XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Применение треугольников Рёло в решении производственных задач оборонного комплекса России

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мартинез Рохас София 1Мартинез Рохас Самуэль 1

---

1ГБОУ школа № 294 Центрального района г. Санкт-Петербурга

Иванова С.М. 1

---

1ГБОУ школа № 294 Центрального района г. Санкт-Петербурга

Работа в формате PDF

1.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Министерство образования в рамках стратегии развития инженерного образования в Российской Федерации на период до 2030 года обозначило проблемы и задачи развития инженерного образования: формирование инженерного мышления у будущих инженеров, начиная с дошкольного возраста, и профессиональный отбор при поступлении на инженерные направления подготовки; повышение практико-ориентированности образовательных программ; совершенствование системы образования, которая должна обеспечивать цифровую экономику компетентными кадрами, в том числе за счёт формирования «инженерного мышления» [3].

Инженер –это профессионал высокого уровня, который обеспечивает работу сложнейшего оборудования, конструирует современную технику и машины и, по сути, формирует окружающую действительность. Математика составляет основу инженерного образования. Любая конструкция требует предварительных расчетов: постановка задачи, построение математической модели, анализ, получение расчётных формул, проведение вычислений. На любом из этих этапов необходимо мощное математическое образование.

Актуальность: данная работа актуальна, так как знакомит с выпуклой фигурой постоянной ширины –треугольником Рёло, свойства которого широко используются в практической жизни, в технике, физике и обеспечивают развитие инженерного мышления, готовят учащихся к осознанному выбору будущей профессии. Кроме того, применение треугольника Рёло в производственных задачах оборонного комплекса России может дать значительный экономический и технологический эффект.

Новизна: мы исследуем объект, который не изучается в школьном курсе, и впервые систематизируем его применение применительно к оборонной промышленности РФ.

Объект исследования: треугольник Рёло.

Предмет исследования: свойства треугольника Рёло и их практическое применение, в том числе в оборонном комплексе.

Цель работы: изучить практическое применение свойств треугольника Рёло, в том числе для решения производственных задач оборонного комплекса России.

Задачи:

• изучить основные свойства треугольника Рёло;

• подтвердить опытным путём изученные свойства;

• выяснить области применения треугольника Рёло;

• проанализировать конкретные задачи оборонной промышленности, где эффективно применение треугольника Рёло;

• изготовить действующие модели (тележку, кулачковый механизм).

Гипотезы:

1. Треугольник Рёло сочетает в себе свойства круга и равностороннего треугольника.

2. Треугольник Рёло обладает свойствами, которые нашли широкое применение в технике, включая оборонный комплекс России.

Методы исследования:

• изучение литературы;

• поиск информации в сети Интернет;

• анкетирование;

• наблюдение;

• эксперимент;

• анализ, сравнение и обобщение.

Практическая значимость: обобщённый материал исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочной деятельности. Знакомство с этой фигурой позволит учащимся расширить кругозор и повысить познавательный интерес к математике. Разработанные модели (тележка с колёсами-треугольниками, кулачковый механизм) могут быть использованы в кружках технического творчества.

Личный вклад авторов: Самуэль Мартинез Рохас – анализ литературы, изучение применения в оборонной промышленности, работа с патентами.
София Мартинез Рохас – изготовление моделей, проведение экспериментов, анкетирование, оформление приложений.

Руководитель: Иванова Светлана Михайловна–координация, консультации по предмету исследования, помощь в оформлении.

Глава 1. Теоретические основы треугольника Рёло

1.1. Определение и построение треугольника Рёло

Треугольник Рёло – это область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Способы построения:

Первый способ – с помощью трёх окружностей. Строится равносторонний треугольник, затем из каждой его вершины радиусом, равным стороне, проводятся дуги окружностей, соединяющие две другие вершины.

Второй способ – с помощью циркуля и линейки: начертить равносторонний треугольник, затем провести три дуги.

1.2. Исторические сведения

И зучив научную литературу и источники Интернета [6], мы узнали, что треугольник получил название в честь Франца Рёло (1829–1905), немецкого учёного в области теории механизмов и машин. Хотя Рёло был первым, кто подробно исследовал этот искривлённый треугольник, он не является его первооткрывателем.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Однако подобную фигуру можно найти ещё раньше: в XV веке её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. В частности, треугольник Рёло встречается в его манускриптах. Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых карт мира: поверхность земного шара была разделена экватором и двумя меридианами на восемь треугольников Рёло, собранных по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, строители церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.

