XXIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Планетарные орбиты: Эллипсы Кеплера и их влияние на нашу жизнь

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Гаврилова Д.А. 1

---

1МАОУ СОШ №3 г. Канаш

Матвеева Л.А. 1

---

1МАОУ СОШ №3 г. Канаш

Работа в формате PDF

367.9 KB

Введение

Движение планет и других небесных тел всегда было актуальной темой, ведь это влияет на внешность самого тела. Особенно значимо изучение орбиты, по которой движется наша планета Земля, ведь от неё зависит смена времен года(но больше влияние на это оказывает наклон нашей планеты к плоскости орбиты), климат, скорость движения по орбите. Понимание движения Земли и формы её орбиты помогает. Также это фундамент небесной механики, без которой нельзя было бы предугадать затмения или же запускать космические корабли.

Человечество долго пыталось понять как движется Земля и другие планеты Солнечной системы вокруг Солнца. И стоял один важный вопрос: «Какую форму имеют орбиты планет?» Ответом на этот вопрос всегда был круг, ведь это совершенная фигура, но всё оказалось иначе. Датский астроном Тихо Браге десятилетиями изучал движение планет, а особенно движение Марса вокруг Солнца. Его собранные данные были очень объёмными и точными в отличии от других, что помогло ученику Браге- Йоханнесу Кеплеру доказать, что планеты, а именно Марс двигается по эллиптической орбите. Позже Кеплер сформулировал три важнейших закона для науки.

Целью этой исследовательской работы является изучение геометрических свойств эллипса и как работают законы Кеплера, а также проанализировать влияние эллиптических на явления в Солнечной системе и жизнь на Земле.

Для этого здесь будут описаны ключевые геометрические параметры эллипса, объяснение причины эллиптических орбит и влияние на Землю и космические полёты, что поможет ответить на главный вопрос: «Вследствие чего орбиты планет имеют форму эллипса и как описать их движение с физической и математической точки зрения?»

.

Глава 1. Исторический путь к пониманию планетарных орбит.

Ещё в древности люди интересовались движением звёзд и планет по небу. Они наблюдали, строили гипотезы и модели. Одной из первых развитых моделей стала у Птолемея, которая была геоцентрической (то есть Земля в центре Вселенной). Она предполагала, что вокруг Земли по сферам обращаются Солнце, Луна и планеты Солнечной системы. А на внешней сфере находятся неподвижные звёзды, которые сохраняют положение относительно друг друга. Геоцентрическая модель давала возможность достаточно точно предсказывать положения небесных тел на небе, но при этом допускала, что иногда Луна подходит вдвое ближе к Земле, чем в другие моменты, то есть она должна была казаться вдвое больше обычного. Несмотря на это христианская церковь одобрила эту модель по причине того, что за сферой неподвижных звёзд достаточно места для рая и ада.

Однако в 1514 году на смену модели Птолемея пришла гелиоцентрическая модель Николая Коперника. В ней подразумевалось, что все планеты движутся вокруг Солнца по круговым орбитам, но публичность его идея обрела лишь через почти сто лет, когда немец Иоганн Кеплер и итальянец Галилео Галилей публично выступили в поддержку этой модели.. Галилео Галилей положил конец модели Птолемея в 1609 году, когда начал наблюдать за небом в изобретённый им телескоп. Тогда он заметил что Юпитер сопровождают несколько спутников (лун), что значит не всё обращается вокруг Земли.

В то же время Кеплер развил теорию Коперника, предложив, что планеты движутся не по круговым орбитам, а по эллиптическим. Но это было гипотезой и достаточно неудачной, ведь эллипс менее совершенная фигура, нежели круг. В 1609 году он сформулировал первых два закона , третий же закон был сформулирован в 1618 году. Также объяснение нашёл Исаак Ньютон, когда в 1687 году сформулировал закон всемирного тяготения.

Эти законы являются основой для изучения движения планет и их орбит. Они влияют на нашу жизнь и полёты в космос сейчас. Тогда же люди просто интересовались и их интересы привели нас на такую высокую точку развития.

Глава 2.Геометрия эллипсов

Эллипс- это замкнутая плоская кривая, исторически определённая как одно из конических сечений. Эллипсы находят широкое применение в физике, астрономии и механике. В астрономии это орбиты планет, орбиты спутников планет и вообще для любых систем из двух астрономических тел.

