XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Миниатюры о наибольших и наименьших значениях функций (величин)
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Понятия, созданные современной математикой, часто кажутся далекими от реального мира. Одним из основных методов познания природы является опыт, эксперимент. Однако не всегда целесообразно проводить эксперимент. В самых различных областях науки и техники все большую роль стал играть метод математического моделирования.
Чтобы решить какую-нибудь задачу, связанную с практической деятельностью, нужно предварительно изучить всевозможные связи между величинами, их характеристиками. Затем полученные связи выражают математически и приходят к уравнениям или системам уравнений. И после их решения можно делать выводы о том, что надо сделать, чтобы получить требуемые результаты.
Трудно указать область человеческой деятельности, в которой не применялся бы метод математического моделирования. Математический анализ как анализ переменных величин развивался именно в тесной связи с естествознанием, физикой, механикой, техникой. Потребности развития наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального и интегрального исчислений. Понятие производной – одно из основных.
В данной работе осуществлена попытка применить тему «Задачи на максимум и минимум» из раздела «Математический анализ» при решении геометрической задачи о коробке в форме прямоугольного параллелепипеда, в которой вычисляется наибольшее значение функции объема.
Актуальность работы обусловлена тем, что решать задачи на экстремум побуждают людей разные причины. Объясняется это тем, что они отражают повседневные проблемы в жизни человека. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за меньшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать; добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости) или понести наименьшие потери (времени, материалов, энергии) и т.д. С такими задачами приходится иметь дело представителям разных специальностей: инженеры-технологи стараются организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для автомобиля, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д. и т.п. Поэтому задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – наилучший).
Цель исследования: применить моделирование прикладных задач на отыскание наибольшего или наименьшего значений функции с помощью производной на примере вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и выяснить размеры открытой сверху коробки наибольшего объема, изготавливаемой из листа определенной площади.
Задачи исследования:
1. Повторить алгоритм математического моделирования задач на экстремум функции с помощью производной.
2. Решить задачу на вычисление объема прямоугольного параллелепипеда.
3. Рассчитать размеры открытой сверху коробки наибольшего объема.
Объект исследования: коробка в форме прямоугольного параллелепипеда, открытая сверху.
Предмет исследования: объем коробки и ее оптимальные размеры.
Практическая значимость работы: результаты исследований могут быть обобщены и использованы как наглядный пример применения знаний математического анализа при решении геометрической задачи на экономию ресурсов. Полученные данные актуальны в современное время, когда остро стоит вопрос об экономии ресурсов и материальных затрат.
В соответствии с поставленными задачами был определен план исследования:
1. Систематизировать информацию по теме исследовательской работы путем изучения дополнительной литературы, Интернет-ресурсов.
2. Сделать соответствующие выводы по результатам работы.
3. Оформить презентацию с результатами исследовательской работы.
Основная часть
1. С чего всё началось?
При изучении темы «Задачи на максимум и минимум» преподавателем была предложена ситуация, которая могла иметь место в реальной жизни.
Три хозяина решили огородить прямоугольные участки, имея на забор 100 м материала (сетки, штакетника и т.д.). Участки какой площади могли получиться? Будет ли среди них наибольший? (При решении задачи было сделано допущение, что можно огородить с четырех сторон любой прямоугольный участок, хотя в жизни размеры участков определяются межеванием специалистами в области землеустройства).
На доске были показаны три прямоугольника, в том числе частный случай – квадрат. Всей группой обсудили возможные размеры участков (рис.1).
Длина забора 100 м – это периметр фигур, поэтому были рассмотрены два прямоугольники размерами 10 м* 40 м и 20 м*30 м и квадрат со стороной 25 м. Соответствующие площади S1=400 м2, S2=600 м2 и S3=625 м2. Получилось, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшей площадью обладает квадрат.
Потом условие задачи было изменено: представим, что площади участков одинаковы и равны 100 м2. Одинаковое ли количество денег нужно на покупку материала для забора? Т.е. будет ли прямоугольник с наименьшим периметром?
На доске появились участки таких размеров (рис.2):
Рис.1 Рис.2
Соответствующие периметры фигур Р1=58 м, Р2=50 м и Р3=40 м. Получилось, что из всех прямоугольников с заданной площадью наименьшим периметром снова обладает квадрат. Т.е. квадратный участок выгодно иметь в любом случае, однако в жизни квадратных участков почти нет или очень мало. Это известно, так как у всех есть участки на дачах или дома в деревнях и селах.
Преподаватель задал вопрос: почему же в большинстве своем огороды более вытянутой формы? В ответ были приведены доводы в пользу вытянутых прямоугольных участков: удобство пахоты и полива, наличие соседей, выгода из-за материала разной стоимости для забора в передней и задней частях участка и т.д.
