III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ
Степанова А.Р.
Автор работы награжден дипломом победителя первой степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Когда мы переходим в следующий класс, предмет математики нам преподносит все новые сюрпризы, появляются совершенно непривычные термины, функции: корни, синусы, логарифмы, страшные на вид и на слух. Как тут не вспомнить о таблице умножения и дробях в начальных классах? Кажется, что это совершенно разные вещи, то, что мы учили тогда и то с чем надо разбираться сейчас, словом – это просто как небо и земля. А так ли это на самом деле? Было бы очень полезно увидеть какую-то связь, которая дает возможность видеть общее сложных функций, изучаемых старших классах, с методами математики начальных классов. Действительно, математика проста и сложна одновременно тем, что мостики существуют между, казалось бы, совершенно разными областями. Одним из таких мостиков являются цепные дроби. Одновременная их простота и многообразие удивляет. Все что надо, что бы «жонглировать» цепными дробями – это арифметические операции: сложение, умножение и т.д. Фантастика, не может быть! скажет любой старшеклассник. Но это правда и это еще не все. Цепные дроби – это способ построения интересных фигур – да, да – это еще и геометрия. Все вместе это складывается в единую систему. Овладев это системой, этим подходом можно оглянуться вокруг и увидеть цепные дроби в предметах окружающего мира, которые на первый взгляд никак не связаны с математикой.

В настоящей работе были поставлены следующие цели:

  1. Изучение способа записи цепных дробей.

  2. Применение цепных дробей для приближенного вычисления значений корней и специальных функций.

  3. Исследование геометрических свойств цепных дробей.

Для достижения поставленных целей мне необходимо решить следующие задачи:

  1. Познакомиться с понятием цепных дробей и их классификации.

  2. Освоить математические методы компактной записи цепных конечных и непрерывных дробей.

  3. Получить формулы цепных дробей для практических расчетов.

  4. Освоить геометрическую форму представления цепных дробей.

  5. Найти геометрическое подобие цепных дробей в объектах окружающего мира.

Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением в разнообразных задачах, в том числе и задачах олимпиадного характера, которые встречаются на экзаменах. Действительные числа однозначно отображаются цепными дробями. Основное значение такого изображения заключается в том, что, зная цепную дробь, изображающую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Новизна моей работы состоит в попытке предложить свои алгебраические выражения для цепных дробей и связать их геометрическими построениями. Сформулируем рабочую гипотезу в виде предположения о том, что алгебраические выражения и геометрические объекты, соответствующие цепным дробям, повсеместно встречаются в окружающем мире. Я думаю, что это было бы очень полезно установить на практических примерах.

Моя работа состоит из Введения, трех глав, Практической части, Выводов, Заключения и Списка литературы.

Понятие о цепных дробях и их классификация.

Теория цепных дробей – это одна из древнейших математических теорий. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонард Эйлер первый изложил теорию цепных дробей. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие принципиальные результаты данной теории принадлежат французскому математику Лагранжу. К мысли о цепной дроби математики пришли при рассмотрении практического вопроса: какой самый естественный способ приближённого представления положительных чисел дробями? [1]

Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого примера. Возьмём дробь . Наибольшее целое число, не превосходящее эту дробь — это 1:

«Перевернем» дробь :

Наибольшее целое число не превосходящее – это 2. Получаем:

Это и есть окончательное представление дроби в виде цепной дроби , потому что в конце цепочки после «переворота» будет уже целым числом.

Перейдем к произвольному рациональному числу . Проведя процедуру описанную выше необходимое число раз, получим конечную цепную дробь

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них – натуральные, а – целое. Цепную дробь удобно записывать в компактной форме .

Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. Число является одним из самых известных иррациональных чисел. Оно представляется в виде бесконечной цепной дроби и может быть представлено только лишь с указанием начальных неполных частных

Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля). C древних времен для числа известны приближения

и

Первая подходящая дробь отличается от точного значения во второй цифре после запятой, а в третьей подходящей дроби ошибка появляется в седьмой цифре после запятой (неверные цифры закрашены серым).