Какова же геометрия эллипса? Эллипс состоит из нескольких элементов. Он имеет малую ось и большую ось. На рисунке 1 отрезок S1S2- большая ось, S3S4- малая ось.

Рисунок 1.

Пересечение большой и малой оси называют центром эллипса (точка М), а также они перпендикулярны друг другу. Кроме того у эллипса есть две замечательных точки- фокусы, это отрезок F2M и F1M, они равняются малой полуоси (b). Фокусы всегда лежат на большой оси и симметричны относительно малой оси.

Расстояние от фокуса до середины обычно обозначают буквой c, а большую полуось – a. Отношение с к а, то есть дробь с/а называют мерой растянутости эллипса- эксцентриситетом. Круг- является частным случаем эллипса, когда эксцентриситет равен 0. Чем больше величина эксцентриситета, тем больше эллипс отличается от круга.

Для того чтобы лучше разобраться из чего состоит эллипс, нужно конечно же построить его, поэтому я провела практическую работу с построением эллипса, его фокусов, а также расчётом его эксцентриситета.

А теперь обратимся к орбитам планет Солнечной системы, а точнее к Земле. Эллипс- форма орбит небесных тел и она влияет на многие факторы, такие как длительность года(но также это зависит от скорости планеты), на стабильность и эволюцию орбиты, на расстояние до центрального тела. Эксцентриситет орбиты каждой планеты разный, у нашей Земли он равен ~0,017. Это делает орбиту нашей планеты почти неотличимую от круга. Солнце всегда находится в одном из фокусов эллипса орбиты планеты, а не в середине.

Самую вытянутую орбиту в Солнечной системе имеет Меркурий ~ 0,206, что создает перепады температур и поддержка жидкого состояния металлического ядра планеты, что необходимо для генерации магнитного поля.

На следующим изображение показана орбита Земли и местонахождение Солнца. Солнце находится в фокусе орбиты нашей планеты, а также тут присутствует большая ось (апсид), она соединяет две точки: перигелий (перицентр)- точка где Земля ближе всего к Солнцу (147 млн. км) и афелий (апоцентр)- точка, где Земля дальше всего от Солнца (152 млн. км). Линия солнцестояние соединяет точки зимнего и летнего солнцестояния. Линия равноденствия соединяет точки весеннего и осеннего равноденствия.

Рисунок 2.

Для того чтобы понять отличие орбит Солнечной системы и что ещё влияет на их эксцентриситет, длительность года и расстояние до Солнца, проведём сравнение Земной орбиты с орбитой Меркурия и занесём результат в таблицу.

Таким образом можно сделать вывод, что на эти данные влияет важный фактор- насколько близко находится планета к Солнцу, так как Меркурий ближе всего, он быстрее Земли и имеет меньшую продолжительность года.

Глава 3. Законы Кеплера: фундамент космической механики

Законы Кеплера очень важны для понимания движения небесных тел, что делает их фундаментом в небесной механике. Иоганн Кеплер сформулировал свои законы с помощью долгих и качественных наблюдений его предшественника Тихо Браге. Соотношение Кеплера позволили Ньютону постулировать закон Всемирного тяготения, который тоже является основой в механике. Теперь же обратимся к самим законам.

Формулировка первого закона Кеплера:

Каждая планеты Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Этот закон он опубликовал в 1609 году в «Новая астрономия», хотя открыл его в 1605, он основывался на трудах изучения орбиты Марса Тихо Браге. Это открытие стало большим прорывом, наконец-то опровергнув круговые орбиты. Кеплер формулировал законы эмпирическими, то есть на основе наблюдений, а теоретические обоснования дал Ньютон.

Формулировка второго закона Кеплера:

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за любые равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

С этим законом связаны понятия перигелий и афелий. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую скорость, чем в афелии, так как при близком расстояние планете нужно успеть пройти достаточную площадь.

В начале января Земля находится в перигелии и поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий движется медленнее, поэтому и движение солнца по эклиптики замедляется. Скорость небесного тела ещё зависит от тела рядом, ведь оно обладает гравитацией, а значит влияет на скорость объекта рядом. Также этот закон указывает на то, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Формулировка третьего закона Кеплера:

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

T1^2 / T2^2 = a1^3 / a2^3

T1 и Т2-периоды обращения двух планет вокруг Солнца.

а1 и а2- длины больших полуосей их орбит.

