Применение законов физики элементарных частиц для описания релятивистских объектов

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Применение законов физики элементарных частиц для описания релятивистских объектов

Кошик Д.И. 1Вознюк Н.А. 1
1МБОУ Гимназия №3
Чижов Р.В. 1
1Белгородский центр детского юношеского технического творчества КВАНТОРИУМ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Введение

Современная физика сталкивается с фундаментальной задачей объединения двух важнейших теорий: квантовой механики, описывающей микроскопические процессы, и общей теории относительности, объясняющей гравитационные взаимодействия на уровне массивных объектов. Эти две теории кажутся несовместимыми из-за различий в описании природы времени, пространства и энергии.

Одной из ключевых проблем современной науки, является понимание поведения элементарных частиц в условиях сильных гравитационных полей, создаваемых такими релятивистскими объектами, как черные дыры. В рамках общей теории относительности черные дыры — это области пространства-времени с экстремальной гравитацией, деформирующей структуру Вселенной. Вблизи горизонта событий физические законы изменяются, и возникает необходимость привлекать квантовую механику.


Данная работа направлена на исследование того, как знания о поведенииэлементарных частиц могут быть применены для описания релятивистских объектов, таких как черные дыры, путем анализа физических процессов, происходящих вблизи горизонта событий.

Основные аспекты статьи:

  • Обзор фундаментальных уравнений квантовой механики и общей теории относительности.

  • Математическое преобразование уравнения Д’Аламбера в квантовую форму.

  • Анализ физических эффектов, происходящих с элементарными частицами вблизи черных дыр.

Данный подход позволит показать, как квантовая механика может быть использована для моделирования поведения частиц в условиях экстремальной гравитации, а также подчеркнуть перспективы объединения двух фундаментальных теорий.

Обоснование возможности использования волновой функции с объектами, описываемыми метрикой Швардшильда

При детальном изучении метрик черных дыр, можно выяснить, что волновая функция Шредингера будет сопоставима с сферически-симметричными чд, так как именно в решениях таких чд описываются движения частиц по изометрической сфере. Наш вопрос состоял в том, чтобы выяснить, какая именно метрика используется для этого.

Чтобы ответить на него, для начала, рассмотрим уравнения Эйнштейна, показанные ранее, и описывающие стационарные состояния произвольных механических систем, обладающих центральной симметрией, из которых доказано, что атомы и атомные ядра могут быть представлены как стоячие гравитационные волны.

Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (назовём его 1)) распадается на два независимых уравнения:

2) Rµν - gµνR = кgµν

Tµν = gµν (к – Λ)

Здесь k– некоторая функция, зависящая от размерности пространства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике.

Теперь введем метрику для многомерных пространствах размерностью D, описывающую описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц:

3)

,где: - углы на единичной сфере, погруженной в D - 1 мерное пространство. Данная метрика хоть и не имеет прямого отношения к геометрии чд, но нужна будет в дальнейшем, для вывода волновой функции.

Уравнения поля в метрике (3) сводятся к одному уравнению второго порядка:

4)

Уравнение второго порядка — это уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х), независимую переменную х и первую и вторую производные у', у'' .

Важно подметить, что уравнение (4) изменяет свой тип в зависимости от знака производной p′:

в области 0 < ′ p уравнение имеет эллиптический тип;

в области 0 > ′ p уравнение имеет гиперболический тип;

в области 0 = ′ p уравнение имеет параболический тип.

Для дальнейшего нахождения, применим уравнение Гамильтона-Якоби, которое для метрики (3) будет выглядеть следующим образом:

5)

Такой вид уравнения можно проинтегрировать и представить решение получившегося уравнения:

6)

в другом виде, с помощью способа Шредингера. Тогда получиться уравнение:

7)

Здесь в явном виде вводится классическое действие - Sd, постоянная Планка (ħ) и волновая функция Ψs. Используя классическое действие, мы определяем те параметры задачи, которые могут считаться внешними для квантовой системы. В случае метрики (3) удобно будет выбрать в качестве переменных квантовой механики углы на единичной сфере, а в качестве координат классического действия – время и радиальную координату.

