XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Геометрия музыкальных инструментов

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Алексеев И.А. 1

---

1МБОУ "Лицей №177" Ново-Савиновского района города Казани

Романова И.А. 1

---

1МБОУ "Лицей №177" Ново-Савиновского района города Казани

Работа в формате PDF

1 MB

Введение

Основная идея моего проекта – музыка и геометрия неразрывно связаны. Любой музыкальный инструмент – это точный геометрический прибор, где форма и размеры в соответствии с законами физики напрямую задают высоту, тембр и громкость звука.

Своим проектом мне хотелось бы показать, что геометрия окружает нас не только в школьном учебнике, но и в других сферах, например в музыке. Значимость темы моего проекта заключается в том, что она соединяет, казалось бы, несовместимое.

С одной стороны мое исследование про строгие формулы, фигуры и расчеты, а с другой про музыку, которую создают скрипки, гитары или флейты. Мной показано, как эти предметы и свойства связаны. Показано, как без точной геометрии инструмент будет плохо звучать или не будет звучать вообще.

На предметах в школе изучаются фигуры, объемы, пропорции, в то время как в музыкальных инструментах все это живет: корпус гитары – это объем для усиления звука, трубка флейты – цилиндр, по которому «бежит» воздух, а струна, зажатая на определенном расстоянии (длине!), издает нужную ноту.

По моему мнению, тема проекта актуальная в настоящее время, поскольку позволяет понимать мир. Когда мы знаем эти связи, мы по-новому смотрим на урок геометрии, и на концерт. Мы начинаем видеть «скелет» красоты.

Кроме того, информация, которая представлена в проекте помогает в обучении. Исследуя инструменты, мы лучше сможем понять темы по геометрии (объемы, площади, пропорции) и по физике (звук, колебания). Получается, один проект помогает в двух предметах сразу.

Цель – исследовать, как геометрические формы, пропорции и математические закономерности определяют звук, конструкцию и внешний вид различных музыкальных инструментов.

Задачи:

1. Изучить теоретические основы акустики звука и его связи с геометрическими параметрами (длина волны, частота, обертоны).

2. Провести классификацию музыкальных инструментов по главным геометрическим признакам, формирующим их звук (резонаторы, трубки, струны).

3. На практических примерах (скрипка, орган) исследовать применение конкретных геометрических закономерностей и пропорций (золотое сечение, ряд Фибоначчи) в конструкции инструментов.

4. Создать наглядную инфографику, демонстрирующую геометрический анализ строения скрипки и воплощение в ней принципов гармоничных пропорций.

Исследование проведено в два этапа. На теоретическом этапе изучены основы акустики и предложена классификация инструментов по геометрическому принципу звукообразования (резонаторы, трубки, струны). На практическом этапе проведен сравнительный анализ применения гармоничных пропорций (золотого сечения) в конструкции скрипки (как представителя струнно-смычковых) и органа (как представителя духовых). Для скрипки разработана подробная инфографика, визуализирующая геометрические закономерности в ее строении.

Установлено, что основные акустические характеристики звука (высота, тембр) имеют строгое геометрическое и математическое выражение через частоту, длину волны и спектр обертонов.

Подтверждено, что геометрия является основой для функциональной классификации инструментов: резонаторы (скрипка, гитара) формируют тембр, трубки (флейта, орган) задают высоту тона длиной столба воздуха, а струны – длиной свободно колеблющегося отрезка.

Практический анализ показал, что золотое сечение и связанные с ним пропорции по-разному проявляются в разных инструментах. В скрипке они обнаруживаются в основных пропорциях корпуса, расположении эфов и пружин, форме завитка, способствуя акустическому балансу и эстетическому совершенству. В органе геометрические пропорции (мензура труб) являются в первую очередь акустической необходимостью для создания богатого тембра, а в композиции фасада (проспекта) золотое сечение используется сознательно для достижения архитектурной гармонии.

