III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Василенко А.М., Яковлева Е.А.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

С. Коваль

Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.

В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.

Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:

  • Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

  • Какие вы используете чаще всего?

По результатам анкетирование были получены следующие результаты:

Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.

Мы поставили перед собой цель: изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.

Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:

  • собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,

  • освоить найденные способы решения,

  • составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,

  • разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,

  • провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 – 9 классов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.

Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.

ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  1.  
    1. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:

  1. Если a+b+c=0, то = 1, =

Пример:

-6х2 + 2х +4=0, то = 1, = = .

  1. Если a – b+c=0, то = -1, = -

Пример:

2017х2 + 2001х +16 =0, то = -1, -.

  1.  
    1. ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:

Если b=a2+1, c=a, то х1=-а; x2 = - .

Если b=-(a2+1), a=c, то x1=a; x2 =.

Если b=a2-1, c=-a, то x1=-a; x2 = .

Если b=-(a2-1), -a=c, то x1=a; x2 = - .

Решим следующие уравнения:

  1. 5x2 + 26x + 5 = 0

x1= -5

x2= - 0,2.

  1. 13x2 - 167x + 13 = 0

x1=13 x2=

  1. 14x2 + 195x - 14 = 0

x1= - 14 x2=

  1. 10x2 - 99x - 10 = 0

x1=10 x2=-0,1.

  1.  
    1. «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.

Пример:

2 – 3х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 3у + 2 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 2 , х1 = 2/2 , x1 = 1,

у2 = 1; x2 = 1/2; x2 = 0,5.

Ответ: 0,5; 1.

  1.  
    1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Если в уравнении аx2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax2 = –bxc .

Построим графики зависимостей у = aх2 и у = –bxc в одной системе координат.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

  • прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

  • прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

  • прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

1) х2 + 2х – 3 = 0

х2 = - 2х + 3

В одной системе координат построим график функции у =х2 и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

Ответ: х1= - 3, х2 =1.

2) х2 + 6х +9 = 0

х2 = - 6х - 9

В одной системе координат построим график функции у = х2 и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.

Ответ: х= - 3.

3) 2х2 + 4х +7=0

2 = - 4х - 7

В одной системе координат построим график функции у =2х2 и график функции

у = - 4х - 7.

Парабола у =2х2 и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

  1.  
    1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Решим уравнение aх2 +bх+c=0:

  • Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).

  • Провести окружность радиуса SA.

  • Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

При этом возможны три случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х1; 0) и D(х2;0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х1; 0 ), где х1 – корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .

Два решения х1 и х2. Одно решение х1.. Не имеет решения.

Пример 1:2 8х + 6 = 0.

Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = = .

Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х1 = 1 , х2 = 3.

Пример 2: х2 6х + 9 = 0.

Решение: Найдём координаты S: x=3, y=5.

Ответ: x=3.

Пример 3: х2 + 4х + 5 = 0.

Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.

Ответ: нет корней

  1.  
    1. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDFполучим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример 1:z2 - 9z + 8 = 0.

На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.

Ответ: 1; 8.

Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).

Пример 2: 2z2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

z2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z1 = 4 иz2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

Пример 3:x2 – 25x + 66 = 0

Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z, получим уравнение:

z2 – 5z + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы.

Получим z1 = 0,6 и z2 = 4,4,

откудаx1 = 5 z1 = 3,0 иx2 = 5 z2 = 22,0.

Ответ: 3; 22.

Пример 4: z2 + 5z – 6 = 0, номограмма даёт положительный корень z1=1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z2= - p –1= - 5 – 1= -6.

Z=1

 

Ответ: 1; -6.

Пример 5: z2 – 2z – 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z1=4, а отрицательный равен z2= - p –4 =

Z=4

 

= 2 – 4= -2.

Ответ: 4; -2.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel – это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.

Лист программы Excel, где отображены формулы:

Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x2 – 14x – 15 = 0:

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод

Плюсы

Минусы

Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D и D1

Универсальность, т.к. можно использовать для решения абсолютно всех квадратных уравнений

Громоздкий дискриминант, не входящий в таблицу квадратов

Теорема Виета

Быстрота решения в определённых случаях и экономия времени

Если дискриминант не является полным квадратом целого числа.

