XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Математика в музыке или музыка в математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Титова Д.А. 1

---

1МБОУ ГМ СОШ

Тихомирова Л.П. 1

---

1МБОУ ГМ СОШ

Работа в формате PDF

249 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Музыка есть таинственная арифметика души;

она вычисляет, сама того не подозревая»

Г. Лейбниц.

Математика и музыка – две совершенно разные сферы человеческой деятельности. Одна из них относится к точным наукам, и действует абстрактными преобразованиями, а другая – к искусству и позволяет нам выражать свои чувства и эмоции. Может ли между ними существовать связь? Какова роль математики в музыке и роль музыки в математике?

Я несколько лет занималась музыкой и постоянно сталкивалась с длительностями нот, их дробными обозначениями. Эти математические элементы музыкальной грамоты часто превращали уроки сольфеджио в уроки математики. Я решила выяснить, насколько две совершенно разные противоположности, как математика и музыка связаны между собой, что общего между наукой, основанной на строгих формулах и точных расчетах и прекраснейшим видом искусства, произведения которого создаются в творческом порыве вдохновения.

Изучение этой взаимосвязи поможет не только расширить кругозор, но и по-новому взглянуть на привычные вещи: увидеть красоту логики в музыкальной гармонии и услышать "музыку сфер" в строгих математических формулах. Это делает выбранную тему особенно актуальной как для любителей точных наук, так и для тех, кто увлекается искусством.

Проблема: кажется, что математика (логика, точность) и музыка (эмоции, творчество) несовместимы. Так ли это?

Цельпроекта: исследовать и доказать взаимосвязь математики и музыки, выявить общие черты и математические закономерности в музыкальных произведениях.

Задачи:

1. Изучить теоретическую литературу и исторические факты о связи музыки и математики.

2. Найти общие понятия и термины в этих двух областях.

3. Исследовать математические закономерности в построении музыкального звукоряда и ритма.

4. Проанализировать "математичность" произведений известных композиторов (например, И.С. Баха).

Объект исследования: Математика и музыка как сферы человеческой деятельности.

Предмет исследования: Взаимосвязь между музыкальными и математическими закономерностями.

Гипотеза: музыка подчиняется универсальным математическим законам, и в основе музыкальной гармонии лежат точные математические расчеты и пропорции.

Глава 1. Теоретические основы взаимосвязи математики и музыки

1.1 История возникновения взаимосвязи музыки и математики

Поиск связей между музыкой и математикой имеет тысячелетнюю историю. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был древнегреческий философ, математик и теоретик музыки Пифагор (VI в. до н.э.). он занимался поисками музыкальной гармонии, поскольку верил в то, что такая музыка необходима для очищения души и врачевания тела и способна помочь разгадать любую тайну. Именно он стал основоположником музыкальной акустики.

Согласно легенде, однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и однострунной арфы он изучил взаимосвязь между уровнем воды и длиной струны и обнаружил, что половина длины струны поднимает ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков – до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до – древнейшая музыкальная гамма. Разделяя струну на части, Пифагор обнаружил удивительную закономерность: музыкальные интервалы (чистые созвучия) возникают тогда, когда длины звучащих частей струны соотносятся как простые целые числа (1:2 – октава, 2:3 – квинта, 3:4 – кварта). В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора. Для своих экспериментов Пифагор изобрел монохорд (на рисунке) – инструмент с одной струной и передвижной подставкой.[8]

У Пифагора появилась идея разделения созвучий на консонансы и диссонансы. Без этих понятий, классическая музыка не смогла бы существовать. Консонанс - категория гармонии, одновременно звучащих тонов, а диссонанс совершенная противоположность. Так как диссонанс звучал несовершенно, явилась зависимость его использования только в связке с консонансом.

