III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА
Алексеева Д.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

«Какая наука может быть более благородна, более восхитительна,

более полезна для человечества, чем математика»

Б. Франклин

Следуя совету А.М.Горького, всякий, изучающий математику, должен не только вобрать в себя готовые положения этой науки, но и возможно глубже познать те пути, по которым шла человеческая мысль, создавая эти положения.

Поэтому я попытаюсь выяснить историю возникновения, развития логарифмов и значимость логарифмов в жизни человека. Дело в том, что на протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Тогда математики для облегчения вычислений придумали логарифмы. И три столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617), они верой и правдой служили астрономам и инженерам, геодезистам и морякам, сокращая время на вычисления и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас (1749 – 1827), удлиняя жизнь вычислителям. «Канон о логарифмах» Джона Непера начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них»

Проблема: общеизвестно, что в школьном курсе алгебры изучаются логарифмы и логарифмические функции. Мне стало интересно, что же скрывается за этим загадочным понятием, и в моей голове возникли вопросы: «Для чего нужны логарифмы? Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?»

Цель: доказать, что существует практическое применение логарифмов в повседневной жизни.

Задачи:

  • Изучить литературу по данной теме.

  • Познакомиться с понятием логарифма и некоторыми свойствами логарифмов.

  • Провести опрос среди учителей гимназии им. С.В.Байменова и учеников 11-х классов по вопросу применения математики, в частности логарифмов, в жизни человека.

  • Проанализировать полученные данные.

  • Сделать вывод о значимости логарифмов в практической деятельности человека.

Актуальность: при изучении новых понятий или новых разделов математики мы, ученики, часто скептически и с некоторой долей недоверия воспринимаем ту или иную теорию, хотя преподаватель в общем виде объясняет значимость вводимого понятия. Мне пришлось и от взрослых людей услышать фразу: "Вот сколько лет живу и жду, когда же мне пригодятся эти синусы и логарифмы». Поэтому своей работой я должна доказать значимость такого понятия, как логарифм. И это, я считаю, действительно актуально.

Гипотеза: Если в математике существует теория логарифмов, то существующая теория должна где-то найти применение.

Объекты исследования: логарифмы и логарифмическая функция.

Предмет исследования: история возникновения логарифмов и некоторые области практического применения логарифмической функции человеком.

Основная часть

Попытаемся более широко показать применение теории логарифмов. Как было подчёркнуто во введении, во-первых, логарифмы сегодня позволяют упрощать вычисления. Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. С помощью логарифмов можно без труда решить задачи на экономику и банковское дело, различные задачи по физике, химии и биологии. Также для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке и т.п. Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский астроном Эдмунд Гюнтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку (рис.2). Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

 

Рис. 2

 

Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980-х годов, и хотя теперь её практически вытеснили из инженерного обихода микрокалькуляторы, можно смело сказать, что без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах: следуя моде, производители некоторых марок выпустили модели со встроенной логарифмической линейкой, выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата (рис. 3). Производители обычно называют такие устройства «навигационная линейка». Их достоинство – можно сразу, в отличие от микрокалькулятора, получить информацию, соответствующую табличной форме представления (например, таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, перевода миль в километры, подсчёт пульса, определение скорости поезда и тому подобное). Однако, в большинстве случаев логарифмические линейки, встроенные в часы, не оснащены шкалами для вычисления значений тригонометрических функций.

 

Рис. 3

 

Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль (рис. 4, рис. 5).

Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изобра­женной на нем логарифмической спиралью быст­ро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажуще­еся увеличение или уменьшение спирали.

Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}

Рис. 5

Рис. 4

 

Любопытно заметить, что иррациональное число = 1,61803398875....≈ 1.618 - это и есть так называемое "золотое сечение". Золотая спираль - частный случай логарифмической спирали, один из параметров которой связан с золотым сечением.

Логарифмы «на слуху» и в ухе

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия.

Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.7). Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.

 

Рис. 7

 

Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими.

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали (рис. 8). Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

 

Рис. 8

Рис. 9

 

Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик (рис. 9). И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т. е. угол θ между лезвием ножа и направлением скорости его вращения, остается равным и, следовательно, неизменным в силу постоянства угла μ. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. На рис. 10 представлен нож соломорезки.

 

Рис.10

 

Что касается гидротехники, то здесь по логарифмической спирали изгибают трубу, которая подводит поток воды к лопастям турбины (рис. 11). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

 

Рис. 11

 

Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус-векторов используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рис. 12, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причём одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Рис.12

 

Звезды, шум и логарифмы

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины. Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5, легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Физическая «сила» этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. То есть громкость – десятичный логарифм его физической силы.

Также для определения интенсивности звука используется формула , где

N- величина громкости, S – сила звука

Применение в сельском хозяйстве

Как оказалось и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов.Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов. – закон, по которому происходит рост животных, где m–масса, - масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.