Существуют иррациональные числа, у которых бесконечные цепные дроби содержат периодически повторяющиеся неполные частные. Такие цепные дроби называются периодическими цепными дробями. Например,

,

.

Здесь период отмечается чертой. Периодические цепные дроби соответствуют числам с квадратичной иррациональностью, т.е. числам являющихся корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Поэтому периодические цепные дроби представляются особый интерес для изучения в школе.

Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью выполняется с использованием теоремы. Для любых двух соседних подходящих дробей и к действительному числу имеет место неравенство , и если , то .

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел [2].

Геометрия цепных дробей.

В основе геометрии чисел по Минковскому лежит школьная тетрадка в клеточку—плоскость, на которой нарисована координатная сетка [3]. Рассмотрим прямую y=ax; возьмём для примера a=10/7. Если a—рациональное число, то на этой прямой, кроме начала координат, будут ещё целые точки. В нашем случае прямая пройдёт через точку (7, 10).

Оказывается, построение цепной дроби числа a связано с нахождением целых точек, которые лежат близко от нашей прямой. А именно, имеется геометрический алгоритм, который предложил крупнейший российский математик Борис Николаевич Делоне. Он выразительно называл этот алгоритм «вытягиванием носов». Алгоритм позволяет строить ближайшие к прямой целые точки одну за другой и одновременно получать цепную дробь.

 

Рис. 1. Алгоритм «вытягивания носов».

 

Пусть b1 – горизонтальный отрезок единичной длины, а b2 – горизонтальный. Между ними расположена наша прямая (рис. 1). Теперь к концу отрезка b1 будем приставлять отрезки b2 до тех пор, пока не перескочим через нашу прямую. Другими словами, нужно найти наибольшее натуральное число a0 такое, что конец получившейся ломаной, состоящей из b1 и a0 раз b2, всё ещё ниже нашей прямой. В данном случае помещается только один отрезок, т.е. a0=1. Если соединить начало b1 и конец ломаной, то получится новый отрезок b3. Продолжаем процедуру. Теперь мы будем приставлять отрезок b3 в конец отрезка b2. Аналогично, на выбираем a2 (число отрезков b3) так, чтобы не перескочить через прямую, т. е. чтобы конец ломаной оставался выше прямой, а если к нему прибавить еще один b3, то мы перескочим через прямую. Как видим, a1=2. Если теперь соединить начало b2 и конец ломаной получим отрезок b4. Отрезки получаются всё более длинные, поэтому алгоритм и назвали «вытягиванием носов».

Далее, если взять три отрезка b4 (т.е. a2=3) и добавить в конец b3, попадаем как раз на прямую. Итак получили, a0=1, a1=2, a2=3,

Можно доказать, что этот алгоритм всегда даёт целые числа a0, a1, a2, … , которые и будут получаться при разложении a в цепную дробь. Точки, которые мы получаем, дают нам сразу же и элементы цепной дроби.

Цепные дроби вокруг нас.

В этой главе мы рассмотрим ряд примеров раскрывающие использование цепных дробей в различных областях окружающего мира [4].

  • Если, разорвав прямоугольный лит бумаги пополам, мы хотим получить два новых листа с тем же отношение сторон, то стороны исходного листа должны относится друг к другу как . Действительно, если мы разорвем пополам прямоугольник со сторонами и 1, то каждая половинка будет иметь длинную сторону 1, а короткую . Отношение этих сторон опять равно. Именно таким свойством обладают форматы бумаги серии A (А0, А1, …). Я в этом убедилась разорвав лист формата А4 (см. рис 2).

Рис. 2. Рвём А4.

Размер стандартного хорошо нам известного листа бумаги А4 - 210×297 мм. Отношение сторон этого листа

а это пятая подходящая дробь к числу . Погрешность такого приближения невелика

Любопытно, что произведение сторон листа в метрах мало отличается от 1/24=1/16:

Это связано с тем, что лист А4 составляет 1/16 от листа ватмана А0, площадь которого равна 1м2. Я нашла цепные дроби всех форматов и обнаружила, что А4 имеет самое лучшее приближение. К примеру, А0 (841×1189 мм) – это только четвертая подходящая дробь числа .

  • Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. Старинные часы известных мастеров также содержали шестеренки, отношение зубцов рассчитывалось по законам цепных дробей [5].

  • Наверно все слышали, что стандартное электрическое напряжение в наших розетках 220 Вольт. Если кто-то обращал внимание на надписи на импортных электрических приборах, то они рассчитаны так же и на меньшее напряжение. Например, в странах Северной Америки стандартом сетевого напряжения составляет 127 Вольт. Наверно все видели надписи на столбах или трансформаторных будках «380 В». Почему именно эти значения? Оказывается это объясняется трехфазным устройством электрических сетей. Отношения

- это хорошие приближения к числу

  • Как известно 1 год=365 суток 5 часов 48 минут 46 секунд, что можно выразить десятичной дробью 365.242199…суток. Подходящие дроби к длине солнечного года, измеренного в солнечных сутках

Такое представление позволяют строить солнечные календари. Первая подходящая дробь соответствует юлианскому стилю (назван по имени Юлия Цезаря), в котором каждый четвертый год високосный. Вычислим разницу -365.242199 = 0.007801 сут = 0.187224 час = 11.23344 мин = 11мин 14сек, то есть средняя длина года больше настоящей на 11 мин 14 сек.

Третья подходящая дробь лежала в основе персидского (иранского) календаря, который в 1079 году предложил математик, астроном и поэт Омар Хайям. В таком календаре все годы разбиваются на 33-летние циклы, внутри цикла семь раз високосным является каждый четвертый год, а на восьмой раз – пятый. Схематически его можно изобразить так IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII (палочками обозначены года, а високосные перечеркнуты). Разность продолжительности такого календарного года с астрономическим - 365.242199 = 0.000225242 сут = 0.005406 час = 0.324348 мин = 19.5 сек, то есть ошибка всего 19 сек в год, но использование такого календаря оказалось неудобным [6].

Четвертое приближение дает еще один календарь, предложенный русским астрономом Иоганном Генрихом Медлером в 1864 году. Медлер предложил ввести этот календарь в России с XX столетия. Для этого необходимо было каждые 128 лет пропускать 1 високосный, так как по юлианскому календарю приходилось 32 високосных на 128 лет. Но этот календарь не был принят, так как видимо 128 число не круглое. Вычислим ошибку. -365.242199 = -0.0000115 сут = -0.000276 час = -0,01656 мин = -0.99сек ≈ -1 сек! Предложение Медлера так и не было принято.

В 1582 году папа Григорий XIII исправил неточность юлианского календаря и произвел реформу. Так же оставалось чередование простых и високосных лет, но, если номер оканчивался двумя нулями, а число сотен не делилось на 4, то этот год был простой. Например 1500 год простой, а 1600 високосный. Ну и начиная с рождества Христова накопилась ошибка в 10 дней, с тех пор накопилась еще ошибка в 3 дня(1700, 1800,1900 годы). Итак расхождение сейчас с юлианским календарем составляет в 13 дней. Выясним длину григорианского года. Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому – 97, поэтому средняя длина григорианского года суток=365.2425 суток=365суток 5 часов 49 мин 12 сек, т. е. она больше истиной на 26 сек. Получилось намного хуже календаря Медлера, что не удивительно, ведь не является подходящей дробью.

  • Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. В ботанике такое явление называется филлотаксис. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, т.е. числа из последовательности

{Fn}={0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89},

в которой начиная с n=1 числа связаны простой формулой Fn+1=Fn+Fn-1.

Например, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону и 5 – в другую. На еловой – 5 и 8 спиралей, а на кедровой - 8 и 13. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Расположение листьев по таким спиралям позволяет получать наибольшее количество солнечных лучей. Гете называл спираль «кривой жизни». Если рассмотреть отношения соседних чисел Фибоначчи, то они раскладываются в очень простые цепные дроби, например,

Уже понятно, что это подходящие дроби к какому-то особому числу. Это число называется золотым сечением

Если обратиться за информацией о золотом сечении, то мы обнаружим тысячи источников и исследований. Это поистине удивительное число, которое встречается с древних времен по настоящее время во всех областях деятельности человека (науке, искусстве, технике) и конечно в природе. Чтобы объяснить что же это за число, мне показался самым наглядным и понятным принцип деления отрезка, называемым золотым сечением, при котором две части получаются такими, что большая часть отрезка относится к меньшей части так же, как длина всего отрезка к большей его части (см. рис 2).

