ГЕОМЕТРИЯ КЛЕТЧАТОЙ БУМАГИ

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

ГЕОМЕТРИЯ КЛЕТЧАТОЙ БУМАГИ

Гоголева А.С. 1
1МБОУ "Вилюйская гимназия им. И.Л. Кондакова"
Афанасьева Н.А. 1
1МБОУ "Вилюйская гимназия им. И.Л. Кондакова"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия на клетчатой бумаге является объектом для изучения повсеместно в математике. Ведь квадрат, из которых состоит такая бумага, очень удобная фигура. Она обладает рядом свойств, которые помогают решать некоторые геометрические задачи. Например, вычисление площадей фигур, вычисление расстояний. Применима «геометрия клетчатой бумаги» и по предмету география и картография. Ведь координаты задаются с помощью введения прямоугольной системы координат, которая и лежит в основе клетчатой геометрии.

Исследованию по данной теме послужила такая задача математического кружка как: «Дан прямоугольник 100×101, разбитый линиями сетки на единичные квадратики. Найдите число отрезков, на которое линии сетки разбивают его диагональ».

Объектом исследования является прямоугольник на клетчатой бумаге, предмет исследования – количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника.

Цель:выявить закономерности числа пересекаемых диагональю клеток в зависимости от длин сторон прямоугольника.

Задачи:

  1. Провести экспериментальные построения;

  2. Проанализировать полученную экспериментальным способом и информацию и сделать предварительные выводы;

  3. Вывести формулу для решения поставленной задачи в общем виде;

  4. Разработать задачи по данной теме.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: эксперимент, элементы метода математической индукции, систематизация, анализ.

Гипотеза: количество клеток, которые пересекает диагональ целочисленного прямоугольника зависит от его сторон.

1. Исследование прямоугольников с определенными сторонами

Назовем прямоугольник целочисленным, если его стороны выражены целыми числами. Тогда его можно разместить на клетчатой бумаге, поместив его смежные стороны вдоль линий сетки. Например, на рисунке целочисленный прямоугольник со сторонами 3х4.

               
               
               
               
               
               

Сделаем экспериментальные построения.

                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               

Видно, что для прямоугольников со сторонами 1хb, где (ширина равна 1, а длина равна целому числу b), диагональ пересекает ровно b клеток. Заметим, что вертикальные линии сетки пересекают диагональ таких прямоугольников ровно в (b – 1) точках.

Выполним аналогичные построения для прямоугольников, смежные стороны которых взаимно простые числа. Например, 2х3, 2х5, 2х7, 2х9, 3х4, 3х5, 3х7, 4х5, 4х7, 5х7, 5х8, 9х16.

2 х3 пересекает 4 клетки. Заметим, что 2 + 3 – 1 = 4

Т акже, заметим, что вертикальные линии сетки пересекают диагональ в 2х точках, а горизонтальные в 1 точке, итого 2+1=3 точки. Каждая такая точка находится на границе 2х клеток, то есть 3 ∙ 2 = 6 клеток. Посчитали каждую клетку 2 раза, кроме угловых, их посчитали 1 раз. Для симметрии счета удвоим и угловые клетки. Получаем 6 + 2 = 8. Итак, каждую клетку посчитали два раза. То есть полученный результат делим на 2. Получаем 8/2=4.

Прямоугольник 2х5: диагональ пересекает 6 клеток (2 + 5 – 1 = 6. Или 4 вертикальных пересечения с сеткой, 1 горизонтальное пересечение с сеткой, итого 5 точек. 5∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 12/2=6)

Прямоугольник 2х7: диагональ пересекает 8 клеток (2 + 7 – 1 = 8. Или 6 вертикальных пересечения с сеткой, 1 горизонтальное пересечение с сеткой, итого 7 точек. 7∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 16/2=8)

Прямоугольник 2х9: диагональ пересекает 10 клеток (2 + 9 – 1 = 10. Или 8 вертикальных пересечения с сеткой, 1 горизонтальное пересечение с сеткой, итого 9 точек. 9∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 20/2=10)