Применение в информатике

Первая попытка измерения количества информации была предпринята в 1928 году американским ученым Ральф Хартли. Он попытался связать количество информации с числом возможных сообщений (исходов) и ввел определение логарифмической меры:

,

где I -количество информации, N - число равновероятных событий.

В 1948 году американский инженер и математик Клод Шеннон предложил более строгую и объективную количественную меру информации. В основополагающей работе "Математическая теория связи" он утверждал, что

 

семантические аспекты неуместны для измерения количества информации в технических системах. Шеннон связал количественную меру с вероятностями появления сообщений, являющихся своеобразными информационными квантами (порциями). При этом целесообразным оказалось применение логарифмической меры Хартли.

Формула Шеннона: ,

где I – количество информации, N – количество возможных событий, Piвероятности отдельных событий

   

Применение логарифмов в механике.

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

, где:

— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Экономика банковского дела

В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следует представленная задача: Задача 1. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?

Решение. Через n лет хранения денег их количество составит рублей, используя формулу сложных процентов: , где A-начальная сумма вклада, p-процентная ставка (годовая), n-срок хранения вклада (в годах), а S-накопительная (итоговая) сумма вклада.

Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле

. Значит Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет с небольшим.

Задача 2. Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в pраз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества Bединиц.

Для того чтобы это сделать, сначала напомним, то процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида . Решение.

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением

, т.е. , откуда

Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем , при котором , т.е. надо решить уравнение .

Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим

, , ,

, .

Логарифмы в биологии

В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.

Задача № 3

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение. Для решения задачи используем полученные результаты задачи №2, в решаемой задаче

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин.

Заключение

Для того, чтобы доказать, что люди, зачастую, не видят практического применения логарифмов в окружающей нас реальности, я провела опрос среди учителей и учеников 11 класса.

Проанализировав ответы на заданные им вопросы, а именно: «Знаете ли вы сферы применения логарифмов?» и «Знакомы ли вы с понятием логарифмической спирали?», выяснилось, что большая часть учеников дали отрицательные ответы на оба вопроса. Из 18 опрошенных учителей, положительный ответ на первый вопрос дали 3 человека, а на второй – 2.

Как показало исследование, область применения логарифмов не ограничивается лишь техническими науками, также она играет важную роль в литературе, психологии и даже в сельском хозяйстве. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны, облегчить сложные и «громоздкие» вычисления и в этом им помогают логарифмы. С их помощью можно рассчитать интенсивность звука, яркость звезд, скорость летательного аппарата и даже предсказать землетрясения. В рамках данной работы рассмотрены различные сферы практического применения логарифмов. Конечно логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями, но с удивлением обнаружите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы рискуете мало того, что потратиться, так ещё и остаться с предыдущим результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий расчёт минимальной толщины звуко- и виброизоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.

Использование логарифмов для удовлетворения практических нужд человека стало неотъемлемой частью нашей жизни. Метод использования логарифмов позволяет сократить и облегчить сложные вычисления, также он лежит в основе физических и сейсмологических процессов, протекающих в природе, помогает определить раздражимость человека в той или иной ситуации, даже люди, которые проживают в деревнях и сёлах и держат коров, с легкостью могут применять логарифмы для вычисления веса теленка. Логарифмы можно использовать при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный на данный момент.

Рассмотренные в проекте примеры убедительно показывают, что знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку, непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.

Ни для кого не является секретом то, что население Земли растет с каждым годом, и возникают проблемы с используемым пространством. Большинство людей сегодня мечтают жить в мегаполисах с красивой архитектурой.

Современные города в большинстве своём строятся без учёта будущего роста и впоследствии возникают: пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения.

Поэтому может быть следует строить города по принципу двойной логарифмической спирали. Кроме этого свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Примером этому может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Астана. Можно построить совершенно новый мегаполис в нашей стране, с красивыми микрорайонами в виде спирали, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий спроектированные в виде спиралей.

Итак, в результате исследования можно сделать вывод, что логарифмы появились исходя из практических нужд человека, и имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.

Использованная литература и источники

  1. А.А.Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах (VIII – X) (издание второе, дополненное). Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963.

  2. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 160 с.: ил.

  3. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX – X кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с. – (Мир знаний).

  4. Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Часть 2. – М.: Изд-во МГУ, 2010. – 435 с.

  5. ПайтгенХ.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. под ред. А.Н.Шарковского. М.: Мир, 1993. – 176 с.

  6. Весь мир в цифрах и фактах: Универс. Справ. /Сост. А.И.Будько. – Мн.: ООО «Мэджик Бук»; М.: «Рипол Классик», 2001. – 640 с.: - («Весь мир»)

  7. http://er3ed.qrz.ru/slutsky.htm#fiziki

  8. http://enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html

  9. http://gagago.ru/prakticheskoe-primenenie-logarifmicheskoj-i-pokazatelenoj.html

  10. Буранов И. Ф. Логарифмическая спираль в технике и в природе // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 151-153.

  11. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320033.htm

  12. http://compress.ru/article.aspx?id=17484