III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ)
Чуприн Б.Г.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Аннотация.

  1. Введение

  2. Основная часть

  1. Задача Иосифа Флавия. Историческая справка.

  2. Справочный материал, необходимый для решения поставленной исследовательской задачи.

  3. Задача Иосифа Флавия (частный случай).

  1. Заключение.

  2. Список литературных источников.

Задача Иосифа Флавия (частный случай)

«Аннотация».

Тема моей исследовательской работы «Задача Иосифа Флавия (частный случай)».

Я выбрал эту тему, потому что она даёт большой простор для продвижений, уточнений, вспомогательных задач, обобщений, а при доказательстве используются разнообразные методы. Задача развивает научный вкус и имеет в перспективе выходы на идеи «большой» математики.

Цель работы - сделать личное математическое открытие.

Задачи:

  1. изучить исторические сведения о возникновении общей задачи Иосифа Флавия;

  2. самостоятельно и в свободной форме найти закономерность в решении частного случая задачи Иосифа Флавия при n = 1,2,3,…; m = 2, где n – общее количество игроков, m – победитель;

  3. вывести общую формулу решения поставленной исследовательской задачи;

  4. провести ряд практических экспериментов для наглядного решения задачи с привлечением одноклассников;

  5. сформулировать гипотезу на основе результатов проведенных экспериментов, проверить эту гипотезу с помощью новых предположений и экспериментов, провести корректировку гипотезы, доказать гипотезу, согласующуюся с экспериментами;

  6. уточнить и расширить исходную постановку задачи по ходу работы;

  7. подготовить письменный отчёт и устное сообщение.

Методы, которые я использовал в проекте –исследовательский, метод проб и ошибок.

В проекте использовал следующие приёмы:

накопление результатов эксперимента, осмысление, обработка и анализ полученных результатов.

Результат исследования: мною получена формула:

F(n) = F(k) + 2 (n – k), где n – количество игроков, k – ближайшее к числу игроков 2 в степени, n>k.

Трудности, с которыми я столкнулся при решении задачи:

  1. фиксация полученных промежуточных результатов;

  2. требование всё понятно объяснить на бумаге;

  3. длительное обдумывание задачи без осознанных промежуточных целей;

  4. неумение выделить ведущий параметр;

  5. неосознанное исключение очевидных случаев.

Выводы.

Естественно, исследовательская задача объективно труднее задач, которые мы решали на уроках, к тому же необычна по форме и содержанию. Но успех в решении задачи является главной составляющей удовольствия, полученного при исследовании. Ключевой момент решения – это догадка, озарение.

Эта задача развивает эстетическое чувство, о котором говорил Пуанкаре.

Введение.

Я твёрдо был уверен, что в математике уже всё открыто, и новые открытия (на школьном уровне) невозможны. Однако, решая олимпиадные задачи, я столкнулся с необходимостью выдвигать гипотезы, ставить вспомогательные задачи. Мой учитель математики – Степанова Марина Ивановна предложила мне несколько задач исследовательского характера. Меня заинтересовала задача Иосифа Флавия, так как она является историческим фактом и в тоже время несёт игровой смысл.

Работая над этой исследовательской задачей, я получил представление о реальной работе математика. Результаты были неожиданные для меня. На разных этапах исследования возникали вопросы, требующие долгого размышления.

  1. Как проиллюстрировать условие задачи, чтобы увидеть закономерность, если она существует?

  2. Почему присутствующая цикличность состоит из разного количества членов?

  3. Подчиняется ли полученная цикличность какой-либо формуле?

  4. Возможно ли полученную в таблице закономерность выразить одной или несколькими формулами?

Помимо решения задачи я исследовал её «окрестности». Изучил исторические справки.