Определив то, что звуки складываются в интервалы, их стало возможным систематизировать. Так появилась идея звукового ряда, а именно гаммы – последовательность звуков, расположенных по высоте в восходящем или нисходящем порядке, и музыкального строя — система сопоставления нот (знаков, обозначений) и звуковых частот, периодом музыкального строя является октава — интервал между нотами, частоты которых отличаются в два раза. Традиционно октава состоит из 12 ступеней, которые приемлемы с точки зрения приближения чистых интервалов. Это можно вывести, используя цепные дроби. Также цепные дроби показали свою эффективность в задаче нахождения наилучшего календаря. Именно поэтому в году 12 месяцев.[8]

Затем последователи Пифагора (пифагорейцы) и другие математики проявляли интерес к музыке. Существует предположение, что Пифагоров строй – его гамму – усовершенствовал Архит (древнегреческий философ-пифагореец, 428 год до н. э. – 347 год до н. э.[11]), но и в античной Греции, и в эпоху Возрождения гамму из восьми звуков называли Пифагоровой диатонической гаммой.[7]

На протяжении столетий в развитии европейской культуры музыкальное образование было очень востребовано. Музыку изучали наряду с другими науками. Теории Пифагора нашли продолжение и в средние века. Исследованию музыки посвятил свой первый труд Рене Декарт («Трактат о музыке»), Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие. В своих трудах они хотели представить музыку как некую математическую модель. Леонард Эйлер («Диссертация о звуке», 1727 г.) пишет: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований всё, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков».

Пифагорейцы верили, что числа управляют миром, а Вселенная представляет собой огромный музыкальный инструмент. Эта идея нашла отражение в их концепции «гармонии сфер» – учении о том, что небесные тела во время своего движения издают гармоничные звуки, складывающиеся в идеальную космическую музыку. Пифагор исходил из того, что интервал в пространстве между планетами – тот же, что и шкала высоты музыкального звука. Каждая планета, двигаясь с постоянной скоростью, проходит определенное расстояние, создавая звук.[7]

В эпоху Средневековья и Возрождения изучение пропорций в искусстве продолжилось. Математика оставалась неотъемлемой частью музыкального образования: в средневековых университетах музыка вместе с арифметикой, геометрией и астрономией входила в квадривиум – цикл точных наук. Впоследствии, благодаря трудам И. Кеплера, Г. Лейбница и выдающихся композиторов-полифонистов, математический подход к музыкальной композиции стал глубоко осмысленным. Как говорил немецкий философ Готфрид Лейбниц: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать».

1.2 Общие понятия и термины в математике и музыке

Любая мелодия рождается из звуков, но чтобы научиться ее читать, нам не обойтись без нотной грамоты. Удивительно, но всю мировую музыку можно записать на листе бумаги, используя лишь семь нот и несколько специальных знаков. Это очень похоже на математику, где бесконечное множество формул создается всего из десяти цифр и математических символов.

Даже при беглом взгляде на музыкальные и математические термины можно обнаружить поразительное сходство языков этих дисциплин.

• Ритм и периодичность. В математике мы работаем с периодическими последовательностями и дробями, а в музыке ритм — это чередование звуков и пауз, организованное во времени с математической точностью.

• Темп и скорость. Математическая скорость определяет быстроту движения, а музыкальный темп указывает скорость исполнения произведения (например, аллегро, модерато, адажио).

• Пропорции и интервалы. Как в математике отношение между величинами создает пропорцию, так и в музыке отношение высот двух тонов определяет музыкальный интервал.

Особенно ярко связь проявляется в понятии дробей. Вся музыкальная запись длительностей нот построена на принципах деления целого на части:

• Целая нота (1) делится на две половинные (1/2 + 1/2).

• Половинная делится на две четвертные (1/4).

• Далее следуют восьмые (1/8), шестнадцатые (1/16) и так далее.
  Таким образом, чтение нотной грамоты и соблюдение тактового размера – это, по сути, непрерывное решение арифметических задач на сложение дробей в реальном времени. Например, в тактовом размере 4/4 сумма всех длительностей нот и пауз в одном такте всегда должна быть равна единице. Это означает что за время исполнения одной целой ноты, можно исполнить, например, 4 четвертных и т.д. Это доказывает, что над музыкальными дробями можно проводить точно такие же операции, как над обычными. Не зная математических дробей, было бы невозможно сыграть правильно мелодию.[10].