Прямоугольник 3х4: диагональ пересекает 6 клеток (3 + 4 – 1 = 6. Или 3 вертикальных пересечения с сеткой, 2 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 5 точек. 5∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 12/2=6)

Прямоугольник 3х5: диагональ пересекает 7 клеток (3 + 5 – 1 = 7. Или 4 вертикальных пересечения с сеткой, 2 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 6 точек. 6∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 14/2=7)

Прямоугольник 3х7: диагональ пересекает 9 клеток (3 + 7 – 1 = 9. Или 6 вертикальных пересечения с сеткой, 2 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 8 точек. 8∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 18/2=9)

Прямоугольник 4х5: диагональ пересекает 8 клеток (4 + 5 – 1 = 8. Или 4 вертикальных пересечения с сеткой, 3 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 7 точек. 7∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 16/2=8)

Прямоугольник 4х7: диагональ пересекает 10 клеток (4 + 7 – 1 = 10. Или 6 вертикальных пересечения с сеткой, 3 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 9 точек. 9∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 20/2=10)

Прямоугольник 5х7: диагональ пересекает 11 клеток (5 + 7 – 1 = 11. Или 6 вертикальных пересечения с сеткой, 4 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 10 точек. 10∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 22/2=11)

П рямоугольник 5х8: диагональ пересекает 12 клеток (5 + 8 – 1 = 12. Или 7 вертикальных пересечения с сеткой, 4 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 11 точек. 11∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 24/2=12)

Прямоугольник 9х16: диагональ пересекает 24 клеток (9 + 16 – 1 = 24. Или 16 – 1 = 15 вертикальных пересечения с сеткой, 9 – 1 = 8 горизонтальных пересечений с сеткой, итого 15 + 8 = 23 точек. 23∙2+2(угловые) посчитанных клеток в два раза больше, то есть 48/2=24).

2. Вывод и обобщение формулы для прямоугольников с произвольными сторонами

Итак, для прямоугольников с целочисленными сторонами, которые взаимно просты по отношению друг к другу, количество клеток, которые пересекает диагональ можно вычислить по формуле:

, где a, b– целые числа, стороны прямоугольника.

Теперь рассмотрим прямоугольники, у которых стороны не взаимно просты, а имеют другие делители кроме 1.

Н апример, 2х4, 2х6, 2х8, 2х14, 3х6, 3х9, 3х21, 4х6, 4х8, 5х10, 5х15, 12х18.

П рямоугольник 2х4: имеет одно «узловое пересечение» и пересекает 4 клетки. Обратим внимание, что этот прямоугольник можно разбить на прямоугольники размера 1х2. Стороны этого прямоугольника взаимно простые числа. Для которых мы умеем находить количество клеток, которые пересекает диагональ. (1 + 2 – 1 = 2) Диагональ пересекает ровно 2 таких прямоугольника, то есть пересекает 2∙2=4 клетки.

П рямоугольник 2х6: имеет одно «узловое пересечение» и пересекает 6 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х3. Диагональ пересекает ровно 2 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 3 – 1)∙2 = 6 клеток.

Прямоугольник 2х8: имеет одно «узловое пересечение» и пересекает 8 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х4. Диагональ пересекает ровно 2 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 4 – 1)∙2 = 8 клеток.

Прямоугольник 2х14: имеет одно «узловое пересечение» и пересекает 14 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х7. Диагональ пересекает ровно 2 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 7 – 1)∙2 = 14 клеток.

Предварительно, замечаем, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 2 (2х14 →1х7, 2х4 →1х2 и т.д.).

Прямоугольник 3х6: имеет 2 «узловых пересечения» и пересекает 6 клеток. Прямоугольник разбивается на “эквивалентные» прямоугольники 1х2. Диагональ пересекает ровно 3 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 2 – 1)∙3 = 6 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 3 (3х6 →1х2) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 3.

Прямоугольник 3х9: имеет 2 «узловых пересечения» и пересекает 21 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х3. Диагональ пересекает ровно 3 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 3 – 1)∙3 = 9 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 3 (3х9 →1х3) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 3.