Рис 2. Принцип золотого сечения B:A = C:B, учитывая, что C = A + B.

Принимая отношение B:A=Φ, можно составить квадратное уравнение 1+ Φ=Φ2, которое имеет один положительный корень . С золотым сечением связаны некоторые особенности. Такое отношение подсознательно воспринимается человеком как наиболее гармоничное, поэтому золотое сечение с давних пор активно применяется в фотографии, живописи и архитектуре. Кроме того, золотое сечение встречается и в природе, в частности, тело человека подчинено этому правилу (см. рис. 3).

 

Рис. 3. Картина Леонардо да Винчи, изображающая пропорции человека.

 

В древнегреческой архитектуре Золотое сечение использовалось для вычисления идеальной пропорции между высотой и шириной здания, размеров портика, и даже расстояния между колоннами (см. рис. 4). В дальнейшем, этот принцип был унаследован архитектурой неоклассицизма.

 

Рис. 4. Древнегреческий храм – Парфенон.

 

Можно заметить, что линии проходят не точно по конструкциям. Это объясняется тем, что греки вместо точного значения золотого сечения его приближенные значения выражаемые подходящими цепными дробями. На рис 5 приведены примеры «золотой» спирали в природе и космосе.

 

Рис. 5. Связь ракушки и галактики.

 

Практическая часть

Из теоретической части работы мы ясно уяснили два важных свойства цепных дроби: они очень полезны для приближенных вычислений особенных чисел и они удобны для геометрических построений. Мне было просто необходимо убедиться в самой на практике.

Приближенное вычисление квадратных корней.

Мы уже рассмотрели много подходящих дробей для корней целых чисел. Мне стало интересно можно построить такую цепную дробь, которая могла бы использоваться для любого подкоренного числа, т.е. для функции. Для дальнейшего удобства введем выражение для непрерывной дроби для приближенного нахождения значения функции

Для вычисления квадратного корня может быть использована следующая формула

Например, используя равенство , получим конечное выражение для бесконечной непрерывной дроби .

При практическом использовании этой формулы вычисления обрывают на некотором шаге, т.е. . Чем больше шагов выполнено, тем выше точность определения корня. Результаты исследования точности приведены в таблице

Число шагов N

Подходящая дробь в виде рационального числа

Приближенное значение в виде десятичной дроби

Отклонение от точного значения ||

0

2

2.00000

0.64575

1

11/4

2.75000

0.10425

2

50/19

2.63158

0.01417

3

233/88

2.64773

0.00198

4

1082/409

2.64548

0.00027

5

5027/1900

2.64579

0.00004

6

23354/8827

2.64575

0.00001

Хорошо видно, что точность до первого знака после запятой обеспечивается уже при N=2, а точность до пятого знака при N=6. Отметим возможность представления приближенного значения в виде рационального числа является одним их основных достоинств использования непрерывных дробей.

Построение спиралей по подходящим дробям.

 

Рис. 6. Развертка спиралей с числом витков как у шишки.

 

Эти квадраты вырезаны из бумаги и склеены в цилиндры (левая сторона склеена с правой, а заштрихованные квадраты одного цвета наклеены друг на друга) [7]. Тогда повёрнутые квадраты будут располагаться на цилиндре так же, как располагаются чешуйки на сосновой шишке. На рисунке 6 видно 3 спирали, закрученные в одну сторону, а на рисунке 2 — 5 спиралей, закрученных в другую. Я попробовала нарисовать «чертёж» еловой шишки с 5 и 8 спиралями. Для этого понадобился квадрат 89×89.

Выводы

В ходе выполнения настоящей работы мною были достигнуты следующие результаты:

  1. Собран и скомпонован теоретический материал о цепных дробях, изучены их классификация и математические алгоритмы построения.