Таблица. Нотные длительности и математические дроби

Мелодию часто сравнивают с графиком линий и точек. Благодаря им можно представить длительность звучания, а также высоту мелодии. Это будет выражаться в виде разных кривых. В математике существует такое понятия, как арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа. С арифметической прогрессией связано понятие в музыке «квинтовый круг тональностей», который определяет порядок расположения тональностей (по кругу через интервал в чистую квинту). Также в музыке есть принцип построения длительностей нот соответствует принципу построения геометрической прогрессии (бесконечная последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число q.) По степени убывания запись длительностей нот выглядит так: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128.[3]

1.3. Золотое сечение и числа Фибоначчи в музыке

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей (приблизительное соотношение 62% на 38% или число Фидий ). Эта пропорция признана эталоном гармонии в архитектуре, живописи и природе.[5]

В музыке принцип золотого сечения организует форму произведения. В большинстве классических композиций самая яркая часть, смысловой центр или кульминация, редко находится точно в середине или в самом конце. Чаще всего кульминационный момент попадает на точку золотого сечения. Если произведение состоит из 100 тактов, то высшая точка напряжения, скорее всего, придется приблизительно на 62-й такт. Такое построение воспринимается человеческим ухом как наиболее естественное и красивое.[5]

С золотым сечением тесно связан ряд чисел Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Клавиатура фортепиано является наглядной иллюстрацией этого ряда:

• Октава содержит 13 клавиш (полный хроматический звукоряд).

• Среди них 8 белых клавиш (основной диатонический звукоряд).

• И 5 черных клавиш.

При этом черные клавиши разделены на группы по 2 и 3.
Все числа – 2, 3, 5, 8, 13 — являются последовательными членами математического ряда Фибоначчи, что еще раз доказывает: в основе музыкальных инструментов заложена строгая математическая система.

1	2, 3	5	8	13
октава	количество черных клавиш в каждой группе	количество черных клавиш	количество белых клавиш	общее количество клавиш

Глава 2. Практическое исследование

2.1 Анализ математических структур в творчестве классиков (И. С. Бах)

Чтобы найти практическое подтверждение теоретическим законам, рассмотрим творчество Иоганна Себастьяна Баха. Полифония Баха считается вершиной "математической" музыки. В своих инвенциях и фугах композитор использовал приемы, которые удивительно напоминают геометрические преобразования.

При анализе фуг мы обнаружили следующие математические операции на музыкальном языке:

• Трансляция (параллельный перенос) – мелодия (тема) повторяется от другой ноты, в другой тональности или в другом голосе без изменения интервалов.

• Симметрия (инверсия) – Бах часто использует "обращение" темы. Восходящие интервалы заменяются на точно такие же нисходящие, и наоборот. Мелодия словно отражается в зеркале.

• Ракоход (обратное движение) – тема исполняется с конца к началу. Это требует точнейшего расчета, чтобы при одновременном звучании прямой и обратной темы сохранялась гармония.

Подобная архитектура произведений доказывает, что гений Баха опирался не только на вдохновение, но и на строгий математический расчет, выстраивая звуковые формулы невероятной сложности.[6]

2.2 Математика музыкального ритма: разбор партитуры

Для наглядной демонстрации связи ритма и математики мы провели разбор случайного такта в классическом тактовом размере 4/4 (четыре четверти).
В музыке размер 4/4 означает, что общая сумма длительностей нот и пауз в одном такте должна равняться единице.

Допустим, в такте звучат следующие ноты:

1. Одна четвертная нота ( ).

2. Две восьмые ноты (каждая по , вместе дают ).

3. Одна половинная нота ( ).