Прямоугольник 3х21: имеет 2 «узловых пересечения» и пересекает 21 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х7. Диагональ пересекает ровно 3 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 7 – 1)∙3 = 21 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 3 (3х21 →1х7) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 3.

Прямоугольник 4х6: имеет 1 «узловое пересечение» и пересекает 8 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 2х3. Диагональ пересекает ровно 2 таких прямоугольника, то есть пересекает (2 + 3 – 1)∙2 = 8 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 2 (4х6 →2х3) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 2.

Прямоугольник 4х8: имеет 3 «узловых пересечения» и пересекает 8 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х2. Диагональ пересекает ровно 4 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 2 – 1)∙4 = 8 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 4 (4х8 →1х2) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 4.

Прямоугольник 5х10: имеет 4 «узловых пересечения» и пересекает 10 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х2. Диагональ пересекает ровно 5 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 2 – 1)∙5 = 10 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 5 (5х10 →1х2) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 5.

Прямоугольник 5х15: имеет 4 «узловых пересечения» и пересекает 15 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 1х3. Диагональ пересекает ровно 5 таких прямоугольника, то есть пересекает (1 + 3 – 1)∙5 = 15 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 5 (5х15 →1х3) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 5.

Прямоугольник 12х18: имеет 5 «узловых пересечений» и пересекает 24 клеток. Прямоугольник разбивается на «эквивалентные» прямоугольники 2х3. Диагональ пересекает ровно 6 таких прямоугольника, то есть пересекает (2 + 3 – 1)∙6 = 24 клеток. Заметим, что стороны эквивалентных прямоугольников получаются, если разделить стороны прямоугольника a и b на 6 (4х8 →1х2) и эквивалентных прямоугольников тоже будет 6.

Во всех случаях, те числа, на которые делили, чтобы получились эквивалентные прямоугольники, это оказались НОД (наибольший общий делитель) сторон прямоугольника.

НОД(2;4) = НОД(2;6) = НОД(2;8) = НОД(2;14) = 2.

НОД(3;6) = НОД(3;9) = НОД(3;21) = 3.

НОД(4;6) = НОД(4;8) = 2

НОД(5;10) = НОД(5;15) = 5

НОД(12;18) = 6

Этому же числу – НОД(a;b), было равно количество эквивалентных прямоугольников, которые пересекает диагональ. Количество «узловых пересечений» во всех случаях было равно числу (НОД(a;b) – 1).

Проверим полученный результат на предыдущих прямоугольниках.

Прямоугольник 1х2: НОД(1;2)=1 эквиваленный прямоугольник для которого (1 + 2 – 1)∙1 = 2 – клетки пересекает диагональ, 1 – 1 = 0 «узловых пересечений».

Прямоугольник 2х5: НОД(2;5)=1 эквивалентный прямоугольник для которого (2 + 5 – 1)∙1 = 6 – клеток пересекает диагональ, 1 – 1 = 0 «узловых пересечений».

Прямоугольник 4х8: НОД(4;8)=4 эквивалентных прямоугольника 1х2 для которых (1 + 2 – 1)∙4 = 8 клеток пересекает диагональ, 4 – 1 = 3 «узловых пересечения».

Прямоугольник 5х15: НОД(5;15)=5 эквивалентных прямоугольника 1х3 для которых (1 + 3 – 1)∙5=15 клеток пересекает диагональ, 5 – 1 = 4 «узловых пересечения».

Проверим прямоугольник 24х30: НОД(24;30)=6 эквивалентных прямоугольника 4х5 для которых (4 + 5 – 1)∙6=48 клеток пересекает диагональ, 6 – 1 = 5 узловых пересечений.

3. Примеры задач

Использовать полученный результата исследования можно при решении и составлении задач.

Задача 1. Сколько клеток пересекает диагональ прямоугольника со сторонами 2024 х 2025?

