III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

НЕИЗВЕСТНОЕ ОБ ИЗВЕСТНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Шамшурин А.В.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что нестандартные способы решения квадратных уравнений помогают экономить время, но развивают внимание. В своей исследовательской работе я рассмотрел приёмы решения квадратных уравнений, которые не используются в школьной программе. Во время изучения квадратных уравнений мне стало интересно, есть ли другие способы решения квадратных уравнений. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы другие способы решения квадратных уравнений. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 39 учеников 9 классов. На вопрос: какие способы решения квадратных уравнений вы знаете? Выяснилось, что по формулам -100%, графический -88%, разложение левой части на множители – 92 %, выделение полного квадрата -56 %, теорема Виета – 98 %, с помощью циркуля и линейки -2 %, способ переброски -5%, геометрический -0%, свойства коэффициентов – 17 %, с помощью монограммы – 0%. Какие способы вы используете чаще всего? По формулам -98 %, разложение на множители -53%.

Выяснилось то, что всего 2 % учащихся знают способы решения квадратных уравнений, которые не используются в школе. На вопрос: хотели ли вы узнать новые способы решения квадратных уравнений? Большинство учащихся дали положительный ответ.

Цель: выявление необычных способов решения квадратных уравнений.

Задачи: 1.изучить историю возникновения квадратных уравнений; 2. исследовать необычные методы решения квадратных уравнений; выявить положительные стороны и недостатки данных способов

Список литературе представлен в работе неполностью, так как в Интернете очень много полезного и интересного по данной теме, поэтому перечислить её невозможно. Брадис В. М. « Четырехзначные математические таблицы для средней школы» есть в каждой школьной библиотеке. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.[Электронный ресурс]/Режим доступа:http:10 способов решения квадратных уравнений scienceforum.ru>2016/1891/24550 Нестандартные способы решения квадратных…multiurok.ru>… В первой главе вы представлена история возникновения квадратных уравнений, первые способы решения квадратных уравнений. Во второй главе дано определение квадратных уравнений, дан алгоритм решения квадратных уравнений. Также представлены 5 нестандартных способов решения квадратных уравнений: свойства коэффициентов, геометрический способ, решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способ переброски. Я выявил положительные стороны и недостатки каждого способа. Решая одно и то же квадратное уравнение разными способами, я понял, что любое квадратное уравнение невозможно решить с помощью всех способов. В третьей главе вы встретите итоги и выводы практической работы «Решение квадратных уравнений нестандартными способами». Выяснили, что данные способы помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. Данная работа полезна и важна, как для учащихся, так и для учителей.

Для работы учителей, я создал методичку, в которой представлены приёмы и способы решения квадратных уравнений.

Глава 1

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений, различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю (если b=0 или b=0 и с=0 или с=0).

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0). Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Общий алгоритм решения квадратного уравнения

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b²-4ac.

2. Вычислить корни по формулам:

Если D0, x1=(-b+√D)/(2•a), x2=(-b-√D)/(2•a)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.

1. Свойства коэффициентов

Решая математические задачи, мы часто встречаемся с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но многие уравнения решаются таким способом.

Пусть ах2 + bх + с = 0, где а 0

  1. Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 =с/а;

  2. Если а + с = b , то х1 = -1, х2 = -с/а.

Пример 1. Решить уравнение: 341х2 + 290х – 51 = 0

Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.

341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b.Следовательно,х1 = -1, х2 =- .

Пример 2. Решить уравнение:67х2 – 75х + 8 = 0.

Решение. Имеем: а=67, b=-75, с=8

Замечаем, что 67- 75 + 8 = 0, следовательно, х1 = 1, х2 = .

Пример 3. Решить уравнение: 19х2 + 15х – 34 = 0.

Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0,то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда, х1 = = 1, х2 = -=-1 15/19

Пример 4. Решить уравнение: 319х²+1988х+1669=0

Решение. Имеем: а= 319, b=1988, с=1669.

Замечаем, что 319+1669= 1988, т.е. а+с=b, тогда х1=-1, х2=-1669/319

=-574/319

Задания для закрепления.

  1. 2 + 9х –14 = 0;

  2. 2 + х – 6 = 0;

  3. 2 + 4х - 9 = 0;

Вывод. Способ не требует особых усилий. Подходит только к некоторым уравнениям[4].

2. Геометрический способ решения

квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры. 1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.1).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х=8 – 21/2-21/2=3

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис. 2, где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.2).

3) Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у2 - 6у = 16.

На рис. 3 находим «изображения» выражения у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.