В ходе исследования мною были поставлены следующие задачи:

  1. изучить исторические сведения о возникновении общей задачи Иосифа Флавия;

  2. самостоятельно и в свободной форме найти закономерность в решении частного случая задачи Иосифа Флавия при n = 1,2,3,…; m = 2, где n – общее количество игроков, m – победитель;

  3. вывести общую формулу решения поставленной исследовательской задачи;

  4. провести ряд практических экспериментов для наглядного решения задачи с привлечением одноклассников;

  5. сформулировать гипотезу на основе результатов проведенных экспериментов, проверить эту гипотезу с помощью новых предположений и экспериментов, провести корректировку гипотезы, доказать гипотезу, согласующуюся с экспериментами;

  6. уточнить и расширить исходную постановку задачи по ходу работы;

  7. подготовить письменный отчёт и устное сообщение.

В какой-то момент времени для меня уже было не столь важно решу или не решу задачу, а какую часть нового в математическом мире я для себя открою.

Решение сначала было длинным, запутанным, сопровождалось большим количеством неизвестных (при получении общей формулы). Постепенно решение упрощалось, становилось «красивым», количество неизвестных я стремился свести к минимуму.

В результате, я получил формулу для любого числа игроков. Я открыл то, чего не знал.

Думаю, что цель исследовательской работы – сделать личное математическое открытие, и я его сделал!!! Я почувствовал радость от успешно решённой трудной задачи. Приобрел опыт письменного изложения результатов своей работы, а также представления этих результатов сверстникам и взрослым.

Продукт исследования – презентация, содержащая все этапы работы. Надеюсь личным примером заинтересовать одноклассников решением исследовательских задач, так как считаю, что содержательная исследовательская работа по математике на школьном уровне возможна и полезна.

Чтобы достичь цели исследования, я составил план своей деятельности:

1) сроки (время начала работы – ноябрь 2016 года, время окончания – февраль 2017 года),

2) имеющиеся информационные ресурсы (доступ в Internet, компьютер, мультимедийное устройство (принтер, сканер), литература из школьной и сельской библиотек),

3) основная часть проекта.

После всего вышеперечисленного я приступил к основной части: решению задачи.

Задача Иосифа Флавия. Историческая справка.

Задача Иосифа Флавия или считалка Джозефуса — известная математическая задача с историческим подтекстом.

Задача основана на легенде…

Отряд Иосифа Флавия, защищавший город Йодфат, не пожелал сдаваться в плен блокировавшим пещеру превосходящими силам римлян. Воины, в составе сорока человек, стали по кругу и договорились, что каждые два воина будут убивать третьего, пока не погибнут все. При этом двое воинов, оставшихся последними в живых, должны были убить друг друга. Иосиф Флавий, командовавший этим отрядом, якобы быстро рассчитал, где нужно встать ему и его товарищу, чтобы остаться последними, но не для того, чтобы убить друг друга, а чтобы сдать крепость римлянам.

…И в этом положении Иосифа не покинуло его благоразумие: в надежде на милость божью он решил рискнуть своей жизнью и сказал: «Раз решено умереть, так давайте предоставим жребию решить, кто кого должен убивать. Тот, на кого падёт жребий, умрёт от рук ближайшего за ним, и таким образом мы все по очереди примем смерть один от другого и избегнем необходимости сами убивать себя; будет, конечно, несправедливо, если после того, как другие уже умрут, один раздумает и останется в живых».

Этим предложением он вновь возвратил себе доверие; уговорив других, он сам также участвовал с ними в жребии. Каждый, на кого пал жребий, по очереди добровольно дал себя заколоть другому, последовавшему за ним товарищу, так как вскоре за тем должен был умереть также и полководец, а смерть вместе с Иосифом казалась им лучше жизни. По счастливой случайности, а может быть, по божественному предопределению, остался последним именно Иосиф ещё с одним. А так как он не хотел ни самому быть убитым по жребию, ни запятнать свои руки кровью соотечественника, то он убедил и последнего сдаться римлянам и сохранить себе жизнь.

В современной формулировке задачи участвует n воинов, стоящих по кругу, и убивают каждого m-го. Требуется определить номер k начальной позиции воина, который останется последним.