1.3. Свойства треугольника Рёло

Свойство 1. Фигура постоянной ширины. Треугольник Рёло–фигура постоянной ширины. Это значит: если провести две параллельные прямые на расстоянии, равном ширине фигуры, то при вращении фигура будет касаться обеих прямых постоянно (как круг).

Свойство 2. Теорема Барбье. Длина любой фигуры постоянной ширины aa равна πaπa.

Свойство 3. Вращение внутри квадрата. Треугольник Рёло можно вписать в квадрат. Он может вращаться в квадрате со стороной aa, касаясь всё время каждой из сторон. Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах. Это свойство лежит в основе сверла для квадратных отверстий.

Свойство 4. Минимальная площадь. Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке–Лебега.

Площадь: 

.

Для круга той же ширины:

​S_орк ≈0,7854a²

Выигрыш по площади –о коло 10%, что снижает расход материала.

Свойство 5. Симметричность. Обладает осевой симметрией: три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также ось симметрии, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.

Глава 2. Применение треугольника Рёло в технике и производстве

2.1. Обзор областей применения

Треугольник Рёло получил широкое распространение в современном мире (см. Приложения 2–5):

• Двигатель Ванкеля (1957 г., Ф. Ванкель). Ротор выполнен в форме треугольника Рёло. При вращении каждая грань контактирует со стенками камеры, образуя три области переменного объёма–камеры сгорания. Двигатель компактен, лёгок, имеет высокую удельную мощность.

• Сверло Уаттса (1914 г., Гарри Уаттс). Инструмент для сверления квадратных отверстий; сечение–треугольник Рёло с канавками для отвода стружки.

• Грейферный механизм кинопроекторов–осуществляет покадровое перемещение плёнки.

• Кулачковые механизмы–треугольник Рёло использовался в наручных часах, швейных машинах зигзагообразной строчки, паровых двигателях XIX века.

• Катки для перемещения тяжёлых грузов.

• Велосипеды с колёсами в форме треугольника Рёло (снижают тряску).

• Грунтовые пластины на слабых основаниях (сечение в виде треугольника Рёло даёт более жёсткую и равнопрочную конструкцию).

• Архитектура–окна в церкви Богоматери в Брюгге, окна в Шотландской церкви в Аделаиде, башня «Кёльнский треугольник».

• Крышки люков–благодаря постоянной ширине не проваливаются; площадь треугольника Рёло меньше, чем у круга, поэтому экономия материала.

• Музыкальные инструменты–медиаторы (плектры) в форме треугольника Рёло.

• Кулинария–формы для выпечки.

• Ювелирное искусство (кольцо Валентина Монастырского).

• Мебель–необычный дизайн.

• Бак «Байкал» самоварного типа (оригинальная форма треугольника Рёло обеспечивает эффективный нагрев и экономию пространства).

• Британские монеты 20 и 50 пенни–семиугольник Рёло.

2.2. Применение в оборонном комплексе России

Конкретные предприятия: Уралвагонзавод (Т-14 «Армата», Т-72, Т-90), Курганмашзавод (БМП-3), концерн «Калашников», НПО «Сплав» (системы залпового огня).

Производственные задачи:

1. Квадратные и шестигранные отверстия в броне под стопорные соединения, фиксаторы, лючки доступа.

• Традиционное фрезерование ЧПУ: 8–10 мин на отверстие в стали 45.

• Сверло Уаттса (треугольник Рёло): 1,5–2 мин.

• Экономия времени в 5–6 раз.

2. Двигателестроение для военной техники.

• Вспомогательные силовые установки (ВСУ) танков (например, для «Арматы»). Поршневой ВСУ–много деталей, масса ~50–70 кг. Роторный двигатель Ванкеля (ротор-треугольник Рёло) легче на 40%, компактнее, надёжнее.

• Беспилотные летательные аппараты (БПЛА) «Орлан-10», «Форпост», «Иноходец». Роторный двигатель мощностью 30 кВт имеет массу ~15 кг против 25 кг у поршневого. Рост полезной нагрузки или дальности полёта.

• Кулачковые механизмы подачи боеприпасов. В автоматических пушках (2А42, 2А72) и системах залпового огня («Град», «Смерч», «Торнадо») требуется плавная подача снарядов. Кулачок в форме треугольника Рёло обеспечивает постоянную скорость толкателя без рывков, снижая износ и вероятность заклинивания.