Созданная инфографика показывает, как сложная геометрия (золотые прямоугольники, логарифмическая спираль, ряд Фибоначчи) заложена в форму скрипки, что является ярким свидетельством единства науки и искусства в работе мастеров.

1.Теоретическое исследование

1.1. Введение в акустику

Чтобы понять, как геометрия инструмента влияет на его звук, нужно сначала разобраться, что такое звук и как его можно «увидеть».

Звуком называется распространение упругих волн (физическое явление), которое возникает в результате механических колебаний среды: воздуха, жидкости, газа, и воспринимается слухом [6].

По другому источнику, звук – физическое явление, которое представляет собой распространение упругих волн в газе, жидкости или твердой среде. В узком понимании под звуком подразумевают такие волны, рассматриваемые с точки зрения их восприятия органами чувств [7].

Рассмотрим, как это работает:

1. Источник звука (например, гитарная струна) толкает ближайшие молекулы воздуха.

2. Эти молекулы, как домино, передают толчок соседним молекулам.

3. Область сжатия (где молекулы близко) бежит по воздуху.

4. За ней сразу бежит область разрежения (где молекул мало, потому что они «убежали» вперед).

5. Эта череда сжатий и разрежений долетает до нашей барабанной перепонки, заставляет ее колебаться, и наш мозг расшифровывает это как звук [8].

Так, если нет воздуха (например, в космосе) – нет и звука.

Ученые договорились изображать звук в виде графика – волновой формы.

Синусоида (синусоидальная волна) – это «идеальный» звук.
Это самая простая, чистая волна, как та, которую издает камертон. На графике она выглядит как плавная, бесконечно повторяющаяся «горка» и «впадина». Это геометрический портрет одного тона.

Рис.1. Синусоида (синусоидальная волна)

Длина волны (λ – «лямбда»). Это расстояние между двумя одинаковыми точками волны. Например, от гребня одной «горки» до гребня следующей. Чем больше длина волны, тем ниже звук (басы, мужской голос), чем меньше длина волны, тем выше звук (писк, женский голос) [14].

Рис.2. Длина волны (λ – «лямбда»)

Частота (измеряется в Герцах, Гц). Это количество полных колебаний (волн) в секунду. Если длина волны – это «расстояние», то частота – это «скорость покачивания». Низкий звук (длинная волна) имеет малую частоту (например, 100 Гц – 100 колебаний в секунду). Высокий звук (короткая волна) имеет большую частоту (например, 1000 Гц – 1000 колебаний в секунду) [17].

Рис.3. Частота звуковой волны

Так, для простоты запоминания можно отметить, что:

Высокий звук = Короткая волна = Большая частота.

Низкий звук = Длинная волна = Малая частота.

Перейдем к понятию обертонов (гармоникам) – «натуральный звукоряд». Настоящий звук музыкального инструмента – это не чистая синусоида. Это:

1. Обертоны (или гармоники) – это «спутники» основного тона, более высокие звуки, которые звучат вместе с ним, но гораздо тише. Они придают звуку окраску или тембр. Именно из-за обертонов мы отличаем звук скрипки от звука флейты, даже если они играют одну и ту же ноту.

2. Натуральный звукоряд – это математическая последовательность обертонов. Это строгий и красивый закон природы. Если основной тон условно принять за цифру 1, то обертоны будут относиться к нему как простые дроби:

1-я гармоника (основной тон): 1 (например, нота До большой октавы).

2-я гармоника: в 2 раза выше частоты (1/2 длины струны) – нота До следующей октавы.

3-я гармоника: в 3 раза выше (1/3 длины струны) – нота Соль.

4-я гармоника: в 4 раза выше (1/4 длины) – снова До, но еще на октаву выше и так далее.