После обсуждения этих задач преподаватель подытожил: выгодней квадрата с периметром 40 м был бы круг с длиной окружности 40 м, потому что площадь такого круга Sкр>100 м2 и, кроме этого, круг легко начертить на земле. Вопрос только в том, что участок предполагается отдельный, как на хуторе, без соседей, не как в реальной ситуации. А в жизни при стыковке круглых участков остаются пустоты в виде неиспользованной земли.
На уроке мы также узнали, что ситуация с участком земли описал писатель Лев Толстой в рассказе «Много ли человеку земли нужно», герой которого, крестьянин Пахом, договорился с башкирами, что за 1000 рублей они отдадут ему столько земли, сколько он сумеет обойти за целый день – от восхода до захода солнца. А если не успеет вернуться к шихану, на котором остались башкиры, деньги его пропадут. Из рассказа узнали, что Пахом обежал за день участок периметром 40 верст в форме прямоугольной трапеции. Но участок не обладал наибольшей площадью. Да и конец рассказа оказался печальным.
2. Задача о коробке наибольшего объема
А дальше при рассмотрении прикладных примеров была предложена следующая задача из учебника [6]:
Из куска картона 32 см*20 см требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем загибая выступы для образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.
Перед решением задачи на уроке нужно было попытаться сделать из предложенного преподавателем произвольного листа бумаги коробку, не зная о том, что нужно вырезать по углам листа равные квадраты. Методом проб и ошибок всей группой выяснили это и начертили на доске и в тетради рисунки с изображениями первоначального листа бумаги и коробки в форме прямоугольного параллелепипеда (рис.3).
Рис.3
Практические задачи решаются средствами математики, как правило, в три этапа:
1) формализация – перевод исходной задачи на язык математики. Для этого выбирают удобный параметр х, через который оптимизируемую величину выражают как функцию f(x);
2) решение полученной математической задачи – средствами анализа ищется наибольшее (наименьшее) значение этой функции на некотором промежутке;
3) интерпретация найденного решения – выясняется, какой практический смысл (в обозначениях первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Таким образом, чтобы найти наибольший объем коробки Vнаиб, нужно было выяснить сторону отрезаемых квадратов. Неизвестную сторону квадратов обозначили через х см, по смыслу задачи х удовлетворяет неравенству 0<х<10, т.е. принадлежит интервалу (0;10).
Объем коробки вычисляется по формуле объема прямоугольного параллелепипеда V=abc, где длина коробки а=(32–2х) см, ширина b=(20–2х) см, высота с=х см.
Таким образом, задача свелась к следующей: найти наибольшее значение функции V=(32–2х)(20–2х)x на интервале (0;10).
Правило нахождения наибольших (наименьших) значений функции для отрезка формулируется так: чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее или наименьшее.
Функция V непрерывна на всей числовой прямой, поэтому будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0;10], потом сделаем вывод для нашей задачи.
Для нахождения критических точек вычислим производную:
V' = ((32–2х)(20–2х)x)'=(4(16–х)(10x–х2))'=4(– (10x–х2)+ (16–х)(10–2x)=4(3x2–52x+160).
Производная существует при любом хϵ[0;10].
Стационарные критические точки найдем из условия V' = 0.
Тогда 4(3x2–52x+160)=0, т.е. х1=4 или х2=13⅓. Вторая критическая точка не удовлетворяет неравенству 0<х<10, поэтому на заданном интервале функция имеет только одну критическую точку х=4.
Вычислив значения функции на концах отрезка [0;10], т.е. в точках 0 и 10, а также в критической точке 4, получим, что наибольшего значения функция V достигает при х=4.
V(0) = 0, V(10) = 0, V(4) = (32–2‧4)(20–2‧4)‧4 = 1152.
Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0;10], следовательно, и внутри интервала (0;10).
Примечание: Наибольшее (наименьшее) значения функции также можно найти, пользуясь следующим правилом: если на некотором промежутке (открытом или закрытом) функция имеет единственную критическую точку и в этой точке имеет локальный максимум (минимум), то именно в этой точке будет достигаться наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.
Можно выяснить экстремум точки х=4. При 0<х<4, т.е. при хϵ(0;4), выполняется неравенство V' > 0, а при 4<х<10, т.е. при хϵ(4;10) V' < 0. Значит, точка х=4 – точка максимума функции на промежутке (0;10). А так как она единственная критическая точка, то именно в этой точке функция объема достигает своего наибольшего значения.
