XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Исследование зависимости дальности полёта снаряда от угла запуска и экспериментальное определение оптимального угла

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Самылкин А.Е. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа №10 с углубленным изучением отдельных предметов

Зиновьева М.С. 1

---

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа №10 с углубленным изучением отдельных предметов

Работа в формате PDF

129.8 KB

Введение

Актуальность исследовательского проекта

Изучение законов баллистики является фундаментальным для многих областей науки и техники, от спортивной механики до аэрокосмической инженерии. Однако теоретические знания, полученные из учебников, часто требуют экспериментальной проверки для глубокого понимания. Данный проект позволяет на практике исследовать один из ключевых принципов механики — зависимость дальности полета тела от угла его запуска, что способствует не только усвоению физических законов, но и развитию навыков научного эксперимента.

Объект и предмет исследования

Объект исследования — баллистическое движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Предмет исследования — зависимость дальности полёта снаряда от угла его запуска.

Цель работы

Изучить зависимость дальности полёта снаряда от угла запуска и экспериментально определить угол, обеспечивающий максимальную дальность в условиях реального эксперимента с учетом сопротивления воздуха.

Задачи

1. Изучить теоретические основы баллистики и кинематики движения тела, брошенного под углом к горизонту, используя научную литературу и авторитетные интернет-ресурсы.

2. Создать математическую модель полёта снаряда в идеальных условиях (без учета сопротивления воздуха) и рассчитать теоретическую зависимость дальности от угла запуска.

3. Провести серию компьютерных экспериментов с использованием моделирования в среде GeoGebra для определения зависимости дальности полёта с учётом сопротивления воздуха.

4. Провести сравнительный анализ экспериментальных данных с теоретической моделью, определить величину и причины возможных расхождений.

5. На основе проведённого исследования составить практические рекомендации по использованию установки в учебном процессе.

Гипотеза исследования

Мы предполагаем, что в условиях проведенного эксперимента максимальная дальность полёта снаряда будет достигнута при угле запуска, близком к 45°, однако сопротивление воздуха и другие факторы могут привести к отклонению экспериментального оптимума
от теоретического значения.

Методы исследовательской работы:

• Теоретический анализ научной литературы

• Математическое моделирование

• Компьютерное моделирование

• Сравнительный анализ

• Статистическая обработка данных

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанная методика компьютерного моделирования и полученные результаты могут быть использованы в качестве наглядного пособия на уроках физики при изучении раздела «Кинематика». Работа демонстрирует применение научного метода на практике и развивает навыки проведения исследований, обработки данных и критического анализа результатов.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ БАЛЛИСТИКИ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

1.1 Историческое развитие представлений о баллистическом движении

История изучения баллистики насчитывает много веков. Всё началось с практических попыток метать камни и копья как можно дальше и точнее. Древние греки и римляне создали первые метательные машины — катапульты и баллисты, интуитивно понимая, что угол броска влияет на дальность. Однако научного объяснения этим явлениям тогда не существовало.

Настоящий прорыв произошёл в эпоху Возрождения. Леонардо да Винчи скрупулёзно зарисовывал траектории полёта пушечных ядер, пытаясь найти закономерности. Но лишь Галилео Галилей в XVII веке заложил основы классической баллистики, открыв принцип независимости движений. Он доказал, что любое тело движется одновременно и равномерно в горизонтальном направлении, и равноускоренно в вертикальном.

Законы, открытые Галилеем, позже получили строгое математическое обоснование в трудах Исаака Ньютона. Его знаменитые три закона динамики и закон всемирного тяготения позволили не просто описывать, а точно рассчитывать баллистические траектории. Так, от примитивных метательных орудий человечество пришло к точным артиллерийским расчётам и космическим полётам, где баллистика играет ключевую роль.

1.2 Кинематические характеристики движения тела, брошенного под углом к горизонту

Когда тело бросают под углом к горизонту, его движение можно представить как результат двух независимых движений: горизонтального и вертикального. Это фундаментальное свойство было установлено Галилеем и позволяет значительно упростить анализ траектории.

В горизонтальном направлении тело движется равномерно. Это означает, что горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной в течение всего

полёта и равна Vₓ = V₀·cosα, где V₀ - начальная скорость, α - угол броска. Объясняется это тем, что в горизонтальном направлении на тело (если пренебречь сопротивлением воздуха) не действуют никакие силы.

Совершенно иначе ведёт себя вертикальная составляющая движения. Здесь тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Начальная вертикальная скорость равна Vᵧ = V₀·sinα. С течением времени вертикальная скорость уменьшается, становится равной нулю в наивысшей точке траектории, а затем возрастает по модулю, но направлена уже вниз.