Справочный материал, необходимый для решения поставленной исследовательской задачи.

  • Чётное число – целое число, которое делится на 2 без остатка (-2, -8, 0, 6, 14 и т.д.)

  • Нечётное число – целое число, которое не делится на 2 без остатка (-3, -1, 9, 11 и т.д.)

  • Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — в математике, а также физике и прикладных науках, является разновидностью математического выражения; имеет вид комбинации знаков, имеющей самостоятельный смысл и представляющей собой символическую запись высказывания (которое выражает логическое суждение).

  • Степень числа – это сокращённое обозначение записи произведения числа самого на себя несколько раз.

  • Таблица степеней числа 2 (см. приложение 1)

  • Гипотеза (от греч. hipothesis — основание, предположение) - предположение или догадка; утверждение, предполагающее доказательство.

  • Функция ( лат. functio — «исполнение, осуществление») — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

  • Рекуррентные соотношения – при известном решении задачи для некоторого числа элементов, можно использовать это решение для числа элементов на единицу большим.

  • Замкнутая формула – способность полученного решения приводить к алгоритму.

  • Математическая индукция – приём доказательства общих предложений в математике.

Что означает владение математикой?

Это есть умение решать задачи,

причём не только стандартные,

но и требующие известной

независимости мышления,

здравого смысла,

оригинальности,

изобретательности.

Д.Пойа. Математическое открытие.

Задача Иосифа Флавия (частный случай)

Формулировка

Несколько школьников стоят по кругу и играют в считалочку. Выходят через одного, начиная со второго (выходят второй, четвёртый, шестой и так далее). Требуется найти, каким по счёту нужно встать, чтобы остаться последним в кругу.

Пусть n = 1,2,3,… m = 2, где n – количество участников, m – победитель.

Шаг 1. Чтобы наглядно представить условие задачи, разыграем её в классе с одноклассниками. Сначала в считалочке участвуют 2 ученика, затем 3, … ,16 (количество участников игры произвольное). На этом этапе первоначально мною была допущена ошибка: расставляя учеников по кругу, удаляя чётных игроков, сдвиг осуществлялся относительно первого игрока. В результате все игроки меняли свой номер, кроме первого. Итог – в каждом новом туре, независимо от количества участников, победа доставалась всегда игроку, стоящему под номером 1. Например, n = 9. (см. Приложение 2.)

Возник вопрос: в чём сложность решения задачи? Решение простое – побеждает игрок, стоящий на первом месте. Я понял, что необходимо внести изменения.

Шаг 2. Гипотеза: убрав из круга каждого второго игрока, производить перенумерацию всех игроков по часовой стрелке.

Например, n = 9. (см. Приложение 3.)

В данном примере выигрывает игрок №3.

Шаг 3.Проверка гипотезы (шаг 2) на большом количестве игроков (2 – 48).

Эксперимент: на 48 окружностях отмечены точки: количество точек на окружности соответствует количеству участников игры. Выбывающих зачёркиваем, в результате получаем такой результат: (см. Приложение 4.)

Для наглядности номер победителя записан внутри каждой окружности, но, к сожалению, чёткой закономерности не прослеживается: периодичность присутствует, но номер победителя при увеличении n увеличивается. Очевидным является только тот факт, что m ≤ n.

Шаг 4. Для большей наглядности я составил таблицу, в которую внёс полученные мною результаты. (см. Приложение 5.)

Шаг 5. В таблице показана зависимость количества игроков и победителя: номер победителя всегда оказывается нечётным числом ( это очевидный факт, так как чётные номера выбывают уже в первом туре). Место победителя не превышает количества игроков (этот факт тоже очевидный, так как не может в игре остаться седьмой участник, если в игре первоначальное количество игроков, например, 5).

Сложность возникла как, не пользуясь таблицей, определять победителя.

Иными словами возник вопрос: как получить формулу, выражающую зависимость количества игроков и победителя?

Шаг 6. Начнём с победителя, стоящего №1 изначально.