Так как х – сторона отрезаемых квадратов, то полученный результат означает, что наибольший объем Vнаиб= 1152 см3 имеет та коробка, когда по углам прямоугольного листа картона размером 32см*20см вырезаются равные квадраты со стороной 4 см.
На уроке мы убедились в этом, посчитав дополнительно значения объема коробки при других значениях стороны вырезаемых квадратов:
– при х=2 см V(2) = (32–2‧2)(20–2‧2)‧2 = 896 (см3),
– при х=3 см V(3) = (32–2‧3)(20–2‧3)‧3 = 1092 (см3),
– при х=5 см V(5) = (32–2‧5)(20–2‧5)‧5 = 1100 (см3),
– при х=6 см V(6) = (32–2‧6)(20–2‧6)‧6 = 960 (см3).
3. Продолжение работы в новых задачах
После решения этой задачи преподавателем был задан вопрос: бумажные листы каких размеров обычно бывают под рукой при изготовлении открытой сверху коробки? Как правило, это лист формата А4, размеры которого 210 мм*297 мм (нашли с помощью сети Интернет, как видно, размеры отличаются от размеров предыдущего листа 20 см*32 см) и тетрадный лист, размеры которого измерили с помощью линейки по своим тетрадям (примерно 165 мм*205 мм). Какова должна быть сторона отрезаемых квадратов в этих случаях, чтобы коробка была наибольшей вместимости?
В данной работе ниже показано решение этих задач.
1) В случае формата А4 объем V=(29,7–2х)(21–2х)x=(29,7–2х)(21x–2х2), где хϵ(0;10,5).
V' =((29,7–2х)(21x–2х2))'=(–2 (21x–2х2)+ (29,7–2х)(21–4x)=12x2–202,8x+623,7.
Из условия V' = 0, 12x2–202,8x+623,7=0 нашли х1≈4,04, вторая точка х2>10,5, поэтому на заданном интервале функция имеет только одну критическую точку. После аналогичного исследования находим наибольший объем коробки
Vнаиб≈ V(4,04) ≈ (29,7–2‧4,04)(21–2‧4,04)‧4,04 ≈ 1128,5 (см3).
Вывод: Лист формата А4 (21 см*29,7 см) немного шире и короче первого листа размером 32 см*20 см, поэтому из него нельзя вырезать первый лист. Размеры листов не сильно отличаются, и наибольшие объемы коробок также примерно одинаковы.
2) В случае тетрадного листа объем V=(20,5–2х)(16,5–2х)x=(20,5–2х)(16,5x–2х2), где хϵ(0;8,25).
V' =((20,5–2х)(16,5x–2х2))'=(–2 (16,5x–2х2)+ (20,5–2х)(16,5–4x)=12x2–148x+338,25.
Из условия V' = 0, 12x2–148x+338,25=0 нашли х1≈3,03, вторая точка х2>8,25, поэтому на заданном интервале функция имеет только одну критическую точку. Наибольший объем коробки Vнаиб≈ V(3,03) ≈ (20,5–2‧3,03)(16,5–2‧3,03)‧3,03 ≈ 456,78 (см3).
Вывод: Тетрадный лист (16,5 см*20,5 см) по площади примерно в 2 раза отличается от первого листа (32 см*20 см), однако наибольшие объемы коробок отличаются более чем в 2 раза, а стороны отрезаемых квадратов менее, чем в 2 раза.
Если тетрадный лист взять размерами 16 см*20 см, т.е. по площади ровно в 2 раза меньше первого листа, то критическая точка х≈2,945 и объем коробки
Vнаиб≈ V(2,945) ≈ (20–2‧2,945)(16–2‧2,945)‧ 2,945≈ 420,11 (см3).
В этом случае наибольший объем маленькой коробки еще сильнее (более чем в 2 раза) отличается от объема первой коробки, хотя площади листов отличались ровно в 2 раза.
4. Общая задача
После вычислений с конкретными числами в качестве размеров прямоугольных листов, можно подытожить и решить общую задачу: от прямоугольного листа бумаги (картона, жести, пластика, металла) со сторонами а см и b см отрезали по углам квадраты со сторонами х см. Из оставшейся части сделали открытую коробку. Запишите формулу для вычисления объема V коробки. Какие значения может принимать переменная х при указанных значениях а и b? При каком значении переменной х и данных значениях а и b объем коробки будет наибольшим (рис. 4)?
Рис. 4
Размеры полученной коробки будут следующие: длина (а–2х) см, ширина (b–2х) см, высота с=х см, поэтому объем коробки описывается формулой V=(а–2х)(b–2х)х, где 0<х<b/2, т.е. при хϵ(0;b/2).