Решим уравнение: х² + 3х – 10 = 0 (х² + 3х = 10, рис.4)

0,5625

0,75х

0,5625

го

0,75х

х²

0,75х

0,5625

0,75х

0,5625

Решение: 3 : 4 = 0,75 0,75 • 0,75 = 0,5625 0,5625 • 4 = 2,25S = 10 + 2,25 = 12,25 (х + 0,75 + 0,75)² = 12,25 х + 1,5 = 3,5 х = 2 х + 1,5 = - 3,5 х = - 5

Вывод. Наглядный способ, но практического применения не имеет. Не всегда неудобные вычисления [8].

Рис. 4

3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Решим уравнение ax² + bx + с = 0:

1. Построим точку S(-b : 2a, (a + c) : 2a), центр окружности и точку А(0,1)

2. Проведем окружность радиуса SA

3. Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

Пример 1: х²-2х+1=0 (рис.6), а =1, в=-2, с=1

Находим координаты точки S: х=-в/2а х=-(-2)/(2•1)=1 у=(а+с)/2а у=(1+1)/(2•1)=1 S(1;1). Проводим окружность радиуса SA, получаем М - точку пересечения с осью Ох и координатами (1;0), значит х=1 – корень уравнения. (r=1, у=1, г=у).

Пример 2: х²+4х-5=0 (рис.7), а =1, в=4, с=-5

Находим координаты точки S: х=-в/2а х=-4/(2•1)=-2 у=(а+с)/2а у=(1+(-5))/(2•1)=-2 S(-2;-2). Проводим окружность радиуса SA, получаем М, P – точки пересечения с осью Ох и координатами (-5;0) , (1;0), значит х=-5; 1 – корни уравнения (r=3,8, у=-2, r>у).

Пример 3: х²-2х+5=0 (рис.8), а =1, в=-2, с=5

Находим координаты точки S: х=-в/2а х=-(-4)/(2•1)=2 у=(а+с)/2а у=(1+5)/(2•1)=1 S(2;1). Проводим окружность радиуса SA, точек пересечения с осью Ох нет, значит корней нет. (r=2,8, у=3, rу).

Вывод 1.

  1. Если радиус окружности больше ординаты центра, то окружность пересекает ось Ох в двух точках (2 корня).

  2. Если радиус окружности равен ординате центра, то окружность пересекает ось Ох в одной точке (1 корень).

  3. Радиус окружности меньше ординаты центра, то окружность не имеет общих точек с осью Ох (нет корней).

Вывод 2. Наглядный способ. Могут быть неточности[5;36].

4. Решение квадратных уравнений

с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Таблица XXH. Номограмма для решения уравнения z + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Номограмма – графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрический операций (например, прикладывание линейки), исследовать функциональные зависимости без вычислений.

С помощью номограммы можно решить только приведенные уравнения, общая формула таких уравнений x² + px + q = 0

1) Решить уравнение: z² - 9z + 8 = 0 (рис.10)

D=b²-4ас D=(-9)²-4•1•8=49>0, 2 корня

Номограмма даёт корни z1 = 8, z2 = 1

Рис.10

2) Решить уравнение: z² + 5z – 6 = 0 (рис.11)

D=b²-4ас D=5²-4•1•(-6)=49>0, 2 корня

  • положительный корень z1 = 1

  • отрицательный корень z2 = -p – z1 = - 5 – 1 = -6

Рис. 11

3) Решить уравнение: z² + 8z + 7 = 0 (рис.12)

D=b²-4ас D=8²-4•1•7=36>0, 2 корня

Вывод: 2 отрицательных корня: z1= -7, z2 = -1

Рис.12

4) Решить уравнение: z² + 3z + 3 = 0 (рис.13)

Вывод: корней нет

Рис.13

5) Решить уравнение: z² - 25z + 66 = 0 (рис.14)коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим t² - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3 z2 = 5t2 = 22

Рис.14

Вывод. Наглядный способ, удобен в применении. Не всегда под рукой имеется номограмма[1;83].

5. Способ «переброски»

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена х²+pх+q=0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение - свободному члену q. (х12 =-p х1• х2 =q)

В случае неприведенного квадратного уравнения ах²+pх+q=0 формулы Виета имеют вид: х12 =-b/a х1• х2 =с/а

Обратная теорема Виета.Если числа х1 и х2 удовлетворяют соотношениям х12 =-p х1• х2 =q , то они удовлетворяют квадратному уравнению х²+pх+q=0, то есть являются его корнями.

1) Решим уравнение: 3х² - 8х + 5 = 0. Перебросим коэффициент 3 к свободному члену: у² - 8у + 15 = 0, D=(-8)²-4•1•15=4>0

D=4>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 3; 5.