Если перевести этот такт на язык математики, мы получим линейное уравнение с дробями:

Таким образом, каждый музыкант, читающий нотный текст, автоматически решает сотни подобных примеров в уме, соблюдая строгие пропорции времени. Это доказывает, что музыкальный ритм – это чистая математика.

Ни одно инструментальное исполнение не обходится без постоянного математического счета. Он жизненно необходим для своевременного вступления музыкантов, расчета длительностей нот и формирования жанровой ритмики (например, трехдольной для вальса или четырехдольной для марша). Более того, элементарные арифметические вычисления лежат в основе построения музыкальных интервалов, транспонирования мелодий и смены ключей в партитуре.

Темп — это степень быстроты в исполнение музыкального произведения, а также в движениях. Он используется для придания выразительности музыке. В математике же, есть термин, темп прироста, это показатель эффективности, который показывается снижение или повышения, с аналогичным показателем более раннего периода.

Понятие параллельности является общим как для геометрии, так и для теории музыки. В музыкальной гармонии существуют параллельные тональности — родственные мажор и минор, которые обладают идентичными ключевыми знаками, но опираются на разные ступени лада (расстояние между их тониками всегда составляет малую терцию). Визуальное воплощение параллельности можно наблюдать в самой структуре нотного стана, состоящего из пяти равноудаленных, непересекающихся прямых линий. Кроме того, этот геометрический принцип физически реализован в конструкции большинства струнных инструментов: струны скрипки, гитары, виолончели, арфы и балалайки натянуты строго параллельно друг другу.[10]

2.3 Влияние музыки на математические способности

Современная наука доказала, что наши полушария по-разному воспринимают высоту и ритмовую структуру звука. Благодаря этому мы можем использовать музыку как инструмент настройки: специально подобранные мелодии способы стимулировать одно полушарие сильнее другого или, наоборот, заставлять их работать синхронно. Таким образом, музыка может улучшить способности к изучению математики.

Прекрасной иллюстрацией связи музыки и науки является опыт Альберта Эйнштейна. Когда великий ученый застопоривался на сложной задаче, он брал инструмент в руки. Размышления над формулами загружали его левое полушарие, а творческая игра на скрипке – правое. Этот процесс создавал мощный нейронный мост, помогая найти гениальное решение. Любопытно, что Эйнштейн играл настолько блестяще, что иногда в шутку называл себя не создателем теории относительности, а «знаменитым скрипачом».

Музыкальная практика эффективно развивает мелкую моторику, выдержку и управленческие механизмы мозга, которые напрямую влияют на успешное обучение. Музыканту жизненно необходимы предельная собранность, дисциплина и хорошая память – именно поэтому среди выдающихся композиторов и исполнителей так часто встречаются люди с блестящими математическими способностями.

2.4 Алгоритмическая музыка в современном мире

«С появлением электронных компьютеров композитор станет чем-то вроде пилота: ему останется нажимать кнопки, вводя координаты, и осуществлять контроль над путешествием корабля в пространстве музыки»

Я. Ксенакис

В заключительной части практического исследования мы обратились к современным технологиям. Сегодня существует направление "алгоритмическая музыка" – процесс создания музыкальных отрывков, последовательностей и композиций с помощью математических моделей, правил и алгоритмов.

Музыка и математика как область исследований лежит на стыке двух таких разных дисциплин как музыкальная наука (в частности, гармония) и искусственный интеллект и системный анализ. Между тем, несмотря на большое количество работ в этих областях по отдельности, исследований в области алгоритмической композиции в России можно пересчитать по пальцам. Единственным ученым, серьезно занимавшимся этой областью научных интересов в нашей стране, был советский математик Рудольф Зарипов, автор таких трудов, как «Кибернетика и музыка» и «Об алгоритмическом описании процесса сочинения музыки». В то же время, в других странах, от Европы до Азии, от Южной до Северной Америки, существуют как отдельные лаборатории, специализирующиеся на изучении этого вопроса, так и частные компании, разрабатывающие методы искусственного интеллекта для использования в производстве музыки. Например, кафедры компьютерных наук Гонконгского университета или индустриальной инженерии Университета Иллинойса, где профессора Эндрю Хорнер и Дэвид Голдберг в 1991 году первыми обосновали целесообразность применения генетических алгоритмов для моделирования музыкального творчества, или кафедра интерактивных игр и медиа Рочестерского института технологий (Нью–Йорк, США), профессором которой является Джон Бильс, создатель популярной программы для генерации джазовых соло GenJam.[1]