Производная V' = ((а–2х)(b–2х)x)'=(– 2(bx–2х2)+ (a–2х)(b–4x)=12x2–4(a+b)x+ab.
Производная существует при любом хϵ(0;b/2). Стационарные критические точки найдем из условия V' = 0, 12x2–4(a+b)x+ab=0.
ДискриминантD/4=(–2(a+b))2–12ab=4(a2+2ab+b2)–12ab=4(a2–ab+b2).
Т.е. критические точки х1= или
х2=
Вторая критическая точка не удовлетворяет неравенству 0<х<b/2, т.к. выражение > , поэтому на заданном интервале функция имеет только одну критическую точку.
Вычислив значения функции на концах отрезка [0;b/2], т.е. в точках 0 и b/2, а также в критической точке, получим, что наибольшего значения функция V достигает в критической точке, т.к. V(0) = 0, V(b/2) = 0,
Vнаиб=V(хкр)= , т.е.
Vнаиб=V(хкр)= Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0;b/2], следовательно, и внутри интервала (0;b/2).
5. Решение общей задачи средствами программы «MicrosoftExcel»
Открыв таблицу «Excel», в ячейки В3–В4 ввести исходные данные. Далее:
в ячейку В5 ввести изначально любое число (0<х<В4/2),
в ячейку В6 ввести формулу: =В3*В4*В5,
в ячейку В7 ввести формулу: = (B3+B4–КОРЕНЬ(B3*B3–B3*B4+B4*B4))/6,
в ячейку В8 ввести формулу: =(2*B3–B4+КОРЕНЬ(B3*B3–B3*B4+B4*B4))/3,
в ячейку В9 ввести формулу: =(2*B4–B3+КОРЕНЬ(B3*B3–B3*B4+B4*B4))/3,
в ячейку В10 ввести В7,
в ячейку В11 ввести формулу: =В8*В9*В10.
На экране увидим результат (рис.5):
Рис.5
Заключение
В ходе выполнения исследовательской работы цель по изучению вопроса о размерах коробки наибольшего объема была достигнута. Задачи исследования выполнены.
1) Изучен и систематизирован теоретический материал по данной теме.
2) Изучен и применен алгоритм математического моделирования задач на экстремум.
3) Изучена методика обработки данных средствами программы Microsoft Excel.
4) Выполнена мультимедийная презентация с результатами работы.
О чем свидетельствуют результаты работы?
В ходе работы над данной темой мы убедились в том, что объем открытой сверху коробки (бака) в форме прямоугольного параллелепипеда зависит от размеров листа, из которого она изготовляется, а также размеров квадратов, отрезаемых по углам листа, поэтому коробки имеют разные объемы. И, следовательно, среди них будет коробка с наибольшим объемом. Были решены задачи с конкретными размерами и задача в общем виде, решение которой оформлено средствами программы Microsoft Excel.
Если же нужно изготовить коробку (бак) определенного объема из листа заданной площади, то в задаче исследуется площадь материала на наименьшее значение (примеры такого рода задач приведены в приложении). Они играют значительную роль в экономическом плане для производителей всевозможных изделий, в том числе и продуктов питания в тарах различной формы (в форме прямоугольного параллелепипеда или цилиндрической формы). Так как в нашей стране выпускаются ежегодно огромное количество различных упаковок (картонных, пластиковых, жестяных, металлических), то экономия материала на изготовление каждой упаковки-тары позволила бы за счет сэкономленного материала изготовить дополнительное количество новых упаковок.
Проблема правильного использования материалов, экономии ресурсов стоит особенно остро в современное время, и поэтому невозможно представить нашу жизнь без применения математических расчетов. Действительно это так, во-первых, математические знания точны, так как строго доказаны; во-вторых, эффективны, так как используют оптимальные методы; в-третьих, универсальны, так как применимы и в биологии, и в технике, и в экономике.
В свое время математик А. Н. Колмогоров (1903-1987) говорил: «Умение пользоваться буквенными формулами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному рабочему». А слова академика А. Д. Александрова (1912-1999): «Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении» до сих пор актуальны.
Математика – это способ мышления, побуждающий действовать точно, оптимально и эффективно. Знания по математике можно усвоить только при решении задач и при применении их на практике. Об этом подчеркивал еще русский математик П. Л. Чебышёв (1821-1894): «Особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». При правильном применении в жизни полученных математических знаний проигрыша не будет.
Литература
1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. – М.: Физматлит, 2004.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2012.
4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2012.
5. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.
6. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (книги 1 и 2). – М.: Новая волна, 2005.
7. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта+, 2001.