Решение: Чтобы узнать количество пересечений, мы должны найти НОД (2024, 2025). В этом случае НОД = 1. Теперь по формуле (а + b - 1) * НОД (a, b), где a и b - стороны прямоугольника, получим количество пересечений: (2024 + 2025 - 1) *1 = 4048 клеток.

Задача 2. На плоской планете Rectangle 84 равных по площади государства, каждая из которых квадратной формы. На север простирается 6 граничных государств, на восток 14 граничных государств. Путешественник Dot хочет пройти с одного угла планеты до противолежащего угла по диагонали. Каждый раз, когда он пересекает границу какого-то государства ему ставят штамп в паспорте. Сколько будет у него отметок в паспорте в конце путешествия?

Решение: Планета представляет из себя прямоугольник 6x14, по условию задачи мы должны найти количество точек пересечения диагонали с горизонтальными и вертикальными линиями сетки. По нашей формуле диагональ пересекает (3 + 7 - 1) *НОД (6;14) =9*2=18 клеток, то есть, 18 границ пересекает. И еще НОД (6;14) - 1= 2 - 1= 1 узловое пересечение. Вычтем из расчетов две вершины прямоугольника, так как он не выходил за пределы планеты. 18 + 1 - 2=17 отметок в паспорте.

Задача 3. У Ивана Царевича был самолет размером 18x27. Однажды Баба Яга на него разозлилась и разрезала ковер-самолет по диагонали. Какое наибольшее количество ковров-самолетов можно сделать из остатков, если известно, что ковер-самолет летает только если имеет квадратную форму.

Решение: Посчитаем сначала сколько квадратов было изначально 27*18=486 квадратов. Теперь посчитаем сколько квадратов испортила Баба Яга.

НОД (27;18) = 9 эквивалентных прямоугольников со сторонами (3;2). Количество клеток, которые пересекает диагональ (3+2-1)*9 = 36. Значит можно сделать 486 – 36=450 ковров-самолетов.

Задача 4. Сколько клеток пересекают диагонали параллелограмма с острым углом 450, одна сторона которого равна 8, а высота, проведенная к этой стороне равна 3?

Решение: Выполним построения: проведем высоту ВН=3. Тогда треугольник АВН прямоугольный и равнобедренный, значит отрезок АН=3. Проведем высоту ДК. Тогда меньшая диагональ параллелограмма является диагональю прямоугольника НВКД со сторонами 8 – 3 = 5 и 3. Диагональ пересекает (5 + 3 – 1) *НОД (5;3) = 7*1 = 7 клеток.

Чтобы найти вторую диагональ параллелограмма, достроим его до прямоугольника АРСТ. Тогда диагональ является диагональю этого прямоугольника со сторонами 8 + 3 = 11 и 3.

Диагональ пересекает (11 + 3 – 1) *НОД (11;3) = 13*1 = 13 клеток.

Последняя задача подводит к решению задачи на нахождение количества пересекаемых диагональю клеток в параллелограмме с углом 450.

Пусть одна сторона параллелограмма b клеток, а высота h клеток. Тогда большая диагональ параллелограмма совпадает с диагональю прямоугольника со сторонами (b+h) и h. А меньшая диагональ совпадает с диагональю прямоугольника со сторонами (b – h) и h.

Тогда большая диагональ пересекает (b + 2h – 1)*НОД((b+h);h) клеток, меньшая диагональ пересекает (b – 1)*НОД((b–h);h).

4. Заключение

Э кспериментальным путем и с помощью обобщения результатов исследования, пришли к следующему выводу:

Для прямоугольника на клетчатой бумаге, со сторонами выраженными целыми числами a и b, верно следующее утверждение:

Количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника равно (a + b – 1) ∙НОД (a; b), а количество «узловых пересечений» на единицу меньше, чем НОД (a; b).

Данный факт можно использовать для разработки математических задач и их решения. А также можно рассмотреть возможность выявления зависимости количества пересекаемых клеток диагональю параллелограмма.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. Сгибнев А. И. Исследовательские задачи для начинающих. 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2015. — 136 с.

  2. https://mmmf.msu.ru/archive/20112012/z8/14.html

Просмотров работы: 46