Теория вероятностей и её применение в генетике

XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Теория вероятностей и её применение в генетике

Макоева В.И. 1
1МБОУ СОШ 30, г Владикавказ
Караева Д.А. 1
1МБОУ СОШ 30, г Владикавказ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Цель проекта:

изучить применение теории вероятностей в области генетики.

Задачи проекта:

  • собрать и проанализировать основной материал о теории вероятностей;

  • собрать и проанализировать теоретический материал о применении теории вероятностей в генетике.Введение

Мы живем в мире, где случайные события окружают нас повсюду: от прогноза погоды до шансов выиграть в лотерею. Казалось бы, случайный исход события, явления, эксперимента предугадать невозможно. Но математика доказывает обратное. Теория вероятностей – это уникальный раздел науки, который позволяет находить закономерности там, где их, на первый взгляд, нет.

В современном мире, насыщенном информацией и неопределенностью, умение анализировать и прогнозировать события, становится все более важным.

Теория вероятностей применяется во многих сферах: в статистике, экономике, инженерии, страховании, быту, медицине, особенно в генетике.

Сегодня речь как раз пойдет о роли теории вероятностей в генетике.

Но для начала рассмотрим основные понятия.

Основные сведения о теории вероятностей

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, величин и операций над ними, позволяя анализировать и предсказывать исходы в условиях неопределенности, используя числовые значения (вероятности) в диапазоне от 0 до 1 для оценки шансов наступления того или иного исхода.

Общая формула: P=m/n, где m – количество благоприятствующих событий, n – количество всех событий.

Событие как часть вероятности

Людям нередко приходится проводить всяческие наблюдения, опыты. Иногда подобного рода исследования заканчиваются результатом, который предсказать заранее нельзя. Итак, результат наблюдения, опыта называется событием.

Бывают случайные события. Случайным событием называют такой результат, который может произойти, а может и не произойти. Примерами случайных событий являются выпадение определённого числа при броске кубика, выигрыш в лотерею, или то, что следующий телефонный разговор будет длиться более 10 минут. 

Существуют также достоверные и невозможные события. Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в данных условиях, оно имеет вероятность, равную единице. Другими словами, это событие, которое является единственно возможным исходом опыта. Невозможное событие — это событие, которое гарантированно не произойдёт в результате эксперимента, независимо от условий. Его вероятность равна нулю.

Также в результате эксперимента могут произойти элементарные события. Так, например, при бросании игрального кубика могут выпасть шесть очков, четыре очка, число, кратное двум. Событие «число, кратное двум» можно разбить на боле простые события: «выпало четыре очка», «выпало шесть очков». А вот событие «выпало пять очков» разделить нельзя. Именно такое событие называется элементарным.

Есть события маловероятные. Это такие события, наступление которых имеет малую вероятность, но не исключено.

Вероятность событий может увеличиваться или уменьшаться – то есть, с ростом количества испытаний увеличивается общее число возможных исходов, а вероятность конкретного события определяется как отношение числа «благоприятных» для него исходов к общему числу возможных. При этом результат может отличаться от теоретического, так как каждый бросок не зависит от предыдущих, и исход каждого из них равноправен, независимо от того, что выпадало ранее.

Оценка вероятностей

Вероятность можно оценивать. Основанием для оценки может послужить определенный результат наблюдений.

К примеру, подбрасывая монету дважды, может выпасть герб два раза подряд. Но это не значит, что при дальнейших подбрасываниях будет выпадать только герб. Именно поэтому, чем больше испытаний провести, тем точнее будет оценка вероятности события по его частоте. Такая оценка называется статистической.

Исходя из каких-либо нескольких событий, можно определить два новых: их объединение – сумму и совмещение – произведение, то есть вероятности можно складывать и умножать.

Теорема сложения вероятностей: если события А1, А1, …, Аnтаковы, что каждые два из них несовместимы, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Несовместимыми событиями называются любые два события, одновременное осуществление которых невозможно.

Вероятность совмещения независимых событий D1, D2,…, Dnравна произведению их вероятностей. Независимыми событиями называются события, вероятность наступления одного из которых не зависит от наступления других событий.

Решение задач из ОГЭ и ЕГЭ

Для лучшего понимания темы разберем несколько простых задач.

  1. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение.

Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое из них, то есть таких чисел 900/5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел:

180/900=1/5=0,2.

 Ответ: 0,2.

  1. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.

Решение.

Количество каналов, по которым не идет кинокомедия равно 20-3=17. Вероятность того, что Маша не попадет на канал, по которому идут кинокомедии, равна отношению количества каналов, по которым не идут кинокомедии к общему числу каналов:

17/20=0,85.

Ответ: 0,85.

  1. Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень из трёх.

Решение.

Вероятность поразить одну конкретную мишень – P(A1) – равна сумме вероятностей поражения мишени с первого раза и поражения мишени со второго раза, то есть:

P(A1)=0,5+(1-0,5)*0,6=0,5+0,3=0,8

Тогда вероятность промахнуться – P(A1) равна:

P(A2)=1- P(A1)=1-0,8=0,2

Значит, вероятность того, что стрелок попал по одной конкретной мишени и промахнулся по оставшимся – P(A), равна:

P(A)= P(A1)*P(A2)*P(A2)=0,8*0,22=0,032

Мишени три, поэтому вероятность того, что стрелок попал ровно по одной мишени (первой, второй или третьей) и промахнулся по оставшимся – P(B), равна:

P(B)=3 P(A)=3*0,032=0,096.

Ответ: 0,096.