Составим отдельную таблицу: (см. Приложение 6)

Проанализировав таблицу, можно увидеть следующее:

20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128 и т.д.

Вывод: если число игроков 2n, где n = 0,1,2,3,…,то выигрывает игрок, который первоначально был №1.

Шаг 7. Сложность возникла при получении формулы для остальных случаев.

Гипотеза, что аналогично можно определить игроков, имевших первоначально №3, №4 и так далее не подтвердилась.

Шаг 8. Гипотеза: если каким-то образом свести количество игроков к количеству, когда побеждает №1.

Пусть n – количество игроков. Проверку гипотезы начнём с n= 3, так как для n = 1 и 2 результат уже получен (шаг 6). F(n) – функция, определяющая номер победителя, x,y,z,… - неизвестные величины.

а) n = 3 F(3) = F(2) + x = 1+ x. В таблице (шаг 4) F(3) = 3, → 3 = 1 + х, →

х = 2.

б) n = 5 F(5) = F(4) + y = 1+ y. В таблице (шаг 4) F(5) = 3, → 3 = 1 + y, →

y = 2.

в) n = 6 F(6) = F(5) + z = 3+ z. В таблице (шаг 4) F(6) = 5, → 5 = 3 + z, →

z = 2. Имеем: x = y = z = … = 2.

Выполним вычисление F(6), используя переменные x и y:

F (6) = F (5) + x = F (4) + x + y. В таблице (шаг 4) F (6) = 5, → 5 = 1 + х + y, →

х + y = 4 = 2 ∙ 2.

г) n = 7 F (7) = F (6) + x = F (5) + x + y = F (4) + x + y + z = 1 + x + y + z. В таблице (шаг 4) F (7) = 7, → 7 = 1 + х + y + z, → х + y + z = 6 = 2 ∙ 3.

д) n = 40 F (40) = F (39) + x = F (38) + x + y = F (37) + x + y + z = F (36) + x +

y + z + m = F (35) + x + y + z + m + t = F (34) + x + y + z + m + t + f = F (33)

+ x + y + z + m + t + f + q = F (32) + x + y + z + m + t + f + q + g = 1 +

x + y + z + m + t + f + q + g. В таблице (шаг 4) F(40) = 17, → 17 = 1 +

x + y + z + m + t + f + q + g, → x + y + z + m + t + f + q + g = 16 = 2 ∙ 8.

Проанализировав большое количество а), б), в), г), д),… мною получена формула:

F(n) = F(k) + 2 (n – k), где n – количество игроков, k – ближайшее к числу игроков 2 в степени, n>k. При этом F(k) = 1, т.к. в (шаге 6) доказано, что если число игроков 2n, то победитель всегда №1.

Например, число игроков 46, ближайшее 2 в степени – 25 = 32, → F (46) =

= F (32) + 2 (46 – 32) = 1 + 2 ∙ 14 = 1 + 28 = 29.

Таблица (приложение5) подтверждает, что ответ верный.

Шаг 9. Полученную формулу проверим для n – чётных и n – нечётных. Выбираем произвольно по возрастанию количество игроков:

а) n = 1 (частный случай шаг 6) 20 = 1. Ответ: побеждает №1.

б) n = 2(частный случай шаг 6) 21 = 2 . Ответ: побеждает №1.

в) n = 3 F (3) = F (2) + 2 (3 – 2) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

г) n = 4 (частный случай шаг 6) 22 = 4. Ответ: побеждает №1.

д) n = 5 F (5) = F (4) + 2 (5 – 4) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

е) n = 6 F (6) = F (4) + 2 (6 – 4) = 1 + 2 ∙ 2 = 5. Ответ: побеждает №5.

ё) n = 7 F (7) = F (4) + 2 (7 – 4) = 1 + 2 ∙ 3 = 7. Ответ: побеждает №7.

ж) n = 8 (частный случай шаг 6) 23 = 8 . Ответ: побеждает №1.