Разберемся почему это так важно для геометрии инструментов, потому что форма и размеры инструмента усиливают одни обертоны и гасят другие:

– корпус гитары или скрипки –это резонатор. Он подобран так, чтобы лучше всего «откликаться» (резонировать) на определенные частоты – прежде всего, на низкий основной тон и его важные обертоны. От его геометрической формы и объема зависит, какие обертоны зазвучат ярко, а какие «потеряются».

– длина и форма трубки у флейты или тромбона определяет, какой основной тон и какой набор обертонов в ней сможет возникнуть [1].

Вывод. Изучение основ акустики показало, что звук – это физическая волна, чьи свойства – высота, громкость и тембр – напрямую описываются геометрическими и математическими понятиями. Основная взаимосвязь «высота звука = частота колебаний = длина волны» является главной. Именно эта связь позволяет проектировать музыкальные инструменты, а меняя геометрические параметры (длину струны, объем корпуса, длину трубки), мы управляем частотой и характером звуковых колебаний, создавая нужные ноты и тембры. Таким образом, акустика служит мостом между миром точной геометрии и миром искусства музыки.

1.2. Классификация инструментов по геометрическим признакам

Геометрия музыкального инструмента – это не просто дизайн. Это функциональная конструкция, которая определяет, как возникает и усиливается звук. Все многообразие инструментов можно разделить на три большие группы по их основным геометрическим элементам:

1. Идеальные объемы (резонаторы). Резонатор – это полый корпус с определенным объемом и формой, который усиливает и окрашивает исходный слабый звук (например, колебания струны), делая его громким, насыщенным и красивым [9].

Когда струна колеблется, она заставляет колебаться воздух внутри корпуса на своих частотах. Если частота колебаний воздуха совпадает с собственной частотой резонанса полости (это зависит от ее объема и формы), звук резко усиливается. Резонатор работает как «эхо-камера», настроенная на определенные ноты.

Так, например, скрипка, альт, виолончель. Их корпус имеет форму сложной «восьмерки» с изогнутыми деками (верхней и нижней). Эта форма обеспечивает оптимальное соотношение объема и прочности, позволяет эффективно передавать колебания от подставки через душку на всю поверхность деки, а «талия» (сужение в середине) нужна для удобства игры смычком.

Еще один пример – барабаны. Барабаны (литавры, том-томы) это цилиндры, накрытые мембраной. Объем и диаметр цилиндра определяют основную высоту тона. Бочка (бас-барабан) – самый большой цилиндр, издает самый низкий звук.

2. Идеальные трубки (столбы воздуха). В этих инструментах звук рождается непосредственно колебаниями столба воздуха внутри трубки. Музыкант заставляет воздух вибрировать (губами, тростью или потоком на ребро).

Закрытая или открытая трубка имеет собственную частоту колебаний, зависящую от ее длины (L) и формы поперечного сечения. Основная формула: чем длиннее трубка, тем ниже звук. Увеличивая длину трубки (как у тромбона) или открывая боковые отверстия (как у флейты), музыкант укорачивает рабочий столб воздуха и повышает звук [5].

Например, флейта, органная труба (открытая): цилиндр. Воздух колеблется по всей длине. Основной тон определяется длиной от мундштука до первого открытого отверстия. Кларнет: цилиндр, закрытый с одного конца (мундштуком). Такая трубка звучит примерно на октаву ниже, чем открытая флейта той же длины. Гобой, фагот, саксофон: конус. Коническая форма внутреннего канала создает другой набор обертонов (гармоник), что придает им более мягкий, «гнусавый» или насыщенный тембр по сравнению с цилиндрическими инструментами.

3. Струны и их геометрия. Это самая прямая и наглядная связь геометрии с музыкой, известная еще со времен Пифагора.Основной закон:высота тона(частота) обратно пропорциональна длине струны [13].

Чтобы музыкант мог точно извлекать нужные ноты, гриф гитары, балалайки или укулеле размечается ладями. Расстояние между ладами – не произвольное, а рассчитанное по математическому правилу. Каждый следующий лад приблизительно делит оставшуюся длину струны в определенной пропорции (около 1,05946, что соответствует 12-му корню из 2). Это позволяет получить 12 равных полутонов в октаве (темперацию).