Возвращаемся к корням исходного уравнения: х1 = 1; х2 = 5/3 = 12/3

2) Решим уравнение: - 5х² + 6х - 1 = 0, D=6²-4•(-5)•(-1)=16>0

Перебросим коэффициент -5 к свободному члену:у² + 6у + 5 = 0

D=16 >0, по теореме обратной теореме Виета, получаем корни: - 1; - 5Возвращаемся к корням исходного уравнения: х1 = 1; х2 = 1/5

Вывод. За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. Легко найти только целые корни [3].

Небольшие эксперименты с квадратными уравнениями

Корни уравнений ах²+bх+с=0 и сх²+bх+а=0, где а ≠ 0, с ≠0 взаимно обратные.

Например:

9х²+3х-2=0, корни х1=1/3, х2=-2/3.

-2х²+3х+9=0, корни х1=3, х2=-3/2.

Султановский метод

Решить уравнение: Пример1:

9х²+3х-2=0 Замена: 3х=у

у²+у-2=0 у1=1, у2= -2 => х1=1/3, х2= -2/3

Пример 2:

16х²-4х-2=0 Замена: 4х=у

у²-у-2=0 у1=-1 , у2=2 => х1=-1/4, х2= 2/4=1/2

Нахождение корней уравнения с помощью делителей:

Пример 1: х²+5х-14=0 а=1

Делители 14: 1;-1; 2; -2; 7;-7;14; -14.

х1=2, х2=-7

Пример 2: х²+3х-28=0 а=1

Делители 28: 1;-1; 2; -2;4;-4; 7;-7;…

х1=4, х2=-7

Пример 3:

6х²+7х-3=0 у²+7у-18=0 Х1=2/6=1/3, Х2=-9/6=-1,5

Глава 3

Практическая работа «Решение квадратных уравнений нестандартными способами»

 

Решили

Более удобный способ

Будут

использовать

при решении

уравнений

Понрави-лись ли вам новые способы

1.Свойства коэффициентов

82%

32%

100%

100%

2.Метод переброски

98%

56%

100%

100%

3.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

56%

7%

8%

23%

4. Геометрический способ

23%

2%

0%

23%

5. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

81%

3%

5%

56%

На основании опроса учащихся 9 классов установлено, что наиболее сложными оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: решение квадратных уравнений по формуле, решение уравнений с использованием теоремы Виета (когда коэффициенты небольшие числа), применение свойств коэффициентов квадратного уравнения (особенно, когда коэффициенты большие числа). Практического применения не имеет геометрический способ решения квадратных уравнений. Крайне редко применяется графический способ решения квадратного уравнения. Никогда раньше не слышали о способах: с помощью номограммы, решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и о решение уравнений способом «переброски». Хотя способ вызвал интерес у учащихся.

Результаты исследования решения квадратных уравнений учащимися 9 классов выявили, что учащиеся при решении квадратного уравнения использовали только стандартные способы, изученные по школьной программе. На уроках математики я рассказал своим одноклассникам нестандартные способы решения уравнений, им понравились, они сами решили несколько уравнений. Я думаю, что эти способы помогут им научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к экзаменам[7].

Заключение

Тема работы «Неизвестное об известных квадратных уравнениях» раскрыта. Цель - выявление необычных способов решения квадратных уравнений достигнута.

Задачи:

  • изучить историю возникновения квадратных уравнений;

  • исследовать необычные методы решения квадратных уравнений;

  • выявить положительные стороны и недостатки данных способов. Выполнены.

В своей исследовательской работе я рассмотрел приёмы решения квадратных уравнений, которые не используются в школьной программе.

Решая одно и то же квадратное уравнение разными способами, я понял, что любое квадратное уравнение невозможно решить с помощью всех способов. Более рациональный способ для рассматриваемого мною квадратного уравнения – способ «переброски» старшего коэффициента. Но я выяснил, что самый удобный способ нахождения корней для большинства учащихся - это решение квадратных уравнений по формуле. Только этот способ дает возможность решить любое квадратное уравнение, но он не всегда рационален. Свойства коэффициентов помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.

Данная работа полезна и важна, как для учащихся, так и для учителей.

Литература

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С. 83.

2. Клюквин М. Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. – М.: Просвещение, 1963.

3. Кужепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.:высшая школа, 1969.

4. Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник B. C., Милое П. И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М., Высшая школа, 1973.

7. [Электронный ресурс]/Режим доступа:http:10 способов решения квадратных уравнений scienceforum.ru>2016/1891/24550

8. Пентковский М. В., Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М.: 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949;

9.[Электронный ресурс]/Режим доступа:http: Нестандартные способы решения квадратных…multiurok.ru>…niestandartnyie-sposoby…kvadratnykh…

 

18