з) n = 9 F (9) = F (8) + 2 (9 – 8) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

и) n = 10 F (10) = F (8) + 2 (10 – 8) = 1 + 2 ∙ 2 = 5. Ответ: побеждает №5.

й) n = 11 F (11) = F (8) + 2 (11 – 8) = 1 + 2 ∙ 3 = 7. Ответ: побеждает №7.

к) n = 12 F (12) = F (8) + 2 (12 – 8) = 1 + 2 ∙ 4 = 9. Ответ: побеждает №9.

л) n = 13 F (13) = F (8) + 2 (13 – 8) = 1 + 2 ∙ 5 = 11. Ответ: побеждает №11.

м) n = 14 F (14) = F (8) + 2 (14 – 8) = 1 + 2 ∙ 6 = 13. Ответ: побеждает №13.

н) n = 15F (15) = F (8) + 2 (15 – 8) = 1 + 2 ∙ 7 = 15. Ответ: побеждает №15.

о) n = 16 (частный случай шаг 6) 24 = 16 . Ответ: побеждает №1.

п) n = 17 F (17) = F (16) + 2 (17 – 16) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

р) n = 18 F (18) = F (16) + 2 (18 – 16) = 1 + 2 ∙ 2 = 5. Ответ: побеждает №5.

с) n = 19 F (19) = F (16) + 2 (19 – 16) = 1 + 2 ∙ 3 = 7. Ответ: побеждает №7.

т) n = 20 F (20) = F (16) + 2 (20 – 16) = 1 + 2 ∙ 4 = 9. Ответ: побеждает №9.

у) n = 21 F(21) = F (16) + 2 (21 – 16) = 1 + 2 ∙ 5 = 11. Ответ: побеждает №11.

ф) n = 22 F (22) = F (16) + 2 (22 – 16) = 1 + 2 ∙ 6 = 13. Ответ: побеждает №13.

х) n = 23 F (23) = F (16) + 2 (23 – 16) = 1 + 2 ∙ 7 = 15. Ответ: побеждает №15.

ц) n = 24 F (24) = F (16) + 2 (24 – 16) = 1 + 2 ∙ 8 = 17. Ответ: побеждает №17.

ч) n = 25 F (25) = F (16) + 2 (25 – 16) = 1 + 2 ∙ 9 = 19. Ответ: побеждает №19.

ш) n = 26 F (26) = F (16) + 2 (26 – 16) = 1 + 2 ∙ 10 = 21. Ответ: побеждает №21.

щ) n = 27 F (27) = F (16) + 2 (27 – 16) = 1 + 2 ∙ 11 = 23. Ответ: побеждает №23.

ъ) n = 28 F (28) = F (16) + 2 (28 – 16) = 1 + 2 ∙ 12 = 25. Ответ: побеждает №25.

ы) n = 29 F(29) = F (16) + 2 (29 – 16) = 1 + 2 ∙ 13 = 27. Ответ: побеждает №127.

ь) n = 30 F (30) = F (16) + 2 (30 – 16) = 1 + 2 ∙ 14 = 29. Ответ: побеждает №29.

э) n = 31 F (31) = F (16) + 2 (31 – 16) = 1 + 2 ∙ 15 = 31. Ответ: побеждает №31.

ю) n = 32 (частный случай шаг 6) 25 = 32 . Ответ: побеждает №1.

я) n = 33 F (33) = F (32) + 2 (33 – 32) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

d) n = 34 F (34) = F (32) + 2 (34 – 32) = 1 + 2 ∙ 2 = 5. Ответ: побеждает №5.

.

.

.

i) n = 41 F (41) = F (32) + 2 (41 – 32) = 1 + 2 ∙ 9 = 19. Ответ: побеждает №19.

.

.

.

f) n = 65 F (65) = F (64) + 2 (65 – 64) = 1 + 2 ∙ 1 = 3. Ответ: побеждает №3.

.

.

.

g) n = 150 F (150) = F (128) + 2 (150 – 128) = 1 + 2 ∙ 22 = 1 + 44 = 45.