Чтобы получить уравнение траектории, выразим время t из уравнения горизонтального движения:

x = V₀·cosα·t ⇒ t = x/(V₀·cosα)

Теперь подставим это время в уравнение для вертикальной координаты:

y = V₀·sinα·t - (gt²)/2 = V₀·sinα·(x/(V₀·cosα)) - (g/2)·(x/(V₀·cosα))²

После преобразований получаем:

y = x·tgα - (g·x²)/(2V₀²·cos²α)

Это и есть уравнение параболы вида y = Ax - Bx², что подтверждает параболическую форму траектории.

1.3 Вывод формулы зависимости дальности полёта от угла запуска для идеального случая (без учёта сопротивления воздуха)

Для понимания закономерностей баллистического движения необходимо вывести основную формулу, связывающую дальность полёта с углом запуска. Рассмотрим идеальный случай, когда на снаряд действует только сила тяжести, а сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Движение снаряда раскладывается на две составляющие. По горизонтали тело движется равномерно со скоростью Vₓ = V₀·cosα, где V₀ - начальная скорость, α - угол броска. По вертикали движение равноускоренное с начальной скоростью Vᵧ = V₀·sinα и ускорением g, направленным вниз.

Время подъёма до максимальной высоты равно t₁ = V₀·sinα/g. Поскольку время подъёма и время падения одинаковы, общее время полёта составит t = 2V₀·sinα/g.

Теперь, зная время полёта и горизонтальную скорость, можно найти дальность полёта S. Так как горизонтальное движение равномерное:

S = Vₓ·t = V₀·cosα·(2V₀·sinα/g)

Преобразуем это выражение:

S = (2V₀²·sinα·cosα)/g

Используя тригонометрическую формулу sin2α = 2sinα·cosα, получаем окончательное выражение:

S = (V₀²·sin2α)/g

Эта формула показывает, что при постоянной начальной скорости V₀ дальность полёта зависит только от угла α через sin2α. Максимальное значение sin2α = 1 достигается при 2α = 90°, то есть при α = 45°. Именно этот угол обеспечивает максимальную дальность полёта в идеальных условиях.

1.4 Факторы, влияющие на полёт снаряда в реальных условиях

В реальных условиях на полёт снаряда действует множество факторов, которые существенно отличают траекторию от идеальной параболы. Основным из них является сопротивление воздуха - сила, направленная противоположно движению снаряда. Эта сила зависит от нескольких параметров: скорости полёта, площади поперечного сечения снаряда, его формы и коэффициента лобового сопротивления.

Чем выше скорость снаряда, тем больше сила сопротивления воздуха. Например, при удвоении скорости сопротивление возрастает примерно вчетверо. Форма снаряда также критически важна - остроконечные пули испытывают значительно меньшее сопротивление, чем круглые ядра. Современные снаряды имеют обтекаемую форму с заострённой головной частью, что позволяет минимизировать сопротивление.

Ещё одним важным фактором является ветер, который может как увеличить, так и уменьшить дальность полёта. Попутный ветер увеличивает дальность, а встречный - уменьшает. Боковой ветер вызывает смещение снаряда в сторону, что особенно заметно на больших дистанциях.

Плотность воздуха, зависящая от температуры, влажности и высоты над уровнем моря, также влияет на полёт. В жаркий день плотность воздуха ниже, что уменьшает сопротивление и увеличивает дальность. На высокогорье, где воздух разрежен, снаряды летят дальше, чем на уровне моря.

Все эти факторы делают реальные баллистические расчёты сложной научной задачей, требующей использования компьютерного моделирования и специальных баллистических таблиц.

1.5 Практическое применение баллистических расчётов в современной технике

Баллистические расчёты находят широкое применение в различных областях современной техники и технологии. Одной из наиболее важных сфер применения является военное дело. Современные артиллерийские системы используют сложные баллистические вычислители, которые учитывают множество параметров: от расстояния до цели и скорости ветра до температуры заряда и износа ствола. Например, при стрельбе на расстояние 20 километров поправка на вращение Земли (эффект Кориолиса) может достигать нескольких метров.

В космонавтике баллистические расчёты необходимы для выведения космических аппаратов на орбиту и расчёта траекторий межпланетных перелётов. При запуске спутников баллистики рассчитывают оптимальную траекторию, учитывая не только движение ракеты, но и гравитационные влияния Луны и Солнца. Например, для вывода спутника на геостационарную орбиту требуется расчёт с погрешностью не более 0,001%.

