Можно ли играть с магическим квадратом?

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Можно ли играть с магическим квадратом?

Гаврилов С.А. 1
1МБОУ г. Коврова «СОШ №22 им. Г.Н. Сергеева», 2а
Пучко М.Н. 1Гаврилова В.С. 2
1МБОУ г. Коврова «СОШ №22 им. Г.Н. Сергеева»
2АО "ВНИИ "Сигнал"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими». (французский математик Пьер де Ферма)

  1. Введение

Математика – замечательная наука, позволяющая даже в повседневной жизни находить интересные закономерности и делать логические выводы. С древности людей увлекали математические последовательности, они были неразрывно связаны с развитием всех наук.

Одним из наиболее занимательных инструментов, являющихся примером математической упорядоченности, на мой взгляд, является магический квадрат.

Именно поэтому я решил исследовать методы составления таких квадратов и возможные игры с ними.

Тема моей работы:«Можно ли играть с магическим квадратом?»

Актуальность: данная тема является актуальной, так как для полноценного развития школьника необходимо укреплять математические навыки интересными и доступными средствами.

Цель работы: расширение представления об играх с магическим квадратом.

Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

  1. Изучить понятие магического квадрата и способы его построения.

  2. Рассмотреть связь магического квадрата с шахматами, а именно возможность составления магического квадрата путем непрерывного тура коня по шахматной доске.

  3. Предложить варианты игр с магическим квадратом.

Гипотеза:занятия математикой можно разнообразить с помощью игр с магическим квадратом.

Объектом исследования: магический квадрат.

Предметом исследования: игры с магическим квадратом.

  1. Основная часть

    1. Понятие магического квадрата и способы его построения

Магический квадрат – это таблица, состоящая из одинакового количества строк и столбцов, каждая ячейка которой заполнена числами, начиная с единицы, таким образом, что суммы чисел каждой из строк, столбцов и диагоналей равны.

Пример магического квадрата представлен на рисунке 1. Как можно увидеть, сумма чисел в каждых строке, столбце и диагонали равна 34.

Рисунок 1. Пример магического квадрата

Различают магические квадраты, содержащие четное и нечетное количество ячеек. Для построения каждого из таких квадратов используются следующие методы:

  1. Индийский способ – используется для построения нечетных квадратов.

Способ состоит в следующей последовательности действий [3]:

  1. в середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2;

  2. следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх;

  3. дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки;

  4. дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца (при этом, дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней);

  5. дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей под последней заполненной клеткой (при этом если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Графическое изображение способа представлено на рисунке 2.

Рисунок 2. Графическое изображение индийского способа построения магического квадрата.

  1. Способ Баше (способ террас) – используется для построения нечетных квадратов.

Способ состоит в следующем. Начертив квадрат 5х5 клеток запишем по порядку числа от 1 до 25, располагая их косыми рядами, как показано на рисунке 3а). Числа, стоящие за рамками квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. В результате получаем квадрат, представленный на рисунке 3б) [3].

а)

б)

Рисунок 3. Графическое изображение способа Баше для построения магического квадрата:

а) – расположение чисел при реализации способа

б) – искомый магический квадрат

3. Способ Деланэ-Мондезира – используется для составления некоторых четных квадратов [2]. Магический квадрат заполняется так, как показано на рисунке 4. В красные клетки вписываются числа так, будто квадрат заполнен последовательностью от 1 до 64 слева направо и сверху вниз. В синие клетки вписываются числа так, будто квадрат заполнен последовательностью от 1 до 64 справа налево и снизу вверх.

Рисунок 4. Графическое изображение способа Деланэ-Мондезира

    1. Ходы шахматного коня и магический квадрат

Еще Леонард Эйлер мечтал создать магический квадрат 8х8 клеток с помощью непрерывного маршрута шахматного коня, однако ему удалось составить только полумагический квадрат, в котором сумма чисел в столбцах и строках была равна 260, а сумма чисел в диагоналях – 210 и 282. Полумагический квадрат Эйлера представлен на рисунке 5.

Известному шахматистку К. Янишу также удалось составить полумагический квадрат, но уже из замкнутого маршрута шахматного коня [1]. В его полумагическом квадрате сумма чисел в столбцах и строках равна 260, а сумма чисел в диагоналях – 192 и 328. Полумагический квадрат Яниша представлен на рисунке 6.

Рисунок 5. Полумагический квадрат Эйлера

Рисунок 6. Полумагический квадрат Яниша

Как бы ни стремились математики прошлого найти магический квадрат, составленный из маршрута коня по шахматной доске, с помощью современных программных методов было установлено, что магического квадрата, у которого суммы чисел в диагоналях были бы равны 260 не существует.