Ответ: побеждает №45.

.

.

.

Данные таблицы (приложение 5) и формулы совпали. Результат исследования проверен аналитическим путём (формула) и практическим (вычёркивание порядковых номеров на окружности). В таблице также ясно прослеживается повтор номеров победителей 1, 3, 5, 7, … Увеличение этой последовательности на одно следующее нечётное число происходит после каждого частного случая. Это также интересно и может быть новой исследовательской задачей.

Заключение

Результат проведенного мною исследования позволяет сделать вывод, что исследовательская работа по математике возможна и полезна. На уроках я успешно год за годом проходил школьный курс математики, но встреча с математическим открытием произошла именно во время исследования по решению задачи Иосифа Флавия. Я выдвигал гипотезы, ставил вспомогательные задачи. Мне было очень интересно искать, анализировать, обрабатывать информацию из различных источников, осуществлять другие интеллектуальные операции в рамках исследования.

Вначале было трудно, закономерности не поддавались непосредственному экспериментальному угадыванию. Я превратил исследование в пошаговую последовательность более простых и понятных вопросов и задач, т.е. составил план исследования. Этот план позволил мне ощутить вкус исследования.

Трудности также возникли при изложении мыслей на бумаге: корректно и лаконично описать весь ход работы.

Увлекательной была работа над презентацией. В презентации я стремился наилучшим образом показать результат своей работы: стремился выбрать главное, коротко и ясно в виде тезисов излагать свои мысли.

Я научился сотрудничать со взрослыми людьми, преодолел свою застенчивость, повысил самооценку и статус в группе сверстников. Приобрел опыт ответственности, самостоятельности, индивидуальности.

Решение исторической задачи Иосифа Флавия (частный случай) – это мой первый опыт математического исследования.

Я считаю, что задача Иосифа Флавия – это задача с перспективой, с продолжением из которой вытекает множество других задач путём обобщения, изменения одного из параметров. Планирую в следующем учебном году дальнейшее развитие взятой мною темы: варианты: а) выбывает каждый kй, начиная с kго участника; б) узнать номер предпоследнего оставшегося игрока (спасти себя и друга).

Список литературных источников

1.Иосиф Флавий: биография, личная жизнь, фото. http://fb.ru/article/210287/iosif-flaviy-biografiya-lichnaya-jizn-foto

2.Иосиф Флавий. Википедия – свободная энциклопедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%84_%D0%A4%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B9

3.Задача Иосифа Флавия или считалка Джозефуса. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%98%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B0_%D0%A4%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%8F

4.Задача Иосифа Флавия или считалка Джозефуса – известная математическая задача с историческим подтекстом. http://guide-israel.ru/49035-zadacha-iosifa-flaviya/

5.Математические справочники и словари. http://nashol.com/matematika/

6. 7.Памятка школьнику «Как писать исследовательскую работу» http://belschool.ru/index.php?catid=218:2013-03-15-04-17-27&id=380:--q---q&Itemid=162&option=com_content&view=article

6. Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. Савин А.П. – 3-е изд., исп. и доп. – М.: «Педагогика – Пресс», 1997.

8.Этапы выполнения исследовательской работы http://obuchonok.ru/ETAPY

Приложения

Иосиф Флавий Иудейская война

Приложение 1

Таблица степеней числа 2

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5.

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

К-во игро-ков

побе-

дите-

ля

1

1

9

3

17

3

25

19

33

3

41

19

2

1

10

5

18

5

26

21

34

5

42

21

3

3

11

7

19

7

27

23

35

7

43

23

4

1

12

9

20

9

28

25

36

9

44

25

5

3

13

11

21

11

29

27

37

11

45

27

6

5

14

13

22

13

30

29

38

13

46

29

7

7

15

15

23

15

31

31

39

15

47

31

8

1

16

1

24

17

32

1

40

17

48

33

Приложение 6.

Количество игроков

№ победителя

1

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

128

1