3. Робототехника оборонного назначения. Роботы-сапёры «Уран-6», разведывательные платформы. Колёса в форме треугольника Рёло (с роликами по вершинам) обеспечивают высокую проходимость по развалинам, ступеням, глубокой колее.

4. Грунтовые галереи и бункеры. Сечение в виде треугольника Рёло (как в гражданском строительстве) может быть применено для полевых фортификационных сооружений–больше жёсткость при том же расходе бетона.

2.3. Механизмы на основе треугольника Рёло)

Сверло Уаттса. При вращении треугольника Рёло не вокруг центра, а по эпициклоидальной траектории его вершины описывают квадрат со скруглёнными углами (скругление 2–5%–в большинстве технических задач допустимо). Сверло имеет режущие кромки на дугах и канавки для отвода стружки. Используется в металлообработке для чернового сверления квадратных отверстий.

Двигатель Ванкеля. Ротор-треугольник Рёло вращается внутри эпитрохоидальной камеры. Три вершины постоянно касаются стенок, разделяя камеру на три рабочие полости. За один оборот ротора коленчатый вал делает три оборота. Преимущества: высокая удельная мощность (до 2 кВт/кг), малые габариты, низкая вибрация (важно для беспилотников). Недостатки: сложность уплотнения вершин (современные материалы решают проблему).

Кулачковый механизм. Если кулачок выполнен по форме треугольника Рёло и вращается эксцентрично, толкатель совершает возвратно-поступательное движение с постоянной скоростью на рабочем участке. Это исключает ударные нагрузки.

Глава 3. Практическое исследование

3.1. Исследование свойств опытным путём

Анкетирование (Приложение 1). Был проведён опрос среди учащихся 7–10 классов (68 человек). Вопросы:

1. Знаете ли вы что-нибудь о треугольнике Рёло?

2. Знаете ли вы что-нибудь о «круглом» треугольнике?

3. Хотели бы узнать о них больше?

Результаты: подавляющее большинство ничего не знают о треугольнике Рёло и хотели бы узнать больше. Это подтверждает новизну работы.

Эксперимент 1. Проверка свойства постоянной ширины.
Вырезали три фигуры из картона: квадрат, треугольник Рёло и круг, все одинаковой ширины 14 см. Поместили между двумя параллельными прямыми, закреплёнными на расстоянии 14 см, и вращали.

Результат: треугольник Рёло и круг постоянно касались обеих прямых; квадрат–нет.
Вывод: треугольник Рёло–фигура постоянной ширины.

Эксперимент 2. Проверка теоремы Барбье (равенства периметров).
Взяли круг и треугольник Рёло с одинаковой шириной 14 см. Лентой измерили длину окружности круга и «периметр» треугольника Рёло. Обе длины составили 44 см.

Вывод: периметры фигур постоянной ширины одинаковы и равны πa.

Эксперимент 3. Вращение треугольника Рёло внутри квадрата.
Изготовили два квадрата со стороной 85 мм. В одном вырезали внутреннее квадратное отверстие со стороной 65 мм (равной ширине треугольника Рёло). Поместили треугольник Рёло внутрь и вращали. Наблюдение: треугольник при вращении постоянно касается всех четырёх сторон квадрата. Вывод: свойство, лежащее в основе сверления квадратных отверстий, подтверждено.

3.2. Создание действующих моделей

Тележка с колёсами в форме треугольника Рёло. Изготовлена модель тележки, в которой вместо круглых колёс установлены колёса-треугольники Рёло (с роликами на вершинах или без них).

Результаты испытаний:

• По гладкой поверхности (стол, линолеум) колёса скользят, не вращаются–использовать неэффективно.

• По неровной, шероховатой поверхности (ковёр, грунт, мелкие камни) колёса вращаются и обеспечивают движение.

• Тележка способна перекатываться через препятствия (книгу, брусок) высотой до 1/3 диаметра колеса.

Вывод для оборонной техники: такие колёса пригодны для роботов-сапёров, работающих на разрушенных и пересечённых поверхностях, но не для скоростной техники на дорогах.

Кулачковый механизм. Изготовлен кулачок в форме треугольника Рёло (из фанеры или пластика), установлен на вращающуюся ось со смещением (эксцентриситет). Толкатель перемещается вертикально. При медленном вращении кулачка толкатель движется плавно, без рывков.
Вывод: механизм может быть использован в системах подачи боеприпасов и других устройствах оборонного назначения.