Из-за этой зависимости лады расположены не равномерно, а сужаются к корпусу. Самый большой промежуток – между первым ладом и верхним порожком.

Представим вышерассмотренный материал в виде таблицы.

Таблица 1

Влияние геометрической формы на образование звука в

музыкальных инструментах

Вывод. Каждый музыкальный инструмент представляет собой точный геометрический прибор. Основной его элемент имеет строго определенную форму и размер, которые по законам физики преобразуют механическое движение в музыкальный звук заданной высоты и окраски.

2. Практическое исследование

2.1. Изучение принципов геометрии в музыкальных инструментах

Музыка и геометрия тесно связаны. Ранее мной выяснено, что еще древние ученые заметили, что красивые звуки рождаются при определенных пропорциях. Поэтому в практической части проекта я захотел выяснить, как геометрические законы, проявляются в конструкции двух разных инструментов: скрипки и органа.

1. Поиск золотого сечения в пропорциях корпуса скрипки (отношение длины к ширине, расположение пружин). Поиск золотого сечения (φ ≈ 1,618) в пропорциях инструмента – это интересная тема, которая балансирует на грани мифа, математической красоты и реального замысла старых мастеров [10].

Исследователи и энтузиасты анализируют чертежи и сами инструменты, выделяя несколько основных зон:

А. Общие пропорции корпуса (длина и ширина). Соотношение полной длины корпуса (от верхнего края верхней деки до нижнего края нижней) к максимальной ширине (чаще в нижней части). Для стандартной скрипки: длина корпуса ≈ 356-358 мм, максимальная ширина ≈ 203-206 мм. Отсюда, соотношение: 356 / 206 ≈ 1,728. Это близко к φ ≈ 1,618, но несколько больше. Более точное соответствие иногда наблюдается у конкретных мастеров или моделей.

Б. Зонирование корпуса (самая известная гипотеза). Здесь золотое сечение ищут в вертикальных сечениях. Корпус мысленно делится на части основными точками: эфами, пружинами, окончанием грифа.

– деление по эфам. Расстояние от верхнего края корпуса до верхнего края эфов часто относится к расстоянию от верхнего края эфов до нижнего края корпуса как 1:φ или близко к тому. Эфы оказываются на линии золотого сечения общей высоты деки.

– деление «окном» эфов. Пространство между эфами (самая гибкая и важная акустическая зона) также часто оказывается в золотой пропорции к ширине верхнего или нижнего овала.

– расположение пружин (дужек). Это главный момент. Внутренние пружины, поддерживающие деку, часто расположены не симметрично по длине, а в соответствии с гармоничными делениями. Расстояние от верхнего края до верхней пружины может относиться к расстоянию между пружинами как 1:φ. Вся система из трех отрезков (верх-верхняя пружина / между пружинами / нижняя пружина-низ) может образовывать последовательность, близкую к ряду Фибоначчи или золотому сечению [11].

В. Пропорции самих эфов. Высота эфа часто относится к его ширине в районе 1.6, что очень близко к φ. Расстояние между внутренними краями эфов в самой узкой точке (у «талии» скрипки) может быть связано с общей шириной в этой точке или с шириной верхнего овала.

Г. Пропорции «завитка» (головки). Спираль завитка – это классический пример логарифмической спирали, рост которой основан на золотом сечении. Многие мастера, безусловно использовали геометрические построения для создания идеальной формы завитка, и золотое сечение было естественной частью этой геометрии [4].

2. Анализ пропорций и золотого сечения в органной трубе. Орган – это совокупность сотен и тысяч труб, а их форма – это материализованная физика звука. Поиск гармоничных пропорций здесь не эстетическая прихоть, а математическая и акустическая необходимость.