Классическое действие — это величина, пропорциональная фазе квантовой волновой функции

Предыдущие уравнения Эйнштейна (2) – вакуумные уравнения стационарного состояния, описывающие гравитацию в исследуемом масштабе длин волн, из которых мы взяли метрику (3). Для нее, из уравнения Гамильтона-Якоби (5), мы вывели формулу (7), параметрами задачи которой стали: 1) углы на единичной сфере; 2) время и радиальная координата.

Основываясь на этом, можно сопоставить параметры и используемые уравнения с параметрами и математическим выводом сферически-симметричными метриками черных дыр. В итоге, мы получим, что это – метрика Шварцшильда.

Это так, потому что метрика Шварцшильда как раз выводилась из решения вакуумных уравнений Эйнштейна и ее параметры полностью схожи с нашим уравнением(7), а именно:

  1. симметричность.

  2. переменные времени и угловые радиальные координаты в метрике.

  3. движение частицы по единичной сфере.

Теперь можно ответить на изначальный вопрос: волновая функция может присутствовать в центрально-симметричной метрике Шварцшильда, и гравитационные волны его черной дыры будут описываться уравнением Шредингера.

Применение уравнения Шрёдингера для описания скалярного поля 1+1

Для этого раздела будем использовать метод разделения переменных.

Разделение переменных – стандартный метод в теории дифференциальных уравнений.

Его основная идея:

    1. Если уравнение линейное и переменные независимы (например, время и пространство), решение можно искать в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

    2. После подстановки, каждую переменную выделяют в отдельное уравнение, что упрощает анализ.

Рассмотрим скалярное поле в 1 + 1 пространстве и времени с метрикой:

(1.1)

Это двумерная (2D) метрика, которая используется для описания пространства-времени. Она определяет интервал ds2 между двумя событиями в зависимости от координат t (временная координата) и r (радиальная координата).

Функции B(r) и B-1 (r) зависят только от радиальной координаты r.

Такую метрику можно встретить в статических сферически-симметричных пространствах-временах, например в внешнем решении Шварцшильда.

Теперь зададим параметр, что:

B(r) имеет нуль в точке r=r0, что соответствует горизонту событий, и разлагается вблизи этой точки, а В не равно нулю и конечно в точке r0.

Тогда исчезновение B(r) в точке r0 говорит о присутствии горизонта событий.

Это так, потому что это свойство напрямую связано с физическими характеристиками метрики в общей теории относительности.

Рассмотрим это подробнее, когда B(r)=0, при r=r:

  • Метрика пространства-времени в заданной форме содержит функцию B(r), которая влияет на временной B(r)dt2 и пространственный - B-1 (r) dr2 компоненты метрики.

  • Тогда если B(r)→0, то в какой-то точке r=r0 временная компонента метрики B(r)dt2 становится нулевой. Это означает, что время, как его воспринимает удалённый наблюдатель, перестаёт быть определённым.

  • Одновременно пространственная компонента - B-1 (r) dr2 становится бесконечной, что указывает на «растяжение» пространственного интервала. Это свидетельствует о том, что в точке r=r0 невозможно двигаться в радиальном направлении так, чтобы покинуть эту область — она становится границей.

Теперь сравним это с физическими свойствами горизонта событий:

  • Горизонт событий в физике чёрных дыр определяется как область, из которой никакая информация или материальные объекты не могут вырваться наружу, включая свет.

  • На горизонте событий временной компонент обнуляется. Это отражает эффект гравитационного замедления времени: для удалённого наблюдателя любые процессы вблизи горизонта событий выглядят как замороженные.

Таким образом можно сделать вывод что B(r)=0,при r=r0 означает присутствие горизонта событий.

Рядом с горизонтом событий разложим B(r) как:

2.2)

где:

  • B′(r0)— первая производная функции в точке r0, характеризует скорость изменения функции B(r) в окрестности горизонта событий.

  • Линейный член B′(r0)(r−r0) - этот член описывает линейное приближение B(r) вблизи горизонта событий.