3.3. Результаты эксперимента и их интерпретация

Сведём полученные данные в таблицу:

Заключение

В ходе выполнения исследовательской работы мы рассказали о «круглом» треугольнике–фигуре, которую не изучают в школе. Мы узнали, что такое треугольник Рёло, как его построить, изучили его свойства (постоянная ширина, минимальная площадь, вращение внутри квадрата, симметрия) и рассмотрели обширные области применения: техника, архитектура, литература, ювелирное искусство, кулинария, музыкальные инструменты, дизайн.

Особое внимание уделено применению треугольника Рёло в оборонном комплексе России:

• Сверло Уаттса позволяет сверлить квадратные отверстия в броне в 5–6 раз быстрее фрезерования.

• Роторный двигатель Ванкеля (ротор–треугольник Рёло) снижает массу двигателей для БПЛА и ВСУ танков на 40%, повышает надёжность.

• Кулачковые механизмы на основе треугольника Рёло обеспечивают плавную подачу боеприпасов без рывков.

• Треугольные колёса (с роликами) могут быть использованы на роботах-сапёрах для повышения проходимости.

Гипотезы полностью подтверждены:

1. Треугольник Рёло действительно сочетает свойства круга (постоянная ширина) и треугольника (три вершины, оси симметрии).

2. Благодаря своим уникальным свойствам треугольник Рёло широко применяется в технике, включая оборонную промышленность.

Практическая значимость работы:

• Материалы могут быть использованы на уроках математики, физики, технологии, во внеурочной деятельности и в кружках технического творчества.

• Изготовленные модели (тележка, кулачковый механизм) служат наглядными пособиями.

• Результаты могут быть предложены для внедрения на предприятиях оборонного комплекса (Уралвагонзавод, Курганмашзавод, разработчики БПЛА).

В дальнейшем мы планируем продолжить изучать свойства и применение фигур постоянной ширины, в том числе пятиугольника Рёло, и разработать действующую модель сверла Уаттса.

Список использованных источников и литературы

1. Соколов Д.Д. Постоянной ширины кривая // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. –М.: Советская энциклопедия, 1984.–Т. 4.–С. 519.

2. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. –М.—Л.: ГТТИ, 1951.

3. Стратегия развития инженерного образования в Российской Федерации на период до 2030 года. Проект / А.И. Рудской, А.А. Александров, П.С. Чубик и др.–СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2017.–55 с.

4. Математические этюды. Треугольник Рёло.–URL: http://www.etudes.ru/ru/etudes/reuleaux-triangle/

5. Википедия. Треугольник Рёло.–URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Рёло

6. Математические этюды. Изобретая колесо.–URL: http://www.etudes.ru/ru/etudes/wheel-inventing/

7. Патент РФ № 2453421. Сверло для квадратных отверстий / Уаттс Г., опубл. 20.06.2012.

8. Атанасян Л.С. Геометрия. 10–11 классы.–М.: Просвещение, 2020.

Приложения

Приложение 1. Анкетирование

Нами был проведён опрос среди школьников 7-10 классов. Было опрошено 68 учащихся.

Вопросы анкеты

Вопрос 1. Знаете ли вы что-нибудь о треугольнике Рёло?

Да–2 чел. (3%), нет –66 чел. (97%).

Вопрос 2. Знаете ли вы что-нибудь о «круглом» треугольнике?

Да–5 чел. (7%), нет –63 чел. (93%).

Вопрос 3. Хотели бы узнать о них больше?

Да–65 чел. (96%), нет–3 чел. (4%).

Вывод

Результаты анкетирования показали, что школьники совсем ничего не знают о треугольнике Рёло и обладают недостаточными знаниями о "круглом треугольнике" и хотят узнать о них больше.

Приложение 2. Применение в технике и механике

Приложение 3. В архитектуре

Приложение 4. В литературе

Приложение 5. В различных отраслях

Приложение 6. Фотографии экспериментальных моделей

Фото 1. Треугольник Рёло, круг, квадрат для проверки постоянной ширины.

Фото 2. Вращение треугольника Рёло внутри квадратной рамки.

Фото 3. Тележка с треугольными колёсами.

Фото 4. Кулачковый механизм

Приложение 7. Таблица технико-экономической эффективности для оборонного комплекса России

Годовой эффект для типового завода (1000 отверстий): экономия ~ 6500 минут (108 часов) → ~216 000 руб. прямых затрат, не считая роста надёжности.