Методы решения задач на вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге

XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Методы решения задач на вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге

Хусяинова С.Р. 1
1МАОУ "Образовательный центр им. М.М. Расковой"
Хусяинова Г.Ф. 1
1МАОУ "Образовательый центр им. М.М. Расковой"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Область применения свойств площади (равные фигуры имеют равные площади; если фигура разбита на конечное число простых фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих простых фигур) треугольника очень широка. Некоторые свойства позволяют решать задачи, используя нестандартные методы решения. Рассмотрим подробнее эти методы. На ОГЭ все чаще стали встречаться задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой треугольник, параллелограмм или трапецию. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приёмы. Меня заинтересовала эта тема. И естественно возник вопрос: существуют ли другие способы для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

1.Актуальность:

Данная тема пригодится при решении заданий на ОГЭ.

2.Объект исследования:

Фигуры на клетчатой бумаге

Предмет исследования:

Нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге

3.Цель работы:

Исследовать и выявить способы нахождения площади многоугольников на клетчатой бумаге

4.Задачи исследовательской работы:

Изучить литературу по исследуемой теме.

Отобрать интересную и понятную информацию для исследования.

Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

5.Методы исследовательской работы:

Моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, анализ и классификация изученной информации.

Первый способ – с помощью формул площади различных фигур

1.Площадь треугольника можно определить по формуле .

1) . 2) .

2.Площадь трапеции можно вычислить по формуле .

.

3.Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле .

Вычисляем площадь прямоугольника:

.

4. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле

.

Второй способ - разбиение

С мысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки, а затем вычислить площади полученных фигур и найти сумму всех площадей.

Рис.1

Пример №1.

1. Разделим четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника (рис.1).

2. Найдём площадь первого треугольника – .

3. Найдём площадь второго треугольника – .

4. Найдём площадь третьего треугольника – .

5. Найдём площадь четвертого треугольника – .

6. Найдём площадь четырёхугольника – , .

Ответ: 12,5 .

Пример №2.

Рис. 2

  1. Разделим фигуру на три прямоугольных треугольника и один прямоугольник (Рис.2).

  2. Найдём площадь первого треугольника - .

  3. Найдём площадь второго треугольника – .

  4. Найдём площадь третьего треугольника – .

  5. Найдём площадь прямоугольника – .

  6. Найдём площадь фигуры .

Ответ: 13 .

Третий способ – дополнение д о прямоугольника

Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а затем найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника и из площади прямоугольника вычесть площади всех лишних частей.

Рис. 3

Пример №1.

  1. Достроим до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника. Получили квадрат со стороной 5 (рис.3).

Найдём площадь квадрата .

  1. Найдём площадь первого треугольника – .

  2. Найдём площадь второго треугольника – .

  3. Найдём площадь третьего треугольника – .

  4. Найдём площадь четвертого треугольника – .

  5. Найдём площадь четырёхугольника – ,

.

Ответ: 12,5 .

П ример №2.

Рис.4

  1. Достроим до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины фигуры. Получили квадрат со стороной 6 (рис.4) и внутри квадрата три прямоугольных треугольников и прямоугольник.

  2. Найдём площадь квадрата .

  3. Найдём площадь первого треугольника – .

  4. Найдём площадь второго треугольника – .

  5. Найдём площадь третьего треугольника – .

  6. Найдём площадь прямоугольника – .

  7. Найдём площадь фигуры – ,

.

Ответ: 13 .

Четвёртый способ - формула Пика

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. И м написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Сто лет назад австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна S = B + Г/2 – 1, где B – количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Пример №1.

Рис.5

В нашем четырёхугольнике (Рис.5) количество узлов на границе - Г =7 , количество узлов, лежащих внутри - B =10.

Вычисляем площадь четырёхугольника: .

Ответ: 12,5 .

Пример №2.

Рис.6

В нашей фигуре (Рис.6) количество узлов на границе - Г =10 , количество узлов, лежащих внутри - B =9.

Вычисляем площадь фигуры: .

Ответ: 13 .

Опрос

№ 1

№ 2

Заключение

В ходе данной работы я расширила свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника. Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие. Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен. Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника. Цели и задачи, поставленные в начале работы, были выполнены. Хочу отметить, что любой из рассмотренных мною способов применим для решения задач.

Используемая литература

Атанасян Л. С. Геометрия 7-9, учебник. – М.Просвещение,2009

Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

Вычисления на клетчатой бумаге. Площадь. 9 класс подготовка к ОГЭ [Электронный ресурс] // Инфоурок [Электронный ресурс] : [Сайт]. – URL: https://infourok.ru/vichisleniena-kletchatoy-bumage-ploschad-klass-podgotovka-k-oge-3074875.html (дата обращения: 03.04.2019). Загл. с экр. Яз. рус.

Просмотров работы: 12