Не целые коэффициенты b и с.

Выделение полного квадрата

При правильном преобразовании в квадрат двучлена получаем квадратное уравнение неполного вида и следовательно быстрее находятся корни

Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах уравнения

Способ группировки

Можно решить, не зная формул

Не всегда среднее слагаемое удаётся разложить на подходящие слагаемые для группировки

Графический способ

Не требуется формул.

Можно быстро узнать количество корней уравнения

Приближённость решения

Свойства коэффициентов a,b,c

Быстрота решения.

Для уравнений с большими коэффициентами

Подходит только для некоторых уравнений

«Переброс» главного коэффициента

Быстрота решения, если корни целые

Такие же как с помощью теоремы Виета

Номограмма

Наглядность

Все, что требуется для решения–это номограмма

Не всегда имеется с собой номограмма.

Неточность решения

Нахождение корней с помощью циркуля и линейки

Наглядность

Если координаты центра нецелые числа.

Нахождении корней уравнений с большими коэффициентами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Уолтер Варвик Сойер

В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.

Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие – помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.

Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.

Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.

Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).

Материал нашей работы можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его для небольшого элективного курса «Необычные способы решение квадратных уравнений».

Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.

ЛИТЕРАТУРА
  1. Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.

  2. Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

  3. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.

  4. Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.

  5. Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.

  6. Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.

  7. Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.

  8. Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.

  9. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,

М.: Педагогика, 1989.

Интернет ресурсы:

http://revolution.allbest.ru/

http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»

Исходноеуравнение:2+3х -1 = 0.

1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D

2+3х -1 = 0

D = b2 – 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня

x1,2 =

x1 ==

x2 ==-1

2.Теорема Виета

2+3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым

х2+х -=0

+ =-

* =-

х1 = -1

х2 =

3. Метод выделения полного квадрата

2+3х -1 = 0

(4х2+2*2х *+)-1=0

(2х + )2 -=0

(2х + - )( 2х + + )=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(2х - )=0 (2х +2)=0

х1 = х2 = -1

4. Способ группировки

2+3х -1 = 0

2+4х-1х-1=0

4х(х+1)-1(х+1)=0

(4х-1)( х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(4х-1)=0 ( х+1)=0

х1 = х2 = -1

5. Свойства коэффициентов

2+3х -1 = 0

Если a - b+c=0, то = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Метод «переброски» главного коэффициента

2+3х -1 = 0

y2+3y - 4 = 0

Теорема Виета:

+ =- 3

* =- 4

y1 = -4

y2 = 1

Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:

х1 = -1

х2 =

7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

2+3х -1 = 0

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = =

х1 = -1

х2 =

8. Графический способ решения

2+3х -1 = 0

2= - 3x + 1

В одной системе координат построим график функции у = 4х2и график функции

-3

 

у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:

x

 

х1 = -1

=

9. С помощью номограммы

2+3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение

1/4

 

х2 +х -= 0.

Номограмма даёт положительный корень = ,

а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.

x2= - p –=- -= -1.

10. Решение данного уравнения в EXCEL

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ”»

10х2+ 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10х2+ 7х + 3 = 0 -1 0,3

354х2-52х -302 = 0 1 -

100х2-99х-1 = 0 1 -0,01

2+ 9х + 4 = 0 -1 -0,8

2017х2+ х -2016 = 0 -1

22х2+10х-12 = 0 -1

5432х2-3087х-2345 = 0 1 -

2+ 2х -6с = 0 1 -1,5

55х2-44х -11= 0 1 -0,2

2- 7х - 3 = 0 - , 1,5

2-17х-15 = 0 -0,75, 5

4271х2-4272х + 1 = 0 1,

2+10х + 7 = 0 -1, - 2

2- 11х + 2 = 0 2, 0,2

2- 11х + 15 = 0 2,5, 3

2+ 4х -3= 0 -1,5, 0,5

2 -12х + 7 = 0 1,4, 1

2+ 13х + 15 = 0 -1,5 -5

2-7х + 2 = 0 1/3 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»