Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля

XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля

Деньгин С.А. 1
1МАОУ "СОШ г.Суздаля"
Плотникова Т.В. 1
1МАОУ "СОШ г.Суздаля"
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Модуль – это целый мир геометрических

образов, простых и понятных,

часто очень красивых и запоминающихся.

В курсе алгебры 7-9 класса мы изучаем свойства и учимся строить графики линейной и квадратичной функций, обратно – пропорциональной зависимости, функций у= и у= |х|. Но если свойства линейной и квадратичной функции мы изучаем очень подробно, много уроков учимся строить и анализировать их графики, то совсем мало времени учимся строить графики функций у= и у= |х|. Начав подготовку к ОГЭ по математике, я увидел, что в 21 задании надо построить график функции и выполнить по нему определённое задание. Причём очень часто надо построить график функции, содержащий знак модуля.

Цель: Научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

  1. Повторить теорию по теме «Функция. График функции. Определение модуля. Геометрический смысл модуля».

  2. Изучить методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля.

  3. Найти общие подходы к построению графиков с модулями.

  4. Составить список заданий, для самостоятельного выполнения при подготовке к экзаменам.

Объект исследования: функции, содержащие знаком модуля.

Предмет исследования: способы построения графиков функций, содержащих знак модуля.

Моя работа «Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля» будет интересна учащимся 9 класса, рассматривает теоретическую базу построения графиков с помощью определения модуля. В работе представлено решение основных примеров, которые могут встретиться в экзаменационном задании.

Основная часть:

§1. Историческая справка. Определение модуля.

Изучив историю развития математики, я узнал:

  1. До ХVI века в математике не было единой символики. Каждая операция записывалась полностью словами или знаками – сокращениями, которые использовал только один или несколько учёных.

  2. В ХVII веке французские учёные Франсуа Виет и Ренэ Декарт разработали единую буквенную математическую символику. Это позволило решать многие задачи по формулам.

  3. К началу ХVII века алгебра была уже достаточно развитой наукой. Рене Декарт ввел в математику понятия переменной величины и прямоугольной системы координат, которой мы пользуемся сейчас. Трудами Декарта алгебра была значительно усовершенствована.

  4. Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика Лейбница к голландскому математику Гюйгенсу в 1694 г. В обычное употребление термин введён в начале ХVIII в. Иоганном Бернулли.

  5. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Ввел в обращение этот термин ученик Исаака Ньютона — английский математик и философ Роджер Котс

  6. Обозначение модуля было введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом.

§2. Основные понятия.

  1. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если   то на координатной прямой существуют две точки a и -a, равноудаленные от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0.

  1. Переменная величина у называется функцией аргумента х, т. е. у = f (х), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у. Функция может быть задана различными способами: табличным, словесным, графическим, аналитическим. В математике чаще всего используется аналитический способ задания функции, при котором известна формула, устанавливающая зависимость между переменными х и у.

  2. Графиком функции называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых х и у удовлетворяют уравнению у = f (х). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу – осью ординат.

  3. Множество значений Х, при каждом из которых функция существует, называется областью определения функции у = f (х).

  4. Множество значений У, которые принимает переменная у, называется множеством значения функции у = f (х).

§3. Основные алгоритмы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком корня.

Чтобы построить график : сначала построим график функции у=х, а потом часть графика, лежащую под осью х отобразим симметрично относительно данной оси.

1 . 2.

В начале 9 класса мы изучали преобразование графиков функций:

  1. График функции y = |х + m| можно получить из графика y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на m единиц масштаба влево или вправо.

  2. График функции y = |х| + n можно получить из графика y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на n единиц масштаба вниз или вверх.

 

m<0

n>0

y = |х - m| y = |х| + n

 

n<0

 

m>0

Например:

Пример 1: Пострим график y = |х| - 2

Пример 2: Пострим график y = |х -2|

Изучив учебную литературу, я изучил и запомнил следующие алгоритмы построения графиков:

1.Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Пример 3:Рассмотрим график функции у = х2 – 4|х| +2.

Строить график будем так:

1) построим параболу у = х2 - 4х +2 и обведём ту её часть, расположенную правее оси Оу.

2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +4х +2 и обведём ту её часть, которая расположена левее оси Оу.

Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 4|х| +2.

2. Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х);

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Пример 4: Построить график функции у = |х2 – 4х +2|.

Сначала построим параболу у= х2– 4х +2.Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 4х + 2|, нужно, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох.

Пример 5: Построим график функции у=|3х+2|.

3. Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Пример 6: Построим график функции у = |х2 – 4|х| +2|.

Для этого мы построим график функции у =х2- 4|х| +2, затем часть параболы, расположенную ниже оси Ох, заменим линией ей симметричной относительно оси Ох.

4.Алгоритм построения графика функции׀у ׀ =f(x):

1. Построить график функции y = f(x).

2. Исключить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс.

3. Симметрично отобразить часть графика, расположенную выше оси ОХ вниз.

Пример 7: Построим график функции |у| = х2 – 4х +2.

5. Алгоритм построения графика функции∣у∣=∣f(x)∣:

1. Построить график функции у= f(x).

2. Часть графика f(x)<0, симметрично отображаем относительно оси Ох.

3. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

Пример 8: Построим график функции |у| = |х2 – 4х +2|.

6. Алгоритм построения графика функции у=∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣fn(x)∣

Для построения графика функции у=∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣fn(x)∣ нужно:

1. Найти нули каждого подмодульного выражения.

2. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.

3. В каждом промежутке получается функция без знака модуля.

4. Строим график каждой функции в каждом промежутке.

Пример 9: Построим график функции у = х2 - |4х+2|.

Пример 10: Построить график функции

у= │х - 3│ + │3х +2│ - х

§4 Заключение.

При выполнении исследовательской работы я:

  • выучил алгоритмы алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, и научился их применять;

  • научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений.

Я считаю, что изученная тема поможет мне решить 21 задание из второй части ОГЭ.

Литература и интернет ресурсы

1.Математика. Подготовка к ОГЭ – 2025, 9й класс под редакцией Ф.Ф.Лысенко.

2. Математика. Подготовка к ОГЭ – 2026, 9й класс под редакцией Ф.Ф.Лысенко.

3. Математика. Подготовка к ОГЭ – 2025, 9й класс под редакцией И.В.Ященко.

4. ФИПИ. Федеральный институт педагогических измерений http://5fan.info/qasotrjgeyfsbewpol.html

5. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва, «Просвещение».

Приложение:

Задания для подготовки к экзаменам (из сборника для подготовки к ОГЭ по математике под редакцией Ф.Ф.Лысенко):

  1. Постройте график функции у = х2+15х-3|х+7|+48 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

2.По стройте график функции у = х2+16х-4|х+8|+42 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

  1. Постройте график функции у = |х|(х+1) -5х и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

  2. Постройте график функции у = |х|(х-2) -3х и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

  3. Постройте график функции y = |x2− 7x +6|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

  4. Постройте график функции y = |x2− 10x +24|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

  5. Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

  6. Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

  7. Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k прямая y=k не имеет с графиком ни одной общей точки.

  8. Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k прямая y=k не имеет с графиком ни одной общей точки.

  9. Постройте график функции у = х|х| +3|х| -2х и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

  10. Постройте график функции у = х|х| -5|х| +4х и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

  11. Постройте график функции у = 3|х+7| -х2 -12х -40 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

  12. Постройте график функции у = 3|х+2| -х2 -5х -6 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Просмотров работы: 27