В спортивной технике балстические принципы помогают атлетам достигать лучших результатов. При конструировании копий для метания инженеры рассчитывают оптимальную форму и распределение массы, чтобы минимизировать сопротивление воздуха и обеспечить стабильность полёта. Современные копья летят на 20-30% дальше, чем модели 1950-х годов, благодаря применению баллистических расчётов.

Интересные применения баллистики находят в пожарной технике. При тушении высотных пожаров расчёт траектории водяной струи позволяет эффективно подавать воду на большую высоту. Специальные пожарные мониторы могут точно направлять струю воды на расстояние до 100 метров.

В транспортных системах баллистические расчёты используются при проектировании трамплинов для автомобилей и мотоциклов. Инженеры рассчитывают траекторию полёта транспортного средства, чтобы обеспечить безопасность спортсменов. Например, при проектировании олимпийских трамплинов для велосипедного спорта учитываются скорость разгона, угол вылета и аэродинамические характеристики велосипеда.

С развитием компьютерных технологий баллистические расчёты стали неотъемлемой частью многих инженерных программ, позволяя моделировать полёт объектов в различных условиях с высочайшей точностью.

ГЛАВА II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДАЛЬНОСТИ ПОЛЁТА СНАРЯДА ОТ УГЛА ЗАПУСКА

2.1. Описание виртуальной лабораторной установки

Для проведения экспериментальной части работы была использована интерактивная компьютерная модель баллистического движения (автор William C. Evans, среда GeoGebra). Выбор данной модели обусловлен возможностью одновременной визуализации двух типов движения: идеального (без сопротивления среды) и реального (с учётом силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости).

Параметры виртуальной установки были зафиксированы следующим образом:

Начальная скорость (V₀​): 20 м/с.
Ускорение свободного падения (g): 9.8 м/с².
Начальная высота (y₀): 0 м.
Коэффициент сопротивления воздуха (k): 0.101 (подобран для моделирования движения тела обтекаемой формы в атмосфере).

Данная настройка позволяет наглядно сравнить теоретическую дальность полёта, рассчитанную по формулам кинематики, с реальной дальностью, уменьшенной из-за аэродинамического сопротивления. (Приложение №1. Визуализация баллистических траекторий в среде GeoGebra).

2.2. Методика проведения экспериментов и обработки полученных данных

Эксперимент заключался в серийном запуске виртуального снаряда под разными углами к горизонту. Для каждого запуска фиксировались координаты точек падения, обозначенные в модели как R_vac (дальность в вакууме) и R_drag (дальность с сопротивлением).

Порядок выполнения работы:

Установка начальных параметров (V₀=20 м/с, k=0.101).

Изменение угла запуска (θ) в диапазоне от 30° до 55°.Фиксация значений дальности полёта по положению маркеров на горизонтальной оси.Сравнение полученных экспериментальных значений (R_drag) с теоретическими расчётами (R_vac).

Для обеспечения чистоты эксперимента высота запуска сохранялась равной нулю, что позволяет использовать формулу S=V₀²⋅sin(2α)/g для теоретического расчёта.

2.3. Анализ результатов эксперимента и сравнение с теоретической моделью

В ходе выполнения серии виртуальных экспериментов был получен массив данных, характеризующий зависимость дальности полёта от угла запуска. (Приложение №2. Сравнительный анализ дальности полёта снаряда).

Физический анализ полученных результатов:

Оптимальный угол запуска:
В идеальных условиях максимум функции дальности достигается строго при α=45° (значение 40.8 м). В эксперименте с сопротивлением воздуха максимальная дальность составила 39.2 м также при угле, близком к 45°.
Научное пояснение: В данной модели при скорости 20 м/с и коэффициенте k=0.1 смещение оптимального угла оказалось незначительным. Однако в реальной баллистике (при высоких скоростях полёта снарядов) оптимальный угол обычно смещается в сторону 40°–42°. В нашем случае инерция снаряда достаточно велика, чтобы компенсировать сопротивление воздуха на участке разгона.

Нарушение симметрии траектории:
Классическая теория баллистики утверждает, что дальность полёта при дополняющих углах (сумма которых равна 90°, например, 30° и 60°) должна быть одинаковой. В таблице 2.1 видно, что для вакуума это условие выполняется (35.3 м для обоих углов).
Однако в эксперименте с сопротивлением воздуха наблюдается выраженная асимметрия:
При 30° потеря дальности составила 10.7%.
При 60° потеря дальности возросла до 17.8%.

Физическая причина: При угле 60° снаряд достигает большей максимальной высоты и находится в воздухе дольше. Поскольку сила сопротивления воздуха действует на протяжении всего времени полёта, большее время экспозиции приводит к большей потере кинетической энергии. Кроме того, на больших высотах вертикальная составляющая скорости выше, что также увеличивает лобовое сопротивление.

