XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Аликвотные дроби: история и задачи

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сиваева А.Д. 1

---

1МБОУ "НСШ №6"

Киселева О.В. 1

---

1МБОУ "НСШ №6"

Работа в формате PDF

202.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. Введение

Актуальность. В школьном курсе математики дроби изучаются как инструмент для измерения и деления величин. Во время решения «Старинной задачи» по математике я заметила, что у некоторых дробей есть названия. Этот вопрос меня заинтересовал. Оказалось, что существует особый класс дробей — аликвотные (единичные) — которые не только проливают свет на историю развития математики, но и оказываются мощным инструментом для решения нестандартных и олимпиадных задач.

Актуальность работы обусловлена:

• исторической ценностью: аликвотные дроби — один из древнейших математических инструментов, использовавшийся в Древнем Египте;

• практической пользой: методы разложения на аликвотные дроби позволяют решать сложные задачи более рационально;

• дефицитом внимания в школьной программе: тема редко раскрывается полно, хотя её элементы встречаются на олимпиадах;

• междисциплинарностью: понятие «аликвота» используется не только в математике (например, в химии, физике, музыке).

Объект исследования
Аликвотные дроби как математический объект.

Предмет исследования
Методы разложения дробей на сумму аликвотных и их применение в решении задач.

Цель. Исследовать историю аликвотных дробей и их применение в решении математических задач.

Задачи:

• изучить происхождение аликвотных дробей;

• описать их основные свойства и операции;

• разобрать типовые и олимпиадные задачи, решаемые через разложение на аликвотные дроби;

• показать практическую значимость аликвотных дробей в современной математике;

• показать примеры применения термина «аликвота» в других науках.

Гипотеза. Владение методами работы с аликвотными дробями позволяет эффективнее решать ряд олимпиадных и практических задач, сокращая количество действий и упрощая вычисления.

Методы исследования:

• анализ исторических источников (папирусы, научные труды);

• систематизация математических правил и алгоритмов;

• решение и классификация задач на аликвотные дроби;

• сравнительный анализ традиционных и аликвотных методов решения.

Теоретическая значимость исследования заключается в применении теории аликвотных дробей к решению нестандартных задач.

Практическая значимость состоит в совершенствовании вычислительных навыков при выполнении действий с аликвотными дробями и возможном их использовании при подготовке к математическим олимпиадам.

2. Теоретическая часть

2.1. Что такое аликвотные дроби

Аликвотная дробь — дробь с числителем 1 и натуральным знаменателем: n₁​, где n∈N.

Примеры: , , ,

Термин происходит от латинского aliquot — «несколько, некоторое количество». В литературе также встречаются названия:

• единичные дроби;

• основные дроби;

• египетские дроби (если речь о сумме аликвотных дробей).

2.2 История возникновения.

Как известно, дроби появились еще в глубокой древности. Человек встретился с необходимостью ввести дроби при разделе добычи, измерении величин и нахождении их. Так, например, в Древнем Египте (2000–1600 гг. до н. э.) архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику, египтяне использовали только аликвотные дроби и суммы таких дробей.

Первые дроби, с которыми нас познакомила история, так называемые единичные или аликвотные. Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и клинописных вавилонских табличках. Математический папирус Ринда считался одним из первых известных упоминаниях о египетских дробях, содержит таблицы разложения дробей вида n/2​ на аликвотные.

Для записи аликвотных дробей египтяне применяли иероглиф «Глаз Хора»

Существовали и специальные символы для дробей и

Такие формы записи дробей использовались для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, из чего следует, что аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса представлена таблица, в которой все дроби вида для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами аликвотных дробей. Возможно, египтяне стремились к тому, чтобы минимизировать знаменатели дробей в разложении, если даже для этого приходилось увеличивать число слагаемых. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». В его книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские. Выполненные им вычисления использовали десятичные и обычные дроби, которые со временем вытеснили египетские дроби.

Но, несмотря на это, интерес к аликвотным дробям не утрачен и сегодня, ведь не случайно в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Для чего применяются аликвотные дроби: аликвотные дроби применяются в математике для решения задач, в которых требуется что-то разделить на несколько частей с минимальным количеством действий. Для этого необходимо представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей.