Этот утверждение также справедливо и для спутников.

Когда Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, он показал, что в третьем законе Кеплера также присутствует масса планеты и масса солнца.

Т1^2(M + m1) / T2^2(M + m2) = a1^3 / a2^3

Где М – масса Солнца, а м1 и м2 – массы планет.

Поскольку движение и массы планет оказались связаны, эту комбинацию двух законов используют для расчёта массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные обращения.

Например выведем формулу для расчёта массы тела 1, если остальные величины известны.

Т1^2(M + m1) / T2^2(M + m2) = a1^3 / a2^3

Т1^2(M + m1) = a1^3 * T2^2(M + m2) / a2^3

m1 = (a1^3 * T2^2(M + m2) / a2^3 / Т1^2) – М

Таким образом третий закон Кеплера помогает связать массу, большую полуось эллипса и период обращения планеты вокруг центрального тела.

Глава 4.Влияние формы орбиты Земли на жизнь и освоение космоса

Законы Кеплера и геометрия эллипса влияют не только на исследование космоса и полёты в космос, но и на нашу повседневную жизнь. Люди живут даже не подозревая о том, что на то что им надеть сегодня влияет движение Земли и эллипсоидная форма её орбиты.

Почему же форма орбиты влияет на то, что сегодня надеть? Начнём с того, что всё зависит от погоды и времени года, то есть если сейчас уже осень, то нужно выбрать что-то потеплее. Но почему существуют времена года и от чего зависит их продолжительность? Смена сезонов присутствует на нашей планете из-за наклона к плоскости орбиты Земли, эта величина равна 23,5 °. На продолжительность каждого сезона влияет эллипсоидная форма Земли и второй закон Кеплера, который гласит, что площади, описываемые радиусом-вектором за равные промежутки времени, равны. Вследствие, в перигелии Земля движется быстрее, чем в афелии. Отсюда следует, что какой-то сезон будет короче другого. Для северного полушария Земля проходит перигелий, когда у нас зима, именно поэтому зима- самое короткое время года, а вот летом Земля для северного полушария проходит через афелий и по причине этого лето- самый долгий сезон. Для южного полушария всё наоборот.

Вот таблица с продолжительностью сезонов для обоих полушарий.

Более интереснее то, как влияют законы Кеплера на космические полёты в космос. Например с помощью третьего закона Кеплера рассчитывают траектории полётов к другим небесным телам, ведь этот закон связывает большую полуось орбиты с периодом обращения.

При запуске ракет или спутников инженеры рассчитывают не только гравитацию Земли, но и возмущения от других небесных тел (Луна, Солнце, крупные планеты). Законы Кеплера помогают моделировать, как эти факторы изменят путь ракеты или спутника.

Также знание того, что орбита Земли эллипс помогает точнее моделировать долгосрочные изменения между Землёй и Луной и предсказывать долгосрочные климатические сдвиги.

Заключение

Эта работа была посвящена законам Кеплера и геометрии эллипса. И в результате можно сказать, что эллипс и законы небесной механики играют большую роль. Эллипс- это не просто геометрическая фигура, он также обладает свойствами и состоит из большой оси, малой оси и фокусов.

Форма орбиты всех планет в том числе и Земли- эллиптическая, в одном из фокусах орбит планет Солнечной системы находится Солнце.

Большую роль для космических полётов играют законы Кеплера, которые объясняют движение небесного тела. Эти знания помогают для расчётов массы небесного тела, помогают учитывать влияние других небесных тел на ракеты или спутники.

Для лучшего усвоения геометрии эллипсов была проведена практика с построением эллипса, его фокусов и расчёт эксцентриситета. Ещё одним важным пунктом является сравнение свойств орбит двух планет Солнечной системы: Земли и Юпитера.

В заключение, геометрия эллипсов помогает описать форму орбит небесных тел, а законы Кеплера объясняют особенности движения небесных тел по их орбитам.

Список литературы

1. Занимательная астрономия. Яков Исидорович Перельман, издательство АСТ Москва, 2026.

2. Теория Всего. Стивен Хокинг, издательство АСТ Москва, 2025.

3. Занимательная геометрия. Яков Исидорович Перельман, издательство АСТ Москва, 2025.

4. Законы Кеплера- Википедия: свободная энциклопедия –URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Законы_Кеплера , дата обращения: 24.09.26.