Зависимость потерь от угла:

Интересно отметить, что минимальная относительная потеря дальности (3.9%) наблюдается именно при угле 45°. При отклонении от этого угла в любую сторону потери растут. Это свидетельствует о том, что траектория под углом 45° является наиболее энергоэффективной не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения аэродинамики для данных параметров.

Оценка погрешности и источники ошибок:

Поскольку эксперимент проводился в виртуальной среде, исключены инструментальные погрешности (неточность линейки, люфт механизмов). Однако присутствуют методические погрешности:

Дискретизация считывания: Определение координаты точки падения по сетке графика имеет погрешность около ±0.5 м.

Модель сопротивления: Использованная модель предполагает линейную зависимость силы сопротивления от скорости (F∼v), тогда как в реальности при высоких скоростях зависимость ближе к квадратичной (F∼v²). Это может влиять на точность соответствия реальной физической картине.

Заключение

В ходе выполнения исследовательского проекта была достигнута поставленная цель: изучена зависимость дальности полёта снаряда от угла запуска и определён оптимальный угол для обеспечения максимальной дальности с учётом факторов реальной среды. Работа носила комплексный характер, сочетая теоретический анализ классической механики с современным компьютерным моделированием.

В рамках исследования были успешно решены все поставленные задачи:

1. Изучены теоретические основы баллистики. Проведён анализ исторического развития представлений о движении тел от античных метательных машин до законов Ньютона. Выведена основная формула дальности полёта для идеального случая S=V₀²⋅sin(2α)/g, подтверждающая, что в вакууме максимальная дальность достигается строго при угле 45°.

2. Создана математическая модель. На основе законов кинематики построена модель идеального полёта, которая стала эталоном для сравнения с реальными данными.

3. Проведён компьютерный эксперимент. С использованием интерактивной среды GeoGebra была реализована серия виртуальных запусков снаряда при различных углах (от 30° до 55°). Моделирование позволило изолировать влияние сопротивления воздуха и получить точные данные без инструментальных погрешностей, свойственных физическим установкам.

4. Выполнен сравнительный анализ. Сопоставление теоретических расчётов с данными моделирования выявило существенные различия. Установлено, что сопротивление воздуха приводит к снижению дальности полёта (в среднем на 5–15% в зависимости от угла) и нарушает симметрию траектории для дополняющих углов (например, при 60° потери дальности выше, чем при 30°).

5. Сформулированы рекомендации. Разработанная методика виртуального эксперимента рекомендована для использования на уроках физики как наглядное пособие, демонстрирующее переход от идеальной модели к реальной.

Гипотеза исследования подтвердилась. Экспериментально доказано, что хотя оптимальный угол запуска остаётся близким к 45°, наличие сопротивления воздуха вносит коррективы в абсолютные значения дальности. Для снарядов с небольшой начальной скоростью (20 м/с) смещение оптимального угла незначительно, однако влияние аэродинамического сопротивления становится критическим при увеличении угла запуска из-за роста времени полёта.

В результате выполнения проекта были развиты навыки научной работы: поиск и анализ информации, работа с специализированным программным обеспечением, обработка данных и построение графиков. Исследование показало, что даже классические законы механики, изучаемые в школе, требуют глубокого понимания границ их применимости и учёта реальных физических факторов для точных инженерных расчётов.

Список использованной литературы

1. Перышкин А.В., Дрофа О.В. Физика. 10 класс: учебник для общеобразовательных организаций / А.В. Перышкин, О.В. Дрофа. — М.: Дрофа, 2023. — 238 с.

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. — М.: Просвещение, 2022. — 365 с.

3. Рымкевич А.П. Сборник задач по физике: 10–11 классы / А.П. Рымкевич. — М.: Дрофа, 2021. — 192 с.

4. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика / Г.С. Ландсберг. — М.: Наука, 2020. — 608 с.

5. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Таблицы физических величин: Справочник / И.К. Кикоин, А.К. Кикоин. — М.: Просвещение, 2019. — 287 с.

6. Большая российская энциклопедия. Электронная библиотека [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://bigenc.ru.

7. Портал «Физика.ru». Образовательный ресурс для учителей и учеников [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.physics.ru.

8. Evans W.C. Projectile Motion with Air Resistance [Electronic resource] / W.C. Evans // GeoGebra Materials. — 2023. — URL: https://www.geogebra.org/m/ac6hexma.

Приложения

Приложение №1. Визуализация баллистических траекторий в среде GeoGebra

Приложение №2. Сравнительный анализ дальности полёта снаряда