А. Общие пропорции трубы: диаметр к длине (мензура). Это самый фундаментальный параметр, определяющий высоту тона и тембр:

– длина звучащего столба воздуха определяет основную частоту (чем длиннее труба, тем ниже звук). Но соотношение длины (L) к диаметру (D), называемое мензурой, существенно влияет на тембр.

– золотое сечение и мензура. Прямой зависимости L/D = φ для настройки высоты тона нет. Однако существует концепция оптимальной мензуры для богатства обертонов. Узкая мензура (труба длинная и тонкая, L/D велико) дает бедный, флейтовый звук с малым количеством обертонов. Широкая мензура (труба короткая и широкая, L/D мало) дает насыщенный, «фундаментальный» звук, но сложна в настройке и стабильности. Классическая, сбалансированная мензура для основных голосов часто находится в диапазоне, где различные гармоничные соотношения (включая октавы, квинты, терции) оптимально поддерживаются. Отношения длин труб в октавном ряду (1:2, 1:4) и квинтовом (2:3) – это основа музыкальной гармонии, выраженная в геометрии. Сама мензура (L/D) для идеального интонирования и тембра может эмпирически стремиться к значениям около 8-12 для открытых лабиальных труб, что не является φ, но является результатом оптимизации для гармонического ряда [2].

Б. Зонирование и форма. Золотое сечение может проявляться в пропорциях частей трубы относительно целого.

– у сложных труб (например, конусообразных или с раструбом) соотношение длины цилиндрической части к длине конической части или высоты раструба к общей длине может следовать гармоничным делениям для управления спектром обертонов.

– его форма и пропорции рассчитаны на эффективное излучение звука. Кривые роста такого раструба могут быть описаны логарифмическими спиралями, родственными золотому сечению [3].

В. Пропорции элементов:

–лабиальные (флейтовые) трубы. Тут важен параметр высоты лабиума (прорези) к ширине и его отношение к диаметру трубы. Эта пропорция влияет на «остроту» атаки и яркость звука. Эмпирически найденные оптимальные соотношения могут быть близки к простым дробям или гармоничным пропорциям.

– язычковые трубы. Здесь геометрия язычка (длина, ширина, толщина) и его соотношение с резонатором (трубкой) – это целая наука. Часто длина гибкой части язычка относится к его общей длине или длине резонатора в пропорциях, обеспечивающих стабильную генерацию и богатый спектр. Эти пропорции могли выводиться эмпирически и приближаться к «натуральным» рядам.

Г. Макропропорции:

– фасад органа (проспект) – это вершина органостроительного и архитектурного искусства. Расположение труб в проспекте подчиняется строгим визуальным законам: принцип пирамиды или треугольника (центральная ось, симметрия, уменьшение размеров от центра к краям и снизу вверх), золотое сечение в композиции (самая крупная труба (часто 16' или 32' задает центральную ось. Ее положение по вертикали и горизонтали часто делит фасад в золотом сечении. Группы труб формируют прямоугольники, соотношение сторон которых стремится к 1:1.618, создавая впечатление стабильности и гармонии), интервалы между трубами, их высоты могут образовывать визуальный ряд, аналогичный ряду Фибоначчи (где каждый следующий элемент равен сумме двух предыдущих), создавая естественный для глаза ритм [12].

Представим обобщенно материал в виде таблицы, которая наглядно сравнивает принципы применения геометрии в скрипке и органе.

Таблица 2

Принципы применения геометрии в скрипке и органе

Продолжение таблицы 2

Вывод. Проведенный анализ подтвердил, что законы геометрии, и особенно золотое сечение, являются важным принципом формообразования как в скрипке, так и в органе. Однако их роль в этих инструментах принципиально различается. В скрипке золотое сечение проявляется в основных точках (расположение эфов, пружин, форма завитка), создавая эстетически совершенную и акустически сбалансированную форму. Это результат интуитивного стремления мастеров к гармонии. В органе геометрические пропорции (мензура труб, форма раструбов) – это в первую очередь математическое условие для получения богатого и стабильного звука. А в композиции фасада золотое сечение применяется сознательно для достижения архитектурной гармонии.