2.3. Основные свойства и операции

Любая положительная рациональная дробь может быть представлена как сумма аликвотных дробей (не единственно).

Разложение не всегда очевидно: например,

.

Правила разложения:

1. Метод жадного алгоритма (выбирать наибольшую возможную аликвотную дробь);

Метод был предложен математиком XIII века Фибоначчи в «Книге абака».

Например:

В этом разложении знаменатель 3 первой аликвотной дроби является результатом округления 15 : 7 до следующего (большего) целого числа, а остаток результат вычитания . Делитель второй дроби — 8, — является результатом округления до следующего (большего) целого числа, а остаток — это то, что осталось от после вычитания и .

Поскольку каждый шаг разложения уменьшает числитель остаточной дроби, этот метод завершится за конечное число шагов. Однако, по сравнению с древними египетскими методами разложения или более современными методами, этот метод может дать разложение с довольно большими знаменателями.

2. Использование тождеств типа ​;

Это тождество позволяет: раскладывать данную аликвотную дробь в сумму других аликвотных дробей, но уже с большими знаменателями. Избегать повторяющихся дробей в разложении.

Примеры разложения дробей с использованием тождества:

;

;

.

3. Представление единицы в виде суммы аликвотных дробей;

Тождество применимо в случае, когда требуется разложить аликвотную дробь на две аликвотные дроби. А если нужно представить суммой из трех, четырех? Представим это на примере представления единицы.

.

Для представления единицы суммой трёх различных аликвотных дробей дробь разложим по формуле (1) еще на две аликвотные дроби:

Для разложения единицы на сумму различных аликвотных дробей четырьмя слагаемыми, распишем аликвотную дробь по формуле (1) следующим образом:

.

Представление единицы в виде суммы пяти аликвотных дробей проведём по тому же алгоритму.

.

Возможны и другие варианты разложения единицы на аликвотные дроби. Например, или

4. Подбор комбинаций с учётом знаменателей.

Вывод: теперь любую дробь возможно представить в виде суммы нескольких аликвотных дробей.

2.4. Аликвота в других науках

Химия, физика, фармация: аликвота — точно отмеренная часть раствора (например, для титрования).

Музыка: аликвотные (резонансные) струны — дополнительные струны, самовозбуждающиеся от игровых и обогащающие тембр.

3. Практическая часть: задачи и решения

3.1. Типовые задачи

Задача 1.(Разложение дроби)
Разложите ​ на сумму аликвотных дробей.
Решение:

​= ​. 6:5= 1,2 округляем до ближайшего большего 2 (это знаменатель первой аликвотной дроби).

Задача 2. (Сумма аликвотных дробей)
Вычислите: .
Решение:

​= ​.

3.2. Решение задач с практическим содержанием

Перейдём к задачам, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Их решение оформим в соответствии с теорией аликвотных дробей.

Задача 1.Требуется разделить 5 одинаковых яблок поровну между восемью мальчиками. Можете это сделать с наименьшим числом разрезов?

Решение: Имеем: (см. замечание).

Таким образом, каждый мальчик получил одну вторую и одну восьмую части яблока. Следовательно, четыре яблока надо разделить пополам и только одно яблоко разделить на 8 частей, сделав при этом 4 + 7 = 11 разрезов.

Ответ: 11 разрезов.

Задача 2. К школьному завтраку надо 13 арбузов одного размера разрезать на 42 одинаковые порции. Как это сделать, не разрезая ни одного арбуза больше чем на 7 частей?

Решение: Для решения задачи нужно число 13 разделить на 42. Преобразуем дробь , раскладывая её на сумму таких аликвотных дробей, чтобы их знаменатели не превосходили семи:

Такое представление указывает на то, что каждый из шести арбузов надо разделить на 7 частей, а каждый из остальных семи арбузов разделить на 6 частей, тогда получится 42 части одного объема и 42 части другого.

Каждый ученик получит по одной части каждого из двух объемов, при этом будет соблюдено условие задачи.