Наиболее приближенный полумагический квадрат имеет суммы чисел в диагоналях 256 и 264. Изображение такого полумагического квадрата представлено на рисунке 7 [4].

Рисунок 7. Полумагический квадрат ходами шахматного коня

Однако, существует способ составления магического квадрата с помощью ходов шахматного коня или, как его еще называют, способ Москопула. Он заключается в том, чтобы двигаться конем вверх на 2 клетки, а вправо на 1. Когда конь начнет выходить за край доски, число, соответствующее такому ходу, перемещается в аналогичное поле в пределах доски. Когда ход коня дойдет до числа, кратного количеству строк и столбцов квадрата, то следующее число вписывается непосредственно под ним [2]. Графическое изображение способа представлено на рисунке 8.

Рисунок 8. Графическое изображение способа составления магического квадрата с помощью ходов шахматного коня

  1. Игры с магическим квадратом

Магический квадрат среди прочего применяется для методов шифровки и дешифровки различных сообщений. Зная магический квадрат, являющийся ключом, можно обмениваться зашифрованными сообщениями следующим образом.

Пусть магическим квадратом-ключом будет квадрат, представленный на рисунке 1. Тогда каждому числу квадрата можно присвоить букву так, как показано на рисунке 9.

Рисунок 9. Присвоение букв цифрам

Далее необходимо вписать буквы в соответствующие ячейки магического квадрата так, как показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Зашифрованное сообщение

Человек, получивший такой код, и знающий магический квадрат-ключ, сможет его расшифровать, проделав обратные действия. Используя этот метод, можно играть с друзьями в шпионов.

Также можно играть в магический квадрат по принципу судоку. Часть ячеек известного квадрата заполняется цифрами, а часть остается пустой. Каждому игроку необходимо по очереди вписать недостающие числа. У кого сумма больше – тот победил.

На рисунке 11 показан пример такой игры. Черные цифры были изначально указаны в квадрате, красные соответствуют ходам игрока Карамельки, синие – ходам игрока Коржика. Турнирная таблица этой игры представлена на рисунке 12.

А для того, чтобы играть было еще интереснее, подсчет очков можно осуществлять с помощью игры-ходилки, перемещая своего персонажа на вписанное в ячейку число. Итог этой игры на игровом поле представлен на рисунке 13.

Рисунок 11. Игра по принципу судоку

Рисунок 12. Турнирная таблица

Рисунок 13. Итог игры на игровом поле

  1. Заключение

В результате написания работы я сделал выводы:

  1. Магические квадраты – это занимательное и увлекательное занятие.

  2. Заполнять магические квадраты не так сложно, необходимо знать правила.

В ходе данной работы мной были рассмотрены такие способы составления нечетных магических квадратов, как индийский способ и способ Баше, а также способ Деланэ-Мондезира для составления четных магических квадратов. Каждый из этих способов предполагает определенную последовательность действий, позволяющих составлять магические квадраты разного размера.

Также была рассмотрена задача о туре шахматного коня, в ходе решения которой некоторым ученым удалось составить полумагические квадраты, однако внедрение в нашу жизнь цифровых средств расчета доказало невозможность составления таких квадратов непрерывным обходом коня шахматной доски.

Однако, метод хода шахматного коня все-же используется для составления магических квадратов, с ограничением по направлению хода и дополнительной последовательностью действий.

Для того, чтобы сделать более интересным изучение математики в целом и магических квадратов в частности, были предложены игра в шпионов и игра в магический квадрат по принципу судоку с подсчетом очков с помощью игры-ходилки.

Таким образом, поставленные в ходе работы задачи выполнены, цель достигнута.

Считаю, что гипотеза, выдвинутая мной, доказана полностью.

С использованием таких игр и магических квадратов изучение математики может быть не только познавательным, но и интересным.

  1. Список литературы

  1. Гик, Е. Я. / Математика на шахматной доске [Текст] // Е. Я. Гик – Москва : Наука, 1976. – 179 с.

  2. Еленьский, Щ. / По следам Пифагора. Магические квадраты и волшебные числа [Текст] // Щ. Еленьский – СПб : Качели, 2022. – 140 с.

  3. Магические квадраты [Текст] // сост. Я. И. Перельман. – Москва : Проспект, 2025. – 16 с.

  4. Обход конем шахматной доски с получением Магического квадрата [Электронный ресурс] – URL: https://habr.com/ru/articles/726726/

Просмотров работы: 59