Приложение. Примеры задач на максимум и минимум
а) задачи с геометрическим материалом
1 . Из имеющихся досок можно сделать забор длиной l. Как этим забором огородить прямоугольный двор наибольшей площади, используя в качестве одной стороны стену прилегающего здания?
(Эта задача является одним из вариантов так называемой задачи Дидоны. По преданию, мифическая основательница города Карфагена в Северной Африке финикийская царица Дидона в ответ на обращенную к вождю прибрежного племени просьбу о выделении ей территории для постройки города получила издевательское согласие уступить участок земли «в пределах бычьей шкуры». Однако хитрая Дидона не просто покрыла шкурой крошечную часть побережья, как рассчитывали аборигены, а разрезав шкуру на тонкие ремни, она отгородила этими ремнями довольно большой участок, который удалось сделать еще большим, воспользовавшись берегом моря).
2. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и затем разделить его на 2 равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?
3. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью S м2 и затем разделить его на n частей (n–1) перегородками, параллельными меньшей стороне участка. Каковы должны быть размеры участка (ширина х и длина у), чтобы на постройку забора и перегородок было израсходовано наименьшее количество материала?
4. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли, примыкающий одной из своих сторон к стене дома. Участок должен иметь определенную площадь S. Каково должно быть отношение его сторон, чтобы длина забора была наименьшей?
5. Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 500 литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?
6. Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. Какой должна быть сторона основания, чтобы площадь поверхности бака (без крышки) была наименьшей?
7. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?
8 . Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м2. Известно, что 1 м2 стеклянной стены стоит 75 у.е., а из обычного материала 50 у.е. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы стоимость всех стен была наименьшей?
9. Бассейн для воды, объем которого равен 32 м3, имеет форму правильной четырехугольной призмы. Дно и боковые стены бассейна надо покрыть плитками. Какими надо выбрать размеры бассейна, чтобы на его облицовку пошло наименьшее количество плиток? Сколько потребуется плиток, если их размер 20 см*20 см?
10. Для расфасовки растворимого кофе используются металлические банки цилиндрической формы объемом V. При каких размерах банки на ее изготовление потребуется наименьшее количество металла?
11. Сжатие вертикальной балки пропорционально площади поперечного сечения. Какое поперечное сечение прямоугольной формы должна иметь балка, изготовленная из круглого бревна диаметромd, чтобы сопротивление на сжатие было наибольшим?
1 2. Известно, что прочность на изгиб балки, имеющей прямоугольное поперечное сечение, пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Найти размеры поперечного сечения балки наибольшей прочности, если она изготовляется из материала цилиндрической формы диаметром d.
13. Оросительный канал имеет форму равнобедренной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь максимальную площадь?
б ) прикладные задачи (в том числе профессиональной направленности) из реальной математики
14. Определить, каким должен быть угол примыкания подъездного пути СЕ и магистрали АВ, чтобы суммарный годовой пробег автомобилей из С в А и В был как можно меньше. Известно, что движение между С и А будет в 2 раза интенсивнее, чем между С и В; АВ=100 км, АС=50 км, СD=30 км.
15. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте hследует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность? Известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона освещаемой маленькой площадки к лучу света, т.е. .
16. В степи на расстоянии 9км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от точки на шоссе, ближайшей к поисковой партии, расположен райцентр. Из поисковой партии в райцентр отправляется курьер-велосипедист. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи его скорость 8 км/ч, по шоссе – 10 км/ч?
17. Расстояние от песчаного карьера А до кирпичного завода В, расположенного на прямолинейной автомагистрали, равно 30 км. Песчаный карьер удален от магистрали на 24 км. Строительный кооператив взял подряд на строительство подъездной дороги от карьера к автомагистрали. На каком расстоянии от завода должна находиться развилка дорог Х, чтобы время доставки грузов от карьера до завода было наименьшим, если на магистрали автомашины могут развивать скорость 52 км/ч, а на подъездной дороге 20 км/ч?
18. Центральная усадьба совхоза находится на расстоянии 50км от города и на расстоянии 30 км от железной дороги, проходящей через город. Под каким углом к железной дороге следует провести прямолинейное шоссе, чтобы стоимость перевозок из совхоза в город (и из города в совхоз) была наименьшей, если известно, что стоимость перевозки по шоссе обходится в 2 раза дороже, чем перевозка на то же расстояние по ж/дороге.
1 9. Завод А нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город В. Расстояние от завода до железной дороги равно а, расстояние по железной дороге равно l. Стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже стоимости перевозок по железной дороге (k>1). Как провести шоссе к железной дороге, чтобы стоимость перевозок была наименьшей?