Таким образом, математика служит мостом между визуальной красотой и акустическим совершенством, что и делает эти инструменты шедеврами как искусства, так и науки.

2.2. Инфографика с геометрическим анализом скрипки

На основе проведенного исследования была создана инфографика, посвященная скрипке как яркому примеру слияния искусства и геометрии. Для понимания того, где именно скрыты математические пропорции, необходимо сначала разобраться в строении инструмента.

Рис.4. Строение скрипки [15]

Основные части инструмента представлены на рисунке 4.

Основными для акустики и геометрического анализа являются: 

корпус (состоящий из верхней (8) и нижней (17) дек, скрепленных обечайкой (18)), гриф (15) с шейкой (16), эфы (5) – резонаторные отверстия в форме буквы «f», завиток (13) и внутренние элементы, невидимые глазу (пружины) [16].

Чтобы показать, как законы геометрии воплощены в форме, были созданы рисунки. На них поверх контура скрипки нанесены линии и пропорции, демонстрирующие принцип золотого сечения (φ ≈ 1,618).

Рис. 5. Пропорции корпуса скрипки

Рис. 6. Золотое сечение и расположение эфов

Рис. 7. Геометрия завитка (логарифмическая спираль)

Завиток является классическим примером логарифмической спирали, рост которой математически связан с золотым сечением. Это не просто украшение, а воплощение сложной геометрии.

Рис. 8. Внутренние пружины и ряд Фибоначчи

Вывод. Созданные мной рисунки наглядно доказывают, что совершенная форма скрипки – результат не случайности, а сложного геометрического построения. Мастера, возможно, интуитивно или сознательно, использовали гармоничные пропорции для создания инструмента, который является эталоном как визуальной красоты, так и акустического совершенства.

Заключение

Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы:

1. Изучение основ акустики показало, что звук – это физическая волна, чьи свойства – высота, громкость и тембр – напрямую описываются геометрическими и математическими понятиями. Основная взаимосвязь «высота звука = частота колебаний = длина волны» является главной. Именно эта связь позволяет проектировать музыкальные инструменты, а меняя геометрические параметры, мы управляем частотой и характером звуковых колебаний, создавая нужные ноты и тембры. Таким образом, акустика служит мостом между миром точной геометрии и миром искусства музыки.

2. Каждый музыкальный инструмент представляет собой точный геометрический прибор. Основной его элемент имеет строго определенную форму и размер, которые по законам физики преобразуют механическое движение в музыкальный звук заданной высоты и окраски.

3. Проведенный анализ подтвердил, что законы геометрии, и особенно золотое сечение, являются важным принципом формообразования как в скрипке, так и в органе. Однако их роль в этих инструментах принципиально различается. В скрипке золотое сечение проявляется в основных точках, создавая эстетически совершенную и акустически сбалансированную форму. Это результат интуитивного стремления мастеров к гармонии. В органе геометрические пропорции – это математическое условие для получения богатого и стабильного звука. А в композиции фасада золотое сечение применяется сознательно для достижения архитектурной гармонии.

4. Математика служит мостом между визуальной красотой и акустическим совершенством, что и делает эти инструменты шедеврами как искусства, так и науки. Созданные мной рисунки наглядно доказывают, что совершенная форма скрипки – результат не случайности, а сложного геометрического построения. Мастера, возможно, интуитивно или сознательно, использовали гармоничные пропорции для создания инструмента, который является эталоном как визуальной красоты, так и акустического совершенства.

Проведенное исследование доказало, что музыкальные инструменты подчеркивают глубокую связь между геометрией и музыкой. Их форма точный математический расчет, преобразующий механические колебания в гармоничный звук. Именно геометрия служит основой, превращающим инструмент из предмета в источник искусства. Таким образом, красота музыки имеет строгое научное и геометрическое основание.

