XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Однажды, случайно увидев по телевизору передачу о различных способах умножения, захотелось изучить их более подробно, научиться их использовать для вычислений. Ведь оказалось, что можно умножать не только в столбик, как мы умеем, а существуют и другие способы умножения, более интересные и рациональные.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель исследования:

Детальное изучение различных способов умножения натуральных чисел, не использующихся в школьной программе. Сравнение их с точки зрения простоты и удобства вычислений. Выводы о возможности их применения как альтернатива традиционному способу умножения натуральных чисел.

Объектом нашего исследования является математическое действие умножения; предметом исследования - необычные способы умножения.

Цель исследования определила задачи:

· изучить литературу по данной теме;

· научиться применять необычные способы умножения;

· научить одноклассников использовать эти способы при вычислениях.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

2. Основная часть

Многообразие способов умножения натуральных чисел

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Русский крестьянский способ умножения (четные числа)

Смысл его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного множителя пополам при одновременном удвоении другого множителя.

Пример: 32 х 14

32	14
32	14
16	28
8	56
4	112
2	224
1	448

Деление пополам (см. левую половину Таблицы) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая число в правой части Таблицы. Последнее удвоенное число и дает окончательный результат умножения.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменится, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Поэтому в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 х 14 = 1 х 448 = 448.

Русский крестьянский способ умножения (нечетные числа)

Продолжая вычисления русским крестьянским способом, мы в процессе обязательно столкнемся с вопросом: а как быть с полученными в результате деления пополам нечетными числами, которые невозможно далее корректно уменьшить вдвое еще раз?

Здесь механизм вычислений немного меняется. Рассмотрим на примере.

Допустим, нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Основа алгоритма вычислений такая же, как с четными числами. Первое число запишем слева, а второе справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

Но - если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.

Далее операцию продолжаем, пока слева не останется 1.

Затем мы вычеркиваем те строчки, в которых слева стоят четные числа и складываем оставшиеся числа в правом столбце. Это и будет искомое произведение.

Более наглядно этот способ умножения представлен в таблице ниже.

Итальянский способ умножения сеткой (или решеткой)

Был распространен в средние века в Италии и на Востоке.

Получил свое название из-за внешнего сходства получаемой в процессе вычисления таблицы-решетки с решетчатыми ставнями – жалюзи венецианских домов того времени.

Рассмотрим этот способ умножения на примере 6827 х 345:

Вычерчиваем квадратную сетку с диагональными линиями внутри (наглядно на рисунке ниже) и расписываем первый множитель горизонтально над колонками, по одной цифре над каждой вертикальной колонкой. Второй множитель располагаем справа вертикально, каждая цифра напротив горизонтального ряда клеток.

Далее, последовательно умножаем число каждого ряда на числа каждой колонки, записывая результат в клетке их пересечения. Причем полученную в процессе умножения цифру записываем таким образом: десятки записываем слева от диагонали клетки, а единицы справа.

На рисунке ниже наглядно представлен результат таких вычислений для верхнего ряда таблицы. Здесь мы последовательно умножаем 3 на 6, затем на 8, на 2 и на 7, записывая в клетку полученный результат в соответствии с ранее описанными правилами.

Повторяем эти действия для каждого ряда таблицы, и получаем сетку с полностью заполненными клетками.

Далее мы складываем между собой все числа внутри границ одной диагональной полосы, начиная с правого нижнего угла. В получившемся числе: единицы мы записываем на краю сетки, а десятки (если они есть) прибавляем к цифре вычислений суммы чисел следующей диагонали.

На рисунке ниже наглядно представлен полученный итог этих вычислений.

И окончательным результатом умножения будет число, последовательно состоящее из цифр - результатов сложения чисел по диагоналям (они выделены жёлтым фоном)

В нашем случае это число 2355315, то есть 6827 х 345 = 2355315.

Индийский способ умножения двузначных чисел (крестом)

 

Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами в старину называли «способом молнии» или «умножение крестом».

Рассмотрим на примере ниже.

51 х 23

Записываем данные нам множители двузначные числа в две строки, как на рисунке ниже.

5 1

Х

2 3

Далее последовательно производим следующие действия:

Перемножаем единицы данных нам двузначных чисел.

1 х 3 = 3

Это будет последняя цифра итогового числа.

Затем умножаем цифры крест накрест и результаты складываем.

5 х 3 = 15; 1 х 2 = 2; 15 + 2 = 17

В этом числе единицы (7) будет предпоследней цифрой итогового числа, а десятки (1) - запоминаем.

Далее перемножаем десятки данных нам двузначных чисел.

5 х 2 = 10

И прибавляем запомненную цифру десятков из предыдущего вычисления.

10 + 1 = 11

Это будет первая цифра итогового числа.

Таким образом, в ходе вычислений мы получаем ряд цифр 11 7 3

И получаем наш итоговый результат умножения: 1173

51 х 23 = 117

Китайский способ умножения

При умножении данным способом считают точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Рассмотрим на примере: 21 х 13.

В первом множителе 2 десятка и 1 единица, значит строим 2 параллельные прямые, обозначающие десятки и поодаль 1 прямую, обозначающую единицы.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Количество пересечения точек прямых и будет окончательным итогом вычислений.

В нашем случае это 2 7 3

21 х 13 = 273

Японский способ умножения

Данный способ умножения использует графические изображения кругов и линий. Он напоминает рассмотренный нами ранее китайский способ.

Например, умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

12 х 34

Далее - так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

12 х 34

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, в нашем случае это 408.

12 х 34 = 408.

3. Заключение

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению, не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Этой работой, мы хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о необычных способах умножения.

В ходе исследования были изучены различные источники информации по теме, анализ которых показал, что существуют различные необычные способы умножения, достаточно быстрые и надежные. В результате исследования подтвердилась его актуальность: существует потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.

Изучив детально несколько альтернативных, отличающихся от традиционного принятого у нас способа умножения, можно сделать вывод, что среди них все-таки не существует единого универсального способа, способного полностью заменить традиционные вычисления.

Индийский способ крестом подходит только для двузначных чисел. Русский крестьянский способ легко и наглядно работает только на небольших четных числах, с нечетными процесс вычислений усложняется значительно. Графические китайский и японский методы наглядны и эффективны только при малом пересечении линий. Итальянский способ универсален для любых чисел, но требует тщательного и кропотливого вычерчивания таблицы решетки, что затратно по времени.

Таким образом, наиболее разумным кажется использование рассмотренных нами способов умножения как дополнение к общепринятому в тех вычислениях, где их применение наиболее эффективно и наглядно.

А без традиционного способа и знания таблицы умножения не обойтись!

Литература

1. И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин «За страницами учебника математики»

2. Л.Ф. Магницкий «Арифметика».

3. Энциклопедия для детей «Математика» Аванта +, 2010

4. Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.

5. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка/Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин.– М.:Дрофа,2006.-270 с.

6. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2006.-320 с.

7. http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm

8. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html