Задача 3(старинная задача). Разделите 7 хлебов между 8 людьми.

Решение: Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 7 · 7 = 49 разрезов. Не самый лучший вариант решения. Используем знания об аликвотных дробях.

.

Значит, каждому человеку дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Для этого четыре хлеба режем пополам (4 разреза), два хлеба режем на четыре части (6 разрезов) и один хлеб – на восьмушки (7 разрезов). При таком раскладе получается 17 разрезов. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

3.3. Решение олимпиадных задач

Задачи на аликвотные дроби составляют обширный класс нестандартных задач, для решения которых нужно проявить не только сообразительность и смекалку, но и прочные знания о свойствах таких дробей. В этом разделе собраны олимпиадные задачи на вычисление различных сумм, состоящих из аликвотных дробей.

Задача 1. Вычислите сумму .

Решение: Воспользуемся тем, что представим каждое слагаемое данной суммы в виде разности аликвотных дробей:

… , и так далее.

Тогда исходная сумма примет вид:

=

В результате приведения подобных слагаемых получим:

Ответ:

Задача 2. Найдите сумму .

Решение: Применяя формулу из первой задачи, преобразуем данную сумму к виду:

Ответ: 0,09.

Задача 3. Вычислите .

Решение: Знаменатели дробей представим произведением последовательных натуральных чисел, а каждое слагаемое суммы – разностью двух аликвотных дробей.

Ответ: 0,9.

Задача 4. Вычислите сумму .

Решение: Каждую из дробей перепишем в виде разности аликвотных дробей:

.

Подставим эти разности в исходное выражение, получим:

Ответ:

Задача 5. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых;

б) четырех слагаемых;

в) 5-и слагаемых.

Решение: а) 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

=1/2+1/3+1/7+1/42

в) 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

3.4. Задания ЕГЭ

Задача 1. Решите в натуральных числах уравнение:

, где

Решение:

3.5. Авторская задача

Задача 1. Представьте дробь

в виде суммы двух аликвотных дробей, так чтобы знаменатели дробей были различны.

Решение:

4. Выводы:

Работа над данной темой позволила овладеть новыми приёмами решения нестандартных задач с дробями. Впервые столкнувшись с необходимостью печатать дроби и дробные выражения, пришлось познакомиться с редактором формул и совершенствовать компьютерные навыки.

• Аликвотные дроби — один из древнейших математических инструментов, возникший из практических потребностей деления величин. В Древнем Египте они составляли основу вычислительной практики и отражены в папирусах.

• любую единичную дробь можно представить суммой меньших аликвотных дробей;

• каждое рациональное число вида может быть разложено на единичные дроби;

• разложение дробей на две аликвотные дроби можно систематизировать в виде формул;

• аликвотную дробь, знаменатель которой есть произведение последовательных натуральных чисел, можно представить разностью двух аликвотных дробей;

• Методы разложения на аликвотные дроби позволяют решать ряд олимпиадных задач более эффективно.

• Понятие «аликвота» выходит за рамки математики и используется в химии, физике, музыке.

• Владение этими методами развивает логическое мышление и креативность при решении нестандартных задач.

Подтверждение гипотезы

Гипотеза о полезности аликвотных дробей подтвердилась: их применение сокращает число действий и упрощает поиск решения в задачах на деление, разложение и оптимизацию.

Перспективы исследования

Составление сборника задач на аликвотные дроби

Заключение

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XV века пишет: «Несть се дивно, что … в целых, но есть похвально, что в долях …».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако аликвотные дроби продолжают представлять интерес для всех, кто увлекается математикой. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, решая которые можно совершенствовать вычислительный аппарат и повышать математическую культуру.

Поиск новых приёмов решения задач и вариантов доказательства обогащает нас знаниями, развивает инициативу, логическое мышление и математическую интуицию.

Библиографический список

1. Гаврилова Т.Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

2. Кордемский Б.А. Развернем на минутку египетские папирусы. //Математика в школе, 1999, №1.

3. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА, 2007.

4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики /Пер.с нем. М, Наука. 1978.

5. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

6. http://ru.wikipedia.org/wiki.