Список источников

1. Акустика музыкальных инструментов // Большая российская энциклопедия. – Режим доступа: https://bigenc.ru/music/text/4157581 (дата обращения: 20.11.2024).

2. Акустика органных труб: основы». – Режим доступа: https://musike.ru/articles/akustika_organnyh_trub (дата обращения: 20.11.2024).

3. Архитектура органа: искусство проспекта. – Режим доступа: https://www.culture.ru/materials/255594/iskusstvo-organnogo-prospekta (дата обращения: 17.11.2024).

4. Геометрия скрипки: от чертежа к звуку». Научно-популярный обзор принципов построения. – Режим доступа: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/435103/Geometriya_skripki_ot_chertezha_k_zvuku (дата обращения: 17.11.2024).

5. Духовые музыкальные инструменты. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Духовые_музыкальные_инструменты#:~:text=Духовы́е%20музыка́льные%20инструме́нты%20—%20музыкальные%20инструменты,инструменты%20относятся%20к%20группе%20аэрофонов (дата обращения: 22.11.2024).

6. Звук. – Режим доступа: https://krasnodar.surdo-center.ru/chto-takoe-zvuk (дата обращения: 20.11.2024).

7. Звук. – Режим доступа: https://ru.ruwiki.ru/wiki/Звук (дата обращения: 24.11.2024).

8. Звуковая волна // Википедия: свободная энциклопедия. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Звуковая_волна (дата обращения: 01.04.2024).

9. Звуковой резонанс. – Режим доступа: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/mekhanicheskie-volny-zvuk-7593979/gromkost-zvuka-i-vysota-tona-akusticheskii-rezonans-284891/re-23efb699-64cb-4fab-bfc1-9f8586b505ef (дата обращения: 20.11.2024).

10. Золотое сечение в скрипках Страдивари. – Режим доступа:
    https://www.popmech.ru/science/12580-zolotoe-sechenie-skripki-stradivari/ (дата обращения: 17.11.2024).

11. О геометрии и акустике. – Режим доступа:
    https://www.violinmir.ru/ustrojstvo-skripki/akustika-i-geometriya (дата обращения: 22.11.2024).

12. Орган: история, конструкция, роль в музыке. – Режим доступа: https://baroquemusic.ru/encyclopedia/instruments/organ#:~:text=Устройство%20органа%20Все%20большое%20сооружение%2C%20именуемое%20органом%2C,в%20виндлады%20воздух%2C%20находящийся%20под%20постоянным%20давлением. (дата обращения: 22.11.2024).

13. Пифагор и музыка. – Режим доступа: https://priziv.online/kulturnykoddmd/2023/10/03/pifagor-i-muzyka/#:~:text=Звук%20образуется%20от%20колебания%20струны,до»%2C%20но%20октавой%20выше (дата обращения: 24.11.2024).

14. Синусоида сигнала: амплитуда, длина волны, частота и фаза. – Режим доступа: https://daxx.ru/blogs/blog/amplitude (дата обращения: 20.11.2024).

15. Скрипка – история создания, строение и особенности популярного струнного музыкального инструмента. – Режим доступа: https://music-hummer.ru/blog/skripka-populyarnyy-strunnyy-muzykalnyy-instrument/ (дата обращения: 24.11.2024).

16. Строение скрипки. – Режим доступа: https://dominantamusic.ru/blog/stroenie-skripki/ (дата обращения: 22.11.2024).

17. Что такое звуковая частота? Как частота звука влияет на качество музыки?. – Режим доступа: https://doctorhead.ru/blog/chto-takoe-zvukovaya-chastota-kak-chastota-zvuka-vliyaet-na-kachestvo-muzyki/?srsltid=AfmBOoq71J3vLalspVC-VBMs9ncQ8mnd1RKaq7qnxk8VDszMk2kLTwek (дата обращения: 24.11.2024).