Теория вероятностей в области генетики

Что такое генетика

Почему дети похожи на своих родителей? Почему одни болезни передаются по наследству, а другие – нет? Как ученым удается бороться с неизлечимыми ранее недугами? Ответы на эти и многие другие вопросы дает генетика. С расшифровкой человеческого генома началась новая эра в медицине, биологии, криминалистике.

Если говорить просто, генетика – это наука о наследственности и изменчивости организмов.

Введем основные понятия:

Хромосома – это структура в ядре клетки, содержащая ДНК.

ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота) – это молекула, которая хранит всю генетическую информацию. ДНК – это длинная двойная спираль, состоящая из нуклеотидов. Нуклеотид – основная структурная единица ДНК.

Ген – это последовательность нуклеотидов в ДНК.

Аллель – это одна из нескольких возможных вариаций одного и того же гена.

Вероятность аллели – это частота встречаемости аллели.

Локус– это местоположение гена на хромосоме.

Генотип – это совокупность всех генов организма.

Гомозиготный генотип – это когда организм наследует одинаковые аллели от обоих родителей, т.е. в локусах находятся одинаковые аллели.

Гетерозиготный генотип – это когда в хромосомах находятся разные варианты одного и того же гена, т.е. в локусах находятся разные аллели.

Индивидуум – это самостоятельно существующий организм – особь.

Генетика, криминалистика и теория вероятностей

В настоящее время в практику судебной медицины и криминалистики вошли новые методы идентификации, основанные на анализе ДНК. ДНК-анализ используется как в экспертизе вещественных доказательств, так и в экспертизе происхождения индивидуума.

В ходе анализа ДНК не выявляются особые, свойственные только данному индивидууму, признаки. Каждый из изучаемых признаков обладает только групповой принадлежностью, но в совокупности они позволяют индивидуализировать объект. Идентификация выявленных признаков осуществляется на основе вероятностных расчетов, базирующихся на данных о частоте встречаемости признаков у населения. Частоты встречаемости признаков устанавливают опытным путем. Для этого исследуют определенную группу людей, и для каждого из признаков подсчитывают частоту встречаемости. Данные позволяют вычислить вероятности признаков.

Вероятность случайного совпадения генетических признаков – это вероятность совпадениягенетических признаков данного объекта и генетических признаков случайного лица.

Основным признаком является аллель – одна из форм одного и того же гена. При популяционных исследованиях в пределах каждого локуса (положения определенного гена на хромосоме) выявляется целый ряд аллелей; у отдельно взятого индивидуума определяются одна или две аллели. Вероятность аллели обозначается символом p. Символ pkозначает вероятность того, что аллель принимает значение k. Например, символом p2 обозначается вероятность аллели номер 2. Если в локусе n аллелей, то сумма вероятностей всех аллелей одного локуса в популяции равна 1:

p1+ р2+ … + рn= 1, где р1, р2, рт – частоты аллелей, обозначенных номерами 1, 2, … n.

Если частота аллели не установлена или аллель редкая, то используют минимальную частоту аллели:

рmin= 5 / 2N, где N – число исследованных лиц.

Например, если для определения частот исследовали 200 лиц, то рmin= =5/(2×200) = 0,0125, если 1000 лиц, то рmin= 5/(2×1000) = 0,0025 и т.д.

Сумма частот всех генотипов (совокупности всех генов) одного локуса равна 1, а так как каждый из генотипов содержит по две аллели, то сумма частот генотипов математически равна квадрату суммы частот аллелей:

(р1+ р2+ …+ рn)2= р12+ 2р1р2+ р22+ … + 2р1рn+ 2р2рn+ … + рn2= 1, где р12, р22,… рn2 – частоты встречаемости гомозиготных генотипов (когда в локусах находятся одинаковые аллели); 2р1р2, … 2р1рn, 2р2рn– частоты встречаемости гетерозиготных генотипов (когда в локусах находятся разные аллели).

Алгоритм вероятностно-статистической оценки результатов:

  1. Наблюдаем совпадение генетических признаков данного объекта и лица (допустимое количество несовпадающих локусов – 0);

  2. Предполагаем, что лицо является случайным, генетические признаки которого совпали с объектом;

  3. Определяем вероятность совпадения со случайным лицом (вероятность случайного совпадения генетических признаков). Данная вероятность равна вероятности встречаемости генотипа в популяции;

  4. Сравниваем полученную вероятность с численностью населения Земли;

  5. Формулируем вывод.

Приведем пример:

  1. Вероятность случайного совпадения генетических признаков составляет 1,14 ×10–10. Это означает, что теоретически в среднем одно лицо из 8,2 миллиардов обладает генетическими признаками, согласующимися с генетическими признаками исследуемого объекта. Полученное значение вероятности Р (1 / 8,77 ×109) свидетельствует о том, что среди населения Земли (около 8,2 ×109человек) только одно лицо обладает генетическими признаками, согласующимися с генетическими признаками исследуемого объекта.

Заключение

В ходе выполнения данного проекта удалось изучить связь между медициной и математикой. Рассмотрев основные принципы теории вероятностей в контексте генетики, можно сделать вывод о том, что случайность на клеточном уровне превращается в закономерность на уровне целого вида.

Литература:

  • Интернет;

  • И. О. Перепечина, С. А. Гришечкин "ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ В ДНК-ДАКТИЛОСКОПИИ" - 1996;

  • Алексей Ю. Культин "Экспертная оценка и вероятностно-статистическая обработка результатов экспертиз по исследованию ДНК".

Просмотров работы: 11