  2. Описан геометрический подход к исследованию цепных дробей.

  3. Найдены различные области применения цепных дробей.

  4. Проведены расчеты погрешностей различных приближений корня целого числа.

  5. Предложен способ построения спиралей, подчиняющихся законам цепных дробей и встречающих природе.

Проделанная работа дает основание в пользу выдвинутой гипотезы о том, что цепные дроби встречаются повсюду. Мы про них мало слышим, потому что в действительности очень просты, хотя и используются с древних времен. Цепные дроби широко распространены в природе и могут иметь огромное значение для изучения природы, для развития технических средств. В связи с этим умение рассчитывать подходящие цепные дроби представляется очень актуальным. Кроме того, геометрические свойства цепных дробей, которые я постаралась подчеркнуть, демонстрирует красоту такой науки, как математика не только в переносном, но и в прямом смысле:

  1. Они существенно обогащают наше представление о математике.

  2. Они открывают нам эстетическую сторону математики.

  3. Они открывают математическую сторону окружающего мира.

  4. Они могут повысить интерес школьников к такой «сухой» и точной науке, как математика.

  5. Они дают богатый материал для дополнительных исследовательских работ в школе.

Заключение

В результате изучения данной темы, выяснилось, что существует единый вид записи действительных чисел – цепные дроби. Я научилась переводить числа в цепную дробь и обратно. Познакомилась со свойствами этих дробей. Мне удалось освоить геометрический подход к нахождению цепных дробей.

Оказывается, что цепная дробь, изображающая время, за которое Земля совершает полный оборот вокруг Солнца, может помочь в создании календаря, она дает различные системы, по которым может составляться календарь. Я рассмотрела связь различных календарей с цепными дробями и просчитала точность этих календарей. С помощью последовательных переводов в цепные дроби узнала, что есть числа, которые раскладываются в периодическую цепную дробь.

В ходе изучения темы я встретилась с одной из интереснейших задач математики, с «золотым сечением». Разложив «золотое сечение» в цепную дробь, можно найти разные по точности его приближения, причем они оказываются связанными с числами Фибоначчи. И, что самое интересное, сама природа отражает цепные дроби, только это надо увидеть. Это лишний раз подтверждает афоризм Галилео Галилея: «Математика - это язык, на котором написана книга природы».

Попытка пройти по тропинкам, где встречалась цепная дробь, дала возможность над чем–то подумать, что–то новое узнать, применить свои силы к новому и увлекательному математическому объекту.

Своей исследовательской работой я хотела рассказать о довольно простом понятии в математике «цепная дробь», а также о её свойствах. Я заметила, что структура цепной дроби обладает особым видом симметрии – самоподобием. Это означает, что некоторая часть повторяет целое. В геометрии такое свойство особенно выражено у таких фигур как фракталы. Мне было особенно приятно отметить это, так как я исследовала фракталы в моей предыдущей работе. Я попыталась подчеркнуть в цепных дробях геометрические и алгебраические особенности. Мои практические работы показывают, что освоить вычисление и построение фигур по цепным дробям без использования компьютеров довольно просто. Я очень надеюсь, что цепные дроби способны вызвать интерес у учеников нашего возраста. Как оказалось, цепные дроби довольно занимательны, могут дать много полезных алгебраических и геометрических упражнений. Ведь они есть почти на каждом шагу!

Список литературы
  1. Арнольд В. И. Цепные дроби – М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.

  2. Бендукидзе А., Золотое сечение. //Квант, № 8 за 1973 г, с.22

  3. Бескин Н. Бесконечные цепные дроби //Квант, № 8за 1970г, с 36.

  4. Бескин Н. Цепные дроби //Квант,№ 1за 1970г, с.16.

  5. Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о цепных дробях. //Квант. № 5-6 за 1983 г , с13, с 8.

  6. Ожигова Е. П. Что такое теория чисел. – М.: Знание, 1970.- 96 с.

  7. Устинов А. Цепные дроби вокруг нас. //Квант, № 2 за 2010,с. 32.