Компьютер не имеет эмоций, он оперирует исключительно цифрами. Однако, благодаря заданным математическим формулам (например, фракталам или тем же числам Фибоначчи), программы способны генерировать мелодии, которые человеческое ухо воспринимает как красивые и гармоничные. Это финальное и самое неоспоримое доказательство нашей гипотезы: в основе красоты и гармонии звуков лежат просчитываемые математические закономерности.

Заключение

Работая над проектом «Математика в музыке или музыка в математике», мы убедились, что две эти, казалось бы, совершенно разные сферы человеческой деятельности – строгая точная наука и свободное искусство – имеют глубокую и неразрывную связь.

В ходе исследования были успешно выполнены все поставленные задачи:

1. Изучение истории показало, что математический подход к музыке зародился еще в античности благодаря открытиям Пифагора и его учению о «гармонии сфер».

2. Анализ терминологии доказал, что музыкальная грамота полностью базируется на арифметических правилах: нотные длительности, тактовые размеры и ритмические рисунки строго подчиняются законам математических дробей.

3. Изучение Золотого сечения и чисел Фибоначчи подтвердило, что идеальная форма музыкального произведения и даже устройство музыкальных инструментов (клавиатура фортепиано) поддаются точному расчету.

4. Исследование произведений классиков (на примере полифонии И.С. Баха) продемонстрировало, что великие композиторы осознанно или интуитивно использовали в своем творчестве математические пространственные преобразования: симметрию, параллельный перенос, обратное движение.

Таким образом, выдвинутая в начале исследования гипотеза полностью подтвердилась: музыка действительно подчиняется универсальным математическим законам. В основе музыкальной гармонии, которую мы воспринимаем на интуитивном и эмоциональном уровне, лежат точные математические формулы и идеальные пропорции.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что ее материалы могут быть использованы в школе. Понимание математической структуры мелодии помогает развивать логическое мышление у музыкантов, а использование музыкальных ритмов на уроках математики делает изучение дробей и уравнений более наглядным и интересным для учеников. Мы пришли к главному выводу: математика дает музыке логику и форму, а музыка наполняет сухие цифры эмоциями и гармонией.

Список использованных источников и литературы

1. Алгоритмическая композиция // algorithmic composition : [сайт]. – URL: https://algorithmiccomposition.ru/index.html

2. Алиева, Н З. Физика цвета и звука. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

3. Волошинов, А. В. Математика и искусство. – 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просвещение, 2000. – 399 с.

4. Депман, И. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. /Депман, И. Я., Виленкин Н. Я. – М.: Просвещение, 1989.

5. Математика гармонии и Золотое сечение // Элементы: научно-популярный портал : [сайт]. – URL: https://elementy.ru

6. Математическая составляющая в музыкальных произведениях И.С. Баха // Портал классической музыки.

7. Пифагор. / «100 человек, которые изменили ход истории» / Еженедельное издание. Выпуск № 19, 2008

8. Сабо, А. Зарождение и развитие математики. – М.: Наука, 1980.

9. Учение Пифагора о «гармонии сфер» // Научная электронная библиотека: [сайт]. – URL: https://cyberleninka.ru

10. Холопова В.Н. Теория музыки: мелодика, ритмика, фактура, тематизм. – М.: Лань, 2010.

11. Шишкоедов, П. Философия античности. – Екатеринбург: «Издательские решения», 2000. // «LiveLib» : [сайт]. – URL: https://www.livelib.ru/book/1011120647-filosofiya-antichnosti-pavel-shishkoedov