III Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАВИСИМОСТЬ КРИВЫХ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Сучков Р.В.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Конечно же, каждый из нас слышал о таких понятиях как график функции, система координат, гипербола и т.п. Всё это является составляющими темы «Функции», с которой знакомимся мы в школе ещё в среднем звене.

Функция - в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Этот закон определяется уравнением , и на основе него строится график в плоской системе координат, задаваемой двумя осями X и Y. Двигаясь от 6 до 10 класса, мы усложняли уравнения и графики, вводили новые понятия, но никогда не выходили за рамки основного определения функции и принципа построения графиков. То есть нами не рассматривалась возможность построения, например, такой кривой как трехлепестковая полярная роза. Единственным, наверное, примером кривой (не функции) была окружность, которая встречалась нам как тригонометрии, так и при решении задания №18 с параметром в ЕГЭ. В 10-м классе на уроке информатики в рамках работы в табличном процессоре я столкнулся с построением графиков функций, и чтобы расширить область преподаваемого нам материала, заглянул за рамки заданных ограничений. В этом и заключается одна из целей, поставленных в данной работе - расширить знания по теме графики, попрактиковаться в области их построения. Таким образом, объектом моего исследования стали кривые II порядка - графики, в уравнениях которых нет такой строгой зависимости Y от X, как в функциях. Другим предметом моего исследования являются системы координат прямоугольная и полярная, а именно связь между декартовыми и полярными координатами.

Вот главная цель работы: построить графики кривых II порядка в полярной системе координат, а также выяснить, как различаются их графики в зависимости от варьирования коэффициентов и параметров функций. Для достижения целей работы было поставлено несколько задач:

  • пополнить знания о стандартных (невырожденных) кривых II порядка: эллипс, параболу, гиперболу;

  • рассмотреть нестандартные кривые II порядка;

  • познакомиться с полярной системой координат и сопоставить с декартовой, уже изучавшейся в школе.

Процесс решения каждой из задач был разбит на 2 этапа:

  • изучение и разбор теоретического материала, знакомство с новыми понятиями;

  • применение полученных знаний на практике, построение графиков.

1.Исследование кривых второго порядка 1.1. Стандартные кривые II порядка

Историческая справка: впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а при достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (иначе - прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). Кривые второго порядка делятся на вырожденные и невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Если же кривая невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трёх видов:

Эллипс, гипербола, парабола

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними - через . По определению эллипса .

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно

Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны. С гиперболой мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. По параболистической траектории летит брошенный вверх камень, отскакивает мяч от пола, движутся планеты вокруг Солнца.

1.2. Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Знания обычного человека в большинстве случаев ограничиваются одной-двумя системами координат. На самом же деле их существует великое множество: прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и т.д. На одном из уроков алгебры мы затрагивали кое-какие из них, а в этом исследовании я решил сопоставить две: прямоугольную (ёще называющуюся декартовой) и полярную (как хорошо знакомую и в корне отличающуюся).

1.2.1. Декартова система координат

Прямоугольная, или Декартова, система координат - прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р Декарта. Это наиболее простая и поэтому часто используемая система координат как на плоскости, так и в пространстве.

Историческая справка: Декарт впервые ввел координатную систему в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Она существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Данная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Эти оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла - четверти (I, II, III, IV) - образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами.

1.2.2. Полярная система координат

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

1.2.3. Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

1.3. Нестандартные кривые второго порядка

Просмотрев этот раздел, неосведомлённый человек может подумать, что часть нестандартных кривых второго порядка можно спокойно отнести к стандартным, другая же часть не имеет с ними ничего общего. Некоторые из них действительно представляют собой красивые витиеватые узоры, но некоторые выглядят как-то слишком просто, без изысков. Конечно, такое мнение имеет место существовать. Но ведь дело в степени и области применения кривых: одни встречаются постоянно, другие - только в узких специализированных целях - и в сложности уравнения. Хотелось бы в этом разделе рассмотреть наиболее интересные кривые: спираль Архимеда, улитка Паскаля, Розы Гранди. В разделе «Кривые II порядка в полярной системе координат» я перевел графики в другую полярную систему координат и построил их с помощью табличного процессора.

Кривые второго порядка в полярной системе координат

Эта часть является самой главной в моей работе, так как в ней описывается построение графиков в полярной системе координат в табличном процессоре MSExcel 2007. Выполняя построения мы старались акцентировать внимание на красоте математики, на том насколько все гениальное просто, ведь математика это предметная область, в которой все для жизни.

Полярная роза (Розы Гранди)

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: ,

для произвольной постоянной (включая 0). Если - целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных, либо с лепестками для чётных . Если - рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

       
       

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь - лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

- трехлепестковая роза

- клевер

 
     

- космея

 

Два графика в одной системе

     

Улитка Паскаля

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнение в полярных координатах:

Здесь — диаметр исходной окружности, а — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора.

В зависимости от диапазона получаются следующие графики

     

Спираль Архимеда

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра - расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для >0, а другую для