в суд, имеется, позво­ляет с полным основанием делать вывод, что дело следует передавать в суд

Полная индукция дает достоверное знание, так как заключение делается только о тех предметах или явлениях, которые перечислены в посылках. Но область применения полной индукции весьма ограничена.

Полную индукцию можно применить, когда появляется возможность иметь дело с замкнутым классом предметов, число элементов в котором яв­ляется конечным и легко обозримым. Она предполагает наличие следующих условий:

а) точное знание числа предметов или явлений, подлежащих изу­чению;

б) убеждение, что признак принадлежит каждому элементу класса;

в) небольшое число элементов изучаемого класса;

г) целесообразность и рациональность.

Вот почему полная индукция чаще всего используется при расследова­нии уголовных дел, связанных с недостачей материальных ценностей. Здесь вывод осуществляется на базе подсчета всех без исключения содержащих­ся на складе или в хранилище предметов путем инвентаризации.

При этом в большинстве случаев юристу приходится иметь дело с такими однородными фактами, количество которых не ограничено или которые не все доступны в настоящее время для непосредственного изучения. Вот поче­му в таких случаях прибегают к использованию неполной индукции, кото­рая на практике применяется значительно шире, чем полная.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на базе повторя­емости признака у некоторых явлений определенного класса делается вывод о принадлежности этого признака всему классу явлений. Неполная индук­ция имеет следующую схему рассуждения:

Неполная индукция часто применяется в реальной жизни, так как позво­ляет делать заключения на базе анализа определенной части данного класса предметов, экономит время и силы человека. Правда, в данном случае мы получим вероятностное заключение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ исходя из вида не­полной индукции будет колебаться от менее вероятностного к более вероят­ностному.

По способам обоснования заключения различают следующие виды не­полной индукции:

 

НЕПОЛНАЯ ИНДУКЦИЯ

 

 

научная

популярная

 

Метод математической индукции

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом: мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению логически развивать свою мысль, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Алгоритм:

  1. база - показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев n=1;

  2. предположение - предполагаем, что утверждение доказано для первых kслучаев;

  3. шаг –в этом предположении доказываем утверждение для случая n=k+1;

  4. вывод - утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n.

Заметим, что Методом математической индукции можно решать не все задачи, а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.

Задачи

Как видно из прошлого материала, индукция бывает не только в математике. Иногда называют «неполной индукцией» переход от частных примеров к общим закономерностям. Бывает индукция и в физике (катушки индуктивности, явление самоиндукции). Но в этой работе мы говорим только о математической (полной) индукции.

Что это такое, проще всего объяснить на примерах. Разберём несколько задач.

Задача 1. Несколько прямых делят плоскость на части. Доказать, что можно раскрасить эти части в белый и чёрный цвет так, чтобы соседние части (имеющие общий отрезок границы) были разного цвета (как на рисунке).

Решение. Заметим прежде всего, что не любую «карту» (части | страны, разделённые линиями границ) можно так раскрасить. Например, если в одной точке сходятся три страны и верхняя страна, скажем, белая, то две оставшиеся страны должны быть чёрными, хотя граничат между собой.

Но для плоскости, разрезанной на части прямыми, такого случиться не может, и мы сейчас это докажем. Пусть прямая только одна. Тогда всё просто: одна полуплоскость белая, другая | чёрная (левый рисунок). Если прямых две, получатся четыре части (средний рисунок).

Посмотрим, что произойдёт, если мы на рисунке с двумя прямыми и четырьмя частями проведём третью прямую. Она поделит три страны из четырёх; при этом появятся новые участки границы, по обе стороны которых цвет один и тот же (правый рисунок).

Как же быть? С одной стороны от новой прямой поменяем цвета (белый сделаем чёрным и наоборот). Тогда новая прямая будет всюду разделять участки разного цвета. Другими словами, с одной стороны от прямой мы берём позитив карты, а с другой негатив.

(Придирчивый читатель спросит: а почему старые границы раскрашены правильно? Это легко понять: в позитивной части цвета не изменились,

а в негативной оба цвета заменились на противоположные.)

Теперь ясно, что тем же способом можно добавить ещё одну прямую (перекрасив карту с одной стороны от неё), затем ещё одну и так далее | пока мы не получим нужную нам карту. Задача решена.

Задача 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.

Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k 3, так как минимальное число углов в треугольнике равно 3.

1) При п = 3 наше утверждение принимает вид: S3 = π. Но сумма внутренних углов любого треугольника действительно равна π. Поэтому при п = 3 формула (1) верна.

2) Пусть эта формула верна при n=k, то есть Sk = (k- 2)π, где k > 3. Докажем, что в таком случае имеет место и формула:Sk+1 = (k - 1)π.

Пусть A1A2 ... AkAk+1—произвольный выпуклый (k + 1) -угольник (рис. 338).

Соединив точки A1 и Ak, мы получим выпуклый k-угольник A1A2 ... Ak— 1Ak. Очевидно, что сумма углов (k + 1) -угольника A1A2 ... AkAk+1 равна сумме углов k-угольника A1A2 ... Ak плюс сумма углов треугольника A1AkAk+1. Но сумма углов k-угольника A1A2 ... Akпо предположению равна (k - 2)π, а сумма углов треугольника A1AkAk+1 равна π. Поэтому

Sk+1= Sk + π = (k - 2)π + π = (k - 1)π.

Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и потому формула (1) верна при любом натуральном п > 3.

Задача 4.На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.

Решение.

При n=1 наше утверждение очевидно.

Предположим, что наше утверждение справедливо для любой карты, образованной n окружностями, и пусть на плоскости задано n+1 окружностей. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу сделанного предположения можно правильно раскрасить двумя красками, например черной и белой.

Восстановим затем отброшенную окружность и по одну сторону от нее (например, внутри) изменим цвет каждой области на противоположный (т.е. черный – на белый и наоборот); легко видеть, что при этом мы получим карту, правильную раскрашенную двумя красками.

Задача 5.Для того чтобы карту можно было правильно раскрасить двумя красками, необходимо и достаточно, чтобы в каждой ее вершине сходилось четное число границ.

Решение.

Необходимость этого условия очевидно, так как если в какой-нибудь вершине карты сходится нечетное число границ, то уже страны, окружающие эту вершину, нельзя правильно раскрасить двумя красками.

 

Для доказательства достаточности условия проведем индукцию по числу границ карты.

Для карты с двумя границами утверждение очевидно.

Предположим, что утверждение справедливо для любой карты, в каждой вершине которой сходится четное число границ и общее число границ которой не превосходит n, и пусть дана карта S, имеющая n+1 границ и удовлетворяющая тому же условию. Начиная с произвольной вершины А карты S, станем двигаться в произвольном направлении вдоль границ карты. Ввиду конечности числа вершин карты мы вернемся в конце концов в одну из уже проведенных вершин (карта не имеет крайних вершин, потому что на ней нет неразделяющих границ) и сможем выделить некоторый не имеющий самопересечений замкнутый контур, состоящий из границ карты. Удалив этот контур, мы получим контур S1 с меньшим числом границ, в каждой вершине которой также сходится четное число границ (потому что в каждой вершине карты S отбрасывается четное число границ – 0 или 2). В силу индуктивного предположения карту S1 можно правильно раскрасить двумя красками.

Восстановив отброшенный контур и изменив все цвета с одной стороны от него (например, внутри), мы и получим правильную раскраску карты S.

Задача 6 из жизни .Имеется лестница, все ступени которой одинаковы. Требуется указать минимальное число положений, которые гарантировали бы возможность «забраться» на любую по номеру ступеньку.

Все согласны с тем, что должно быть условие. Мы должны уметь забраться на первую ступень. Далее должны уметь с 1-ой ступеньки забраться на вторую. Потом во второй – на третью и т.д. на n-ую ступеньку. Конечно, в совокупности же «n» утверждений гарантирует нм то, что мы сможем добраться до n-ой ступеньки.

Посмотрим теперь на 2, 3,…., n положение и сравним их друг с другом. Легко заметить, что все они имеют одну и ту же структуру: если мы добрались до k ступеньки, то можем забраться на (k+1) ступеньку. Отсюда становится естественной такая аксиома для справедливости утверждений, зависящих от «n»: если предложение А(n), в котором n – натуральное число, выполняется при n=1 и из того, что оно выполняется при n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно выполняется и для n=k+1, то предположение А(n) выполняется для любого натурального числа n.

Заключение

Итак, индукция (от лат. inductio — наведение, побуждение) — одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки истинности частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Применяя полную индукцию, мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда убедились в её истинности для каждого без исключения значения n. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.

Знакомясь с методом математической индукции, я изучал специальную литературу, консультировалась с педагогом, анализировал данные и решения задач, пользовался ресурсами Интернета, выполнял необходимые вычисления.

Вывод: в ходе работы я узнал, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции.

Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи. Недостатком неполной индукции является то, что порой она приводит к ошибочным выводам.

Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедился в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке. Так же в ходе работы приобрел навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.

Список использованной литературы:

  1. www.mccme.ru – задачи;

  2. www.studfiles.ru – задачи;

  3. dic.academic.ru – энциклопедия.

  4. А. Шень. Математическая индукция. — МЦНМО, 2004. — 36 с.

  5. Википедия- свободная энциклопедия.

  6. Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).

 

17