  • Если мы находимся в непосредственной близости от r0, то именно этот член определяет значение В(r), а старшипе члены (O ) становятся пренебрежимо малыми. Это говорит о том, что вблизи горизонта событий поведение фйункции В(r) практически линейное, что упрощает анализ физических процессов.

  • Старшие члены разложения (O ) описывают нелинейные эффекты или более сложное поведение B(r) на больших расстояниях от горизонта событий.

  • Их можно игнорировать при анализе близко к горизонту событий (r ≈ r0​), так как они оказывают малое влияние.

  • Приближерние B(r) B′( )(r− ):

Как было сказано ранее старшие члены разложения при анализе вблизи горизонта событий (при r ≈ r0) , что значительно упрощает формулу.

Заметим, что в случае метрики Шварцшильда: B′(r0) = r0−1 , где r0 = 2M – радиус Шварцшильда.

Теперь запишем уравнение поля для скалярного поля ф(t,r):

3.3) )

,где:

  • это оператор Д'Аламбера, который в трехмерном пространстве определяется как:

Как видно из его формулы, оператор Д'Аламбера определяет изменения в пространстве и во времени (оператор Лапласа)

  • - массовый член, который добавляется к волновому оператору, чтобы учесть массу скалярного поля.

В совокупности этот член связывает квантовые эффекты ℏ с релятивистской энергией - (m0​2с2)

Теперь подставим записанную нами ранее метрику (1.1) в оператор Д'Аламбера, получив:

Подставив данное выражение в формулу скалярного поля (3.3) получим:

Или если интерпретировать в другой форме, то будет:

6)

Разберем физический смысл полученной формулы:

  • Первый член описывает временные изменения скалярного поля, взвешенные метрикой .

  • Второй член описывает пространственные изменения, также модифицированные метрикой.

  • Массовый член связывает поле с его инерционными свойствами.

Теперь для дальнейшего преобразования и решения, что уравнение скалярного поля разложим на две функции, на временную и пространственную:

6) где:

e-iwt – описывает временную зависимость с угловой частотой.

Ψ(r) – радиальная функция, описывающая поведение поля в пространстве.

Форма e-iwt является решением уравнения Шредингера для времени:

7)

,где:

Ψ(r, t) – волновая функция

ℏ - приведённая постоянная Планка

E - энегрия состояния

Метод разделения переменных предполагает, что волновую функцию можно разложить в виде:

8) Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iwt

,где:

Ψ(r) – описывает пространственную часть волновой функции

e-iwt – временную зависимость

w связано с энергией E через уравнение:

w =

Смысл формулы:

Экспонента e-iwt является комплексной функцией. Она может быть представлена в виде:

9) e-iwt = cos(wt) – i sin(wt)

,где:

cos(wt) - реальная часть

i sin(wt) - мнимая часть

Это выражение описывает волновое движение с угловой частотой .Частота связана с энергией состояния, а такие колебания характеризуют вероятность нахождения частицы в конкретном состоянии.

Экспоненциальная зависимость e-iwt является для решением линейного дифференциального уравнения первого порядка:

10)

Это уравнение появляется из временной части уравнения Шредингера, если Ψ(r, t) разложить в виде произведения Ψ(r)T(t) , где T(t) – функция времени.

11)

Интегрируя уравнение (11), получаем:

12) T(t) = e-iwt

К полученной формуле подставим разложенные части функции в полученное нами формулу скалярного поля:

Функция зависит только от r, а временной множитель выносится как общий:

,

Подстановка этих производных в уравнение (n) дает:

Фактор выносится за скобки:

16)

Уравнение (n):

Физическое пояснение полученной формулы:

  • Уравнение теперь зависит только от радиальной координаты r, что позволяет исследовать поведение поля в пространстве без учета временной зависимости.

  • Временная часть представлена через частоту w, которая связана с энергией: E =ħw.

Для дальнейших действий нормируем функцию

Нормировка функции — это процесс приведения функции в такую форму, чтобы она удовлетворяла определённым условиям. Обычно нормировка используется для обеспечения определённого значения интеграла функции, например, равного единице.

Нормировав функцию получим:

Подставим в левую часть полученной функции выраженное ранее упрощение из уравнения (16)

и упрощая выражение, получим, что удовлетворяет уравнению:

,где:

(Вблизи горизонта событий чд Шварцшильда)

Пусть: r – r0 = x.

И

Тогда уравнение примет вид:

37)

Т.к. мы рассматриваем вблизи горизонта событий (35), то перепишем с условием этого уравнение (37):

В итоге, мы получили уравнение Шредингера.

Сведем его к стандартной форме и получим:

Чтобы не нарушать равенство устремим E→0

Полученное нами уравнение полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера, описывающему движение частицы в обратном квадратичном потенциале.

Полученное нами равенство эквивалентно задаче о движении частице в обратно-квадратичном потенциале вблизи начала координат.

Поле является релятивистским объектом, а это значит, что мы последовательно доказали, как с помощью законов физики элементарных частиц можно описать релятивистские объекты.

Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области черной дыры:

В этой главе, мы рассмотрим, как формируется волновая функция частицы (нейтрона) в черной дыре, какие параметры на нее влияют и как она может быть использована для описания физических процессов.

Как возникает волновая функция в черной дыре?

Для анализа поведения частицы в области черной дыры, мы будем использовать модифицированное уравнение Шредингера (22):

Как будет модифицироваться уравнение Шредингера?

Для дальнейших преобразований, в черной дыре нужно учесть следующие параметры:

    1. Гравитационное поле. Взаимодействие нейтронов в условиях черной дыры определяется сильной гравитацией. Потенциальная энергия U(r) задается законом всемирного тяготения:

    1. Сверхплотные состояния. Нейтроны в черной дыре находятся на расстояниях порядка 10-31 м. Такое сжатие приводит к доминированию квантовой кинетической энергии:

    1. Квантовое ограничение. Нейтроны не могут находиться слишком близко друг к другу из-за соотношения неопределенности Гейзенберга:

4.Деффект массы:В черной дыре сильное гравитационное поле вызывает дефект массы, вследствие чего нейтроны, из которых состоит модель представленной здесь черной дыры, кратно теряют массу и приобретают два противоположных заряда. В дальнейшем такие нейтроны будем называть проатомами.

Используя аналогию с моделью Бора для атома водорода, для протоатома на основе уравнения можно записать выражение для энергии стационарных состояний:

Приравнивая по модулю энергию квантового состояния и энергию гравитационного взаимодействия, получаем:

Подставим в изначальное уравнение Шрёдингера полученные нами параметры:

Упростив получим:

Данное уравнение будет являться уравнением Шрёдингера для частицы в условиях чёрной дыры.

Итоги:

В ходе работы было продемонстрировано, что проблема скалярного поля в фоне метрики Шварцшильда эквивалентна квантово-механической задаче о движении частицы в обратном квадратичном потенциале вблизи начала координат.

С помощью модифицированного уравнения Шрёдингера была выведена волновая функция элементарной частицы (нейтрона с дефектом массы) в условиях чёрной дыры.

Полученные результаты убедительно демонстрируют, что законы физики элементарных частиц могут успешно применяться для описания релятивистских объектов, таких как чёрные дыры. Такой подход позволяет объединить квантовую механику и релятивистскую гравитацию, открывая новые перспективы в изучении природы самых экстремальных объектов Вселенно

Источники:

Hawking, S. W.
Particle creation by black holes. — Communications in Mathematical Physics, 1975.

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В.

"Введение в теорию квантованных полей."

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

"Теория поля" (Том 2 из серии "Теоретическая физика").

Чепуров Иван Иванович

Потенциал 1/x2 и температура чёрной дыры(Курсовая работа.)

Киселёв В.В.,

"Квантовая механика. Курс лекций".

Переломов А. М.,

"Обобщенные когерентные состояния и их приложения".

Андрей Чернов

Применение волнового уравнения Шрёдингера к условиям чёрной дыры. Результаты исследования.

В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ

Дифференциальные уравнения примеры и типовые задания.

С.Г. Рубин

Устройство нашей вселенной

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года.

И.Ф.Гинзбург

Основы квантовой механики (нерелятивинская